北师大版八下数学1.1第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质课件

1.1等腰三角形第一章三角形的证明第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 观察与思考观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形又如何判定呢？ 一个三角形满足什么条件就是等边三角形?由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些结论吗？等边三角形的判定 ABC已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC.∵∠A=∠B，∴AC=BC.∵∠B=∠C，∴AB=AC.∴AB=AC=BC.证明：定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.ABC已知：若AB＝AC，∠A＝60°.求证：AB＝AC＝BC.证明：∵AB=AC，∠A=60°，∴∠B=∠C=(180°－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 证明：∵AB=AC，∠B=60°(已知)，∴∠C=∠B=60°(等边对等角).∴∠A=60°(三角形内角和定理).∴∠A=∠B=∠C=60°.∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．求证：△ABC是等边三角形．第二种情况：有一个底角是60°.ACB60°【验证】 等腰三角形(含等边三角形)性质判定等边对等角等角对等边“三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形归纳总结 例1如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？典例精析 变式：上题中，若将条件DE∥BC改为AD＝AE，△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE已知：如图，在等边三角形ABC中，AD＝AE.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形.∴△ADE是等边三角形.又∵∠A＝60°. 操作：用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？30°30°你能说出所拼成的三角形的形状吗？猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？30°30°30°合作探究30°30°结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.含30°角的直角三角形的性质 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.A30°BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题猜想验证30°30° ∵∠ACB＝90°，(已知)∴∠ACD＝90°.(平角的定义)在△ABC与△ADC中，BC＝DC，(作图)∠ACB＝∠ACD，(已证)AC＝AC，(公共边)∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AD＝AB.30°ABCD证明：延长BC至D，使CD＝BC，连接AD. ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，(已知)∴∠B＝60°．∴△ABD是等边三角形．(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)∴BC＝BD＝AB．(等式性质)30°ABCD 定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．∴BC＝AB．(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)ABC30°拓展推论：BC∶AC∶AB＝归纳总结 CBAD例2如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝2a，∠B＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高，求CD的长.解：∵∠B＝∠ACB＝15°，(已知)∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∵∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝a.(在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半) 证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°．∴BD=∴BD=例3已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D．求证：BD＝DACB30° 1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为_____cm.92.在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3，则AC=_____，BC=______．ABC330°6 3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE＝120°，DF平分∠CDE，∴∠FDC＝∠ABC＝60°.∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF＝∠FDC＝60°.又∵DF∥BA， 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°．CBAD 又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．CBAD 1.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3.数学思想：分类讨论思想，数形结合思想，转化思想.