浙江省宁波市咸祥中学2022-2023学年高一数学上学期期中检测试卷（Word版附解析）

宁波市咸祥中学2022学年第一学期高一数学学科期中考试试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.下列命题中正确的（）A.0与表示同一个集合；B.由1，2，3组成的集合可表示为或；C.方程的所有解的集合可表示为；D.集合可以用列举法表示．【答案】B【解析】【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：不能表示一个集合，故错误；对B：因为集合的元素具有无序性，故正确；对C：因为集合的元素具有互异性，中有相同的元素，故错误；对D：集合有无限个元素，无法用列举法表示，故错误.故选：B.2.设集合，则（）A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}【答案】C【解析】【分析】首先用列举法表示集合，再根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以故选：C3.“”是“>0”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】“”⇒“>0”，“>0”⇒“”或”，所以“”是“>0”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，属于基础题.4.设，，那么（）A.奇函数且在上是增函数B.偶函数且在上是减函数C.奇函数且在上是减函数D.偶函数且在上是增函数【答案】D【解析】【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断在上的单调性即可.【详解】，，，故为偶函数,当时，，是增函数，故选：D．5.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用二次根式被开方数非负可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，即，解得.所以，函数的定义域为.故选：C.6.若，，，且满足，则下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用特值法即可判断A，B，D错误，利用不等式的性质即可判断C正确.【详解】对选项A，若，满足，此时无意义，故A错误.对选项B，若，满足，此时无意义，故B错误.对选项C，因为，，所以，故C正确.对选项D，若，满足，此时，故D错误.故选：C7.函数的图象大致为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除CD，再由时，由的正负排除B，即可得解.【详解】，，，函数为奇函数，故排除CD选项；当时，，所以，例如时，，故可排除B.故选：A8.设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函数，得出在上为单调递减，则转化为，求解即可得出答案.【详解】解：为定义在上的偶函数，在上为增函数，在上为单调递减，，，，即，解得：，所以实数的取值范围为：．故选：A.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下列命题正确的是（）A.与不是同一个函数 B.的值域为C.函数的值域为D.若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】AD【解析】【分析】根据函数的定义可判断A;结合二次函数知识求得的值域，判断B;求出函数的值域判断C;根据抽象函数的定义域求法求得的定义域，判断D.【详解】对于A,，的定义域为R，与对应法则不相同，故与不是同一个函数，A正确对于B,，由，可得，又，当时，取到最大值4，故的值域为，故B错误；对于C,函数,定义域为,且单调递增，此时，故函数的值域为，C错误；对于D，函数的定义域为，即，则，即函数定义域为，D正确，故选:10.下列函数中，最小值为2的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】 【分析】本题目考察基本不等式的应用，需要注意三个点，一是为正，二是乘积为定值时可以求和的最小值，三是当且仅当时取等，三个条件缺一不可【详解】选项A中，时，，，，所以最小值不是2，错误选项B中，当时，，当且仅当时取等；当时，，当且仅当时取等；所以，最小值为2，正确选项C中，，当且仅当时取等，此时无解，所以取不到最小值2，错误选项D中，，当且仅当时取等，所以最小值为2，正确故选：BD11.已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（）A.函数为非奇非偶函数B.函数的定义域为C.的单调递增区间为D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据点坐标，求出幂函数解析式，然后对选项分别进行判断即可.【详解】设幂函数，为实数，其图像经过点，所以，则， 所以，定义域为，为非奇非偶函数，故A正确，B错误.且在上为增函数，故C正确.因为函数是凸函数，所以对定义域内任意，都有成立，故D错误.故选:AC.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（）A.函数的最大值为1；B.函数的最小值为0C.函数的图象与直线有无数个交点D.函数是增函数【答案】BC【解析】【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，对于A：函数，故A错误；对于B：函数的最小值为0，故B正确；对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；对于D：函数不是上的增函数，故D错误； 故选：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“，”的否定是________________．【答案】，【解析】【分析】利用全称命题的否定形式，即可判断.【详解】利用全称命题的否定形式可得：命题“，”的否定是“，”.故答案为：，14.设，，则M，N之间的大小关系为M_____________N．（填写“>”或“=”或“<”）【答案】>【解析】【分析】作差即可得出答案.【详解】因为，，所以.故.故答案为：>.15.集合，，若且为单元素集，则的取值为__________．【答案】【解析】【分析】依题意可得或，求出的值，再代入检验即可.【详解】解：因为且，所以或，当时，解得或， 当时，此时，不符合题意，当时，此时，不符合题意，当时，此时，符合题意，故答案为：16.函数（，且）的图象恒过点，则__________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数恒过的定点，结合题意，直接求解即可.【详解】根据题意可得，，解得，故.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（1）化简：；（2）计算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.【详解】（1）原式．（2）原式．18.已知实数x满足集合，实数x满足集合或． （1）若，求；（2）若p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．小问1详解】因为，所以，又或．所以【小问2详解】因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，解得：或，故实数a的取值范围是.19.已知函数（1）试判断函数在（-1，+）上的单调性，并给予证明；（2）试判断函数在的最大值和最小值【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最大值，最小值【解析】【分析】（1）判定函数的单调性并用定义证明出来；（2）由函数的单调性求出在上的最值．【详解】（1）∵，∴函数在上是增函数，证明：任取，，且， 则，∵，∴，，∴，即，∴在上是增函数.（2）∵在上是增函数，∴在上单调递增，它的最大值是，最小值是．【点睛】本题主要考查了判定函数的单调性并用定义证明、利用单调性求函数的最值问题，属于基础题．20.吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】（1）（2）70万盒【解析】【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.小问1详解】 当产量小于或等于50万盒时，，当产量大于50万盒时，，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为【小问2详解】当时，；当时，，当时，取到最大值，为1200．因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．21.若正数满足.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）最小值.【解析】【分析】（1）由基本不等式和定，积最大求解.（2）根据已知条件，通过变形构造出能用基本不等式的表达式，然后利用基本不等式求解.【小问1详解】因为，又，所以，当且仅当时等号成立，所以当，时，.即的最大值为.【小问2详解】 .当且仅当时等号成立，即当，时取最小值.故的最小值为：.22.已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）设，，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式.（2）写出解析式，讨论二次函数对称轴位置，确定的最小值.【小问1详解】设，因为，所以，则，因为，所以，解得故解析式为：【小问2详解】， 化解可得：，由此可知对称轴为当，即时，当，即时，当，即时，故