浙江省宁波中学2022-2023学年高一数学上学期期中试卷（Word版附解析）

宁波中学2022学年度第一学期期中高一数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40.0分．在每个给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合交集运算规则运算即可.【详解】对于集合A，，集合B中的元素，；故选：D.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定直接求解判断即可.【详解】解：命题“”的否定是“”.故选：A.3.下列哪组中的两个函数是同一函数（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】【分析】根据同一函数的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错；B选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错；C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故C错；D选项，与的定义域都为，且，对应关系一致，故D正确.故选：D.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.5.设，则a，b，c的大小关系（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数与单调性可比较a，b，c的大小.【详解】因在上单调递增，则,得. 因在上单调递减，则，得.则.故选：A6.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－2，＋∞)【答案】A【解析】【分析】先判断函数单调性，然后利用其单调性解不等式.【详解】解：当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且，所以在上为增函数，因为，所以，解得，故选：A【点睛】此题考查了分段函数的单调性，由函数的单调性解不等式，属于基础题.7.已知，，满足，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件可得，代入，利用基本不等式求出最值.【详解】正实数，满足， ，，当且仅当时取等号，的最小值为，故选D【点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是，使它能利用基本不等式，是基础题目．8.已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设集合，，利用，若，求出，，即可求出实数的取值范围．【详解】解：设集合，，则由，，，，，，，，且，．故选：．【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20.0分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分．有选错的得0分．9.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由①知：为定义域上的奇函数；由②知：在定义域内单调递减；对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确；对于B，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确；对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误；对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误.故选：AB10.下列选项中正确的是（）A.不等式恒成立B.存在实数，使得不等式成立C.若，为正实数，则 D.若正实数，满足，则【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时不成立，故错误；对于B选项，当时，，当且仅当等号成立，故正确；对于C选项，若，正实数，则，所以，当且仅当时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得，当且仅当时等号成立，故正确.故选：BCD11.已知实数满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】构造函数，判断其在上单调递增，可得，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可.【详解】因为成立，所以， 由变形得，令函数，因为都在递增，所以函数在上单调递增，即，所以，因为函数在上单调递减，所以，A正确；因为函数在上单调递增，所以，B正确；因为，函数在上单调递增，所以，C正确；，的符号可正可负，D错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是构造函数，并判断其单调性，再根据单调性得到.12.已知函数，方程有四个实数根，且满足，下列说法正确的是（）A.B.的取值范围为C.t的取值范围为D.的最大值为4【答案】BC【解析】 【分析】或，作出函数f(x)图像，数形结合即可求解.详解】或，作出的图象，当时，，有一个实根；当时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；当时，只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与的交点坐标为.要使原方程有四个实根，等价于有三个实根，等价于y＝f(x)与y＝t图像有三个交点，故，，所以，故A错误，C正确；又因为，所以的取值范围为），B正确；因为，所以，故D 错误．故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.求值：_____________．【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质以及分数指数幂的运算，化简、计算可得答案.【详解】,故答案为：.14.已知函数，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，求出的表达式，分析可得，则有，又由的值，计算可得答案．【详解】根据题意，函数，则，则，故，因为，所以，故答案为：15.若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．【答案】4【解析】【详解】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4. 16.已知，，当时，恒成立，则的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】根据题中条件，先讨论，根据不等式恒成立求出；再讨论，根据不等式恒成立，求出，结合题意，得到，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，（1）当时，；不等式恒成立，可化为在上恒成立，即在上恒成立，因为在上显然单调递增，所以，因此只需；（2）当时，；不等式恒成立，可化为在上恒成立，即在上恒成立，因为在上显然单调递增，所以，因此只需；综上，只能，所以， 当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题：本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），，计算交集得到答案.（2），故，得到，解得答案.【小问1详解】当时，，所以.【小问2详解】因为，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为. 18.已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数，的值.（2）当时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）详见解析【解析】【分析】（1）由的解集为，可知和是方程的两实数根，根据韦达定理，可得到关于的方程组，求解即可；（2）当时，，进而分，和三种情况，分别解不等式，即可求出答案.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以和是方程的两实数根，则，即.（2）当时，.若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得.19.2020年初，武汉爆发了新冠肺炎交情，在全国人民的一起势力下得到了有效的控制．为进一步做好预防工作，市场上大型空气净化设备的品求量急剧上升．金华某企业生产大型空气净化设备，年固定成本300万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完．（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？【答案】（1）（2）年产量为110台时【解析】【分析】（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，结合利润总收入总投入，即得结果；（2）讨论分段函数最值，即得结果.【小问1详解】解：依题意，若年产量不足100台，另外投本，固定投本300万，总收入150x万元，故利润；若年产量不小于100台，另外投本，固定投本300万，总收入150x万元，故利润，故；【小问2详解】解：当时，，当时，，当时，， ，当且仅当，即时，取等号，所以此时，因为，所以当年产量为110台时，该企业所获利润最大.20.已知函数，．（1）求函数的定义域；（2）若不等式上恒成立，求实数m取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用对数的函数的性质可求得函数的定义域；（2）利用对数的函数的性质去掉对数符号，转化为含参不等式恒成立问题，参变分离后求最值可得答案．【小问1详解】解：，函数定义域满足，解得，函数的定义域为；【小问2详解】解：，所以，即因为函数在上单调递增 所以在上恒成立，又，所以又函数在上单调递增，所以则.21.已知函数（，且）是奇函数.（1）求实数的值；（2）若，，且在上的最小值为，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用在处有意义的奇函数的性质即可求解；(2)结合已知条件，利用换元法和一元二次函数性质，并对参数分类讨论即可求解.【小问1详解】因为是定义域为得奇函数，所以，即，解得.【小问2详解】当时，令，因为在是增函数，所以.令，，①若，在上单调递增，故，不合题意；②若，在上单调递减，在上单调递增，故，解得， 因为，所以；③若，在上单调递减，故解得，舍去.综上所述，.22.已知函数（1）若，解不等式；（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（3）记函数在上最大值为，求的最小值.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）由，先化简函数解析式，再讨论和两种情况，分别解所求不等式，即可得出结果；（2）先将函数解析式，写出分段函数的形式，分别讨论，，三种情况，根据函数单调性，即可求出结果；（3）讨论或，，，四种情况，结合函数单调性，即可得出最大值，进而可求出最小值.【详解】（1）时，，当时，可化为，解得：当时，可化为，解得，综上，不等式的解集为. （2），因为是开口向上，对称轴为的二次函数，当，即时，在上显然单调递增，满足题意；当，即时，在上增函数，满足题意；当，即时，为使函数在上单调递增，需满足：，解得；综上，或；（3）由（2）知：当或，则在上单调递增，所以；当，则，对称轴，所以；当时，；当时，，因，所以.综上，，当时，.【点睛】方法点睛：求解含参二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要利用分类讨论的的方法进行求解，考虑对称轴在给定区间左侧、右侧或位于区间内的情况，结合函数单调性，即可求解.