湖北省三校2023届高三12月联考数学试题（PDF版带答案）

东风高中、天门中学、仙桃中学2023届高三12月考试高三数学试题命题学校：仙桃中学命题人：陶晨审题人：左克义考试时间：2020年12月16日下午15：00-17：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集UR，集合Axx1，Bx2x2，则如图中阴影部分表示的集合为（）A.xx2B.xx2C.x1x2D.xx12.已知复数z(a2i)(13i)(aR)的实部与虚部的和为12，则|z5|（）A.3B.4C.5D.63.已知ABC所在平面内的一点P满足PAPBPCBC，则点P必在（）A.ABC的外面B.ABC的内部C.边AB上D.边AC上1my2xy5244.已知的展开式中xy的系数为40，则m的值为（）xA.-2B.-1C.1D.25.如图，圆内接四边形ABCD中，DAAB,D45,AB2,BC22,AD6现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（）184π200πA.30πB.40πC.D.336.设a0.1，bsin0.1，c1.1ln1.1，则a,b,c的大小关系正确的是（）A.bcaB.bacC.abcD.acb1tanπ27.已知,0，2sin21cos2，则（）21tan2A.52B.25C.25D.25x8.定义在R上的偶函数fx满足fxfx20,当1x0时,fx1xe,则（）13e0.30.313eA.f2023flnfeB.f2023fefln1010数学试卷（共4页）第1页学科网（北京）股份有限公司 0.313e13e0.3C.feflnf2023D.flnfef20231010二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于变量x和变量y，通过随机抽样获得10个样本数据xi,yii1,2,3,,10，变量x和变量y具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为yˆ2xa，且样本中心点为6,9.3，则下列说法正确的是（）．A.变量x和变量y呈正相关B.变量x和变量y的相关系数r0C.a21.3D.样本数据5,12比7,5的残差绝对值大π10.已知函数f(x)Asin(x)A0,0,的部分图象如图（1）所示，函数2g(x)A1cos1xA10,10,||π的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（）A.函数yf(x)的周期为219B.函数yf(x)的图象关于直线x对称12C.函数yf(x)1在区间[0,2]上有4个零点2D.将函数yf(x)的图像向左平移可使其图3像与yg(x)图像重合11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是直角三角形，且ACBC1，AA13，E为B1C的中点，点F是棱A1C1上的动点，点P是线段A1B上的动点，则下列结论正确的是（）2A.异面直线AB与B1C所成角的余弦值是4B.三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球面积是20π3C.当点P是线段A1B的中点时，三棱锥PB1CF的体积是127D.PEPF的最小值是5数学试卷（共4页）第2页学科网（北京）股份有限公司 2x2x,x012.设函数f(x)，则下列命题中正确的是（）lnx,x0A.若方程f(x)a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是(0,1)B.若方程f(x)a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是(0,)1C.若方程f(x)ax有四个不同的实根，则a的取值范围是0,e21D.方程f(x)(a)f(x)10的不同实根的个数只能是1，2，3，6a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知a,b为单位向量，ab3，则a,b的夹角为________．14.某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为__________.11815.已知事件A和B是互斥事件，PC，PBC，PABC，则PAC______．6189x16.已知x0,，xe1x1lnx，则实数的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．cosA2cosC2ca17.（10分）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosBbsinC1（1）求的值（2）若cosB,b2，求ABC的面积.sinA4x218.（12分）已知函数fxe2xax1，其中aR，若fx的图象在点0,f0处的切线方程为2xby10．（1）求函数fx的解析式；（2）求函数fx在区间3,1上的最值．19.（12分）设等差数列an的前n项和为Sn，已知S535，且a4是a1与a13的等比中项，数列bn的2前n项和T4n5n．n（1）求数列an、bn的通项公式；111（2）若a14，对任意nN*总有恒成立，求实数的最小值．4Sb4Sb4Sb1122nn数学试卷（共4页）第3页学科网（北京）股份有限公司 20.（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，D为线段AB的中点，CB4，AB43，AC8．11（1）证明：CBA1D；163（2）若三棱锥AA1DC的体积为，求平面DA1C与平面A1CB夹角的3余弦值．21.（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付402060不使用移动支付103040合计5050100（1）按年龄35岁以下（含35岁）是否使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设使用移动支付的人数为X，求X的分布列及期望.（2）用这100位市民使用移动支付的频率代替全市市民使用移动支付的概率，从全市随机中选出10人，则使用移动支付的人数最有可能为多少？1222.（12分）已知函数f(x)2lnxxax（a为常数）．