河南省郑州市2021-2022学年高二数学（文）上学期期末考试试卷（Word版附解析）

郑州市2021-2022学年上期期末考试高二数学（文）试题卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设a，b，c非零实数，且，则（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；对于C：利用作差法证明.【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；对于C：因为，所以.故C正确；对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；故选：C.2.在等差数列中，，则（）．A.9B.6C.3D.1【答案】A【解析】【分析】直接由等差中项得到结果.详解】由得.故选：A.3.椭圆的长轴长是（）． A.3B.6C.9D.4【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B4.中，三边长之比为，则为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在这样的三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角为钝角.【详解】设三边分别为，，，中的最大角为，，为钝角，为钝角三角形.故选：C.5.若函数的导函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象可能是（）．A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据导数概念和几何意义判断【详解】由题意得，图象上某点处的切线斜率随增大而减小，满足要求的只有A故选：A6.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）．A.3B.1C.0D.﹣1【答案】C【解析】【分析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值故选：C7.2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙 同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），测得，，则纪念塔的高CD为（）．A.40mB.63mC.mD.m【答案】B【解析】【分析】设，先表示出，再利用余弦定理即可求解.【详解】如图所示，，设塔高为，因为平面ABC，所以，所以，又，即，解得.故选：B.8.已知各项都为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为，满足，且是与的等差中项，则下列选项正确的是（）．A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】根据题意求得，即可判断AB，再根据等比数列的通项公式即可判断C；再根据 等比数列前项和公式即可判断D.【详解】解：因为各项都为正数的等比数列，，所以，又因是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故B错误；所以，故A错误；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：D.9.设的内角的对边分别为的面积，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有，再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.【详解】由，∴，在中，，∴，解得.故选：A. 10.已知命题，；命题，，那么下列命题为假命题的是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题设命题的描述判断、的真假，再判断其复合命题的真假即可.【详解】对于命题，仅当时，故为假命题；对于命题，由且开口向上，故为真命题；所以为真命题，为假命题，综上，为真，为假，为真，为真.故选：B11.下列说法错误的是（）．A.命题“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021C.“”是“函数在内有零点”的必要不充分条件D.已知，且，则的最小值为9【答案】C【解析】【分析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；对于B：根据充分不必要条件直接判断；对于C：判断出“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件，即可判断；对于D：利用基本不等式求最值. 【详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故A正确；对于B：若“”是“或”的充分不必要条件，所以，即实数m的最大值为2021.故B正确；对于C：“函数在内有零点”，则，解得：或，所以“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件.故C错误；对于D：已知，且，所以（当且仅当，即时取等号）故D正确.故选：C12.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：A.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.函数的图象在点处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为，则，所以，，，故所求切线方程为，即.故答案为：.14.已知抛物线的焦点为，点在上，且，则______．【答案】【解析】【分析】由抛物线的焦半径公式可求得的值.【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的焦半径公式可得，解得.故答案为：.15.已知数列，点在函数的图象上，则数列的前10项和是______．【答案】【解析】 【分析】将点代入可得，从而得，再由裂项相消法可求解.【详解】由题意有，所以，所以数列的前10项和为：.故答案为：16.若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.【详解】由题意，，即，整理有，所以或，若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，所以，则，又，综上，双曲线的离心率的取值范围是.故答案为： 【点睛】关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角B的大小；（2）若△不为钝角三角形，且，，求△的面积．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角关系可得，再由三角形内角的性质求其大小即可.（2）由（1）及题设有，应用余弦定理求得、，最后利用三角形面积公式求△的面积．【小问1详解】由正弦定理得：，又，所以，又B为△的一个内角，则，所以或；【小问2详解】由△不为钝角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去负值），则．∴． 18.已知命题p：点在椭圆内；命题q：函数在R上单调递增．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据题意列不等式组求解（2）判断的真假性后分别求解【小问1详解】由题意得，解得且．故m的取值范围是【小问2详解】∵为假命题，∴p和q都是真命题，对于命题q，由题意得：恒成立，∴，∴，∴，解得．故m的取值范围是19.设数列的前n项和为，且，数列．（1）求和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据可得，从而可得；（2）利用错位相减法可得，从而可得，又，即可证明不等式成立.【小问1详解】解：∵，∴当时，，当时，，∴，经检验，也符合，∴，；【小问2详解】证明：因为，∴，∴∴，又∵，∴，所以．20.已知函数．（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为﹣1，无极小值 （2）【解析】【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.【小问1详解】当时，，定义域为，．当时，，单调递增；当时，，单调递减．∴当时，取得极大值﹣1．所以在上单调递增，在上单调递减．极大值为﹣1，无极小值．【小问2详解】由，得，令，只需.求导得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最大值，∴k的取值范围为．21.球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为 6cm．（1）写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；（2）瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）．【答案】（1），（2）当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π【解析】【分析】（1）直接由条件写出关系式即可；（2）直接求导确定单调性后，求出最大值即可.【小问1详解】设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，则瓶子的制造成本，由题意，当时，．∴，即瓶子的制造成本．∴每瓶酸梅汤的利润是，∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为：，．【小问2详解】由（1）知，则，令，则，当时，；当时，．∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π.22.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆C与x轴正半轴的交点，直线AP的斜率为，若椭圆长轴长为8．（1）求椭圆C的方程； （2）点Q为椭圆上任意一点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）18【解析】【分析】（1）易得，，进而有，再结合已知即可求解；（2）由（1）易得直线AP的方程为，，设与直线AP平行的直线方程为，由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，将代入椭圆方程，联立即可得与AP距离比较远的切线方程，从而即可求解.【小问1详解】解：由题意，将代入椭圆方程，得，又∵，∴，化简得，解得，又，，所以，∴，∴椭圆的方程为；【小问2详解】解：由（1）知，直线AP的方程为，即，设与直线AP平行的直线方程为，由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值， 将代入椭圆方程，化简可得，由，即，解得，所以与AP距离比较远的切线方程，因为与之间的距离，又，所以的面积的最大值为．