2（1）若函数f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围；（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2x1x2，且x2x11，求fx1fx2的取值范围．数学试卷（共4页）第4页学科网（北京）股份有限公司 东风高中、天门中学、仙桃中学2023届高三12月考试数学试题答案251BCCBDBAC⑼BC⑽BCD⑾ACD⑿AD⒀⒁60⒂⒃,39e17.（1）由正弦定理得a2RsinA,b2Rsinb,c2RsinC，cosAcosC2ca2sinCsinA所以cosBbsinB即sinBcosA2sinBcosC2sinCcosBsinAcosB即有sinAB2sinBC，即sinC2sinAsinC所以2......（5分）sinAcsinC（2）由（1）知2，即c2a，asinA又因为b2，所以由余弦定理得：222224a2a22a2a1bca2accosB，即，解得a1,4115所以c2，又因为cosB，所以sinB，44111515故ABC的面积为acsinB12=..........（10分）224418.（1）依题意，f(0)1，切点(0,1)在切线2xby10上，则b1，x2xx2f(x)e2xax1e4xae2xa4xa1，而fx的图象在点0,f0处的切线斜率为2，f(0)a12，解得得a1，x2所以函数fx的解析式为fxe2xx1.（6分）x2x1（2）由（1）知，f(x)e2x3x2ex22x1，由fx0得x2或x，211当x[3,1]时，3x2或x1，有f¢(x)>0，2x，有fx0，2211209因此函数fx在[3,2],[,1]上单调递增，在[2,]上单调递减，又f3，f2，3222ee1191fe2，f(1)0，所以fx在3,1上的最大值为，最小值为.......（12分）2e22e数学答案（共4页）第1页 19.（1）设等差数列an的公差为d，由S535得5a110d35，因为a4是a1与a13的等比中项，22所以a13da1a112d．化简得a172d且2a1d3d，解方程组得a7,d0或a3,d2．故a的通项公式为a7或a2n1（其中nN）（3分）11nnn22因为T4n5n，所以T4(n1)5(n1)，(n2)，nn122所以bnTnTn14n5n[4(n1)5(n1)]8n1，因为b1T19，满足上式，所以bn8n1nN；......（6分）（2）因为a14，所以an2n1，所以Snn(n2)，111111所以22=()4Snbn4n8n8n14n122n12n1111111所以2224Sb4Sb4Sb2141(2n)11122nn1111111111111，1335(2n1)(2n1)23352n12n122n111111易见1随n的增大而增大，从而1恒成立，22n122n1211所以，故的最小值为.........（12分）2220.（1）证明：因为AA1平面ABC，CB平面ABC，所以AA1BC，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，则ACA1C18，222因为AB43，CB4，所以ABCBAC，所以CBAB，又因为ABAA1A，AA1平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以CB平面ABB1A1，又A1D平面ABB1A1，所以CBA1D．.....（5分）11（2）解：由（1）得，S△ABCABBC83，D为AB的中点，则S△ACDS△ABC43，2211163因为AA1平面ABC，VAA1CDVA1ACDS△ACDAA143AA1，所以AA14，333因为BB1平面ABC，BCAB，以点B为坐标原点，BA、BB1、BC所在直线分别为x、y、z轴建数学答案（共4页）第2页 立如下图所示的空间直角坐标系，则C0,0,4、D23,0,0、A143,4,0、B10,4,0，设平面DA1C的法向量为mx1,y1,z1，DA123,4,0，DC23,0,4，mDA23x4y0111则，取x12，可得m2,3,3，mDC23x4z011设平面A1CB的法向量为nx2,y2,z2，BA143,4,0，BC0,0,4，nBA43x4y0122则，取x21，可得n1,3,0，nBC4z02mn51010所以，cosm,n，所以平面DA1C与平面A1CB夹角的余弦值为（12分）mn1024421（1）根据分层抽样知使用移动支付的人数为8人，不使用移动支付的有2人，则X的可能值为1，2，3，122130CC1CC7CC7828282PX1，PX2，PX3，333C15C15C15101010分布列为X123177P15151517712E(X)123.......（6分）15151553（2）从全市随机选出10人，设使用移动支付的人数为Y，则Y~B10,，5k10kk32且P(Yk)C10kN,0k1055k10kk111kk32k132CC10105555由，k10kk19kk32k132CC101055552833k，因为*解得kN，所以k655数学答案（共4页）第3页 故使用移动支付的人数最有可能为6.（12分）1222.（1）∵f(x)2lnxxax(x0)，22∴f(x)xa，xf(x)是定义域上的单调递增函数，2f(x)0在定义域上恒成立，即xa≥0在(0，)上恒成立．x222即a≤x，令g(x)x，x0，则g(x)x≥22，当且仅当x2等号成立．xxx实数a的取值范围为(，22]．.....（5分）22xax2（2）由（1）知f(x)xa，x0，xx2x，x．根据题意由f(x)有两个极值点，即方程xax20有两个正根12所以x1x22，x1x2a，不妨设0x12x2，则f(x)在(x1，x2)上是减函数，f(x)f(x)，121212∴|f(x1)f(x2)|f(x1)f(x2)2lnx1x1ax12lnx2x2ax222122x1(xx)(xx)(xx)2ln1212122x2122x11222(xx)2lnx2lnx2ln2，212222x2x2222|xx|x≤1，令tx2，则t2，又212x222即xx20，解得2x2，2tx4．222212设h(t)t2lnt2ln2(2t≤4)，2t2(t2)则h(t)0，h(t)在(2，4]上单调递增，22t33∵h(2)0，h(4)2ln2，∴h(t)0，2ln2，2233即|f(x)f(x)|0，2ln2，所以|f(x)f(x)|的取值范围为0，2ln2......（12分）121222数学答案（共4页）第4页