湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市2021-2022学年高一数学上学期期末试卷（Word版附解析）

2021年下学期期末调研考试试卷高一数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】已知全集，集合，，，因此，.故选：C.2.已知命题：，，则是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义写出命题的否定，然后判断．【详解】命题：，的否定是：，．故选：D．3.已知角的终边与单位圆相交于点，则=（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数的定义求角的正、余弦，再利用二倍角公式计算即可.【详解】角的终边与单位圆相交于点，故，所以，故.故选：C.4.设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)（）A.在区间，(1，e)内均有零点B.在区间，(1，e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D.区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】【分析】求出导函数，由导函数的正负确定函数的单调性，再由零点存在定理得零点所在区间．【详解】当x∈时，函数图象连续不断，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在上单调递减．又＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1，e)内．故选：D5.如果“，”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当，时，，故充分；当时，，，故不必要，故选：A6.已知函数可表示为（）xy2345则下列结论正确的是（）A.B.的值域是C.的值域是D.在区间上单调递增【答案】B【解析】【分析】根据给定的对应值表，逐一分析各选项即可判断作答.【详解】由给定的对应值表知：，则，A不正确；函数的值域是，B正确，C不正确；当时，，即在区间上不单调，D不正确.故选：B7.如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“-函数”.若函数是“-函数”，则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据题中的新定义转化为，即，根据的值域求的取值范围.【详解】，，函数是“-函数”，对任意，均有，即，，即，又，或.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是读懂新定义，并使用新定义，并能转化为函数值域解决问题.8.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（）附：A.10%B.20%C.50%D.100%【答案】B【解析】【分析】根据题意，计算出的值即可；【详解】当时，，当时，，因为所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%， 故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】先利用不等式性质得到，再利用不等式性质逐一判断选项正误即可.【详解】由知，，，即，故，所以，A错误，B错误；由知，，，则，故C正确；由知，，则，故，即，D正确.故选：CD.10.函数(，，是常数，，)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A.B.在区间上单调递增C.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数图象得到A=2，，再根据函数图象过点，求得，得到函数解析式，然后再逐项判断.【详解】由函数图象得：A=2，,所以，又因为函数图象过点，所以，即，解得，即，所以，所以A.，故错误；B.因为，所以，故正确；C.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，故错误；D.，，所以，故正确； 故选：BD【点睛】关键点点睛：本题关键是关键函数的图象，利用函数的性质求出函数的解析式.11.若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（）A.B.C.D.1【答案】BC【解析】【分析】分离参数得，求出在内的值域即可判断．【详解】由题意在上有解．∵，∴，故选：BC．12.已知定义在R上函数图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，都有；③.则下列选项成立的是（）A.B.若，则C.若，D.，，使得【答案】ACD【解析】【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A，根据函数性质比较函数值大小；对于B，，等价于，求得参数范围；对于C，若，分类讨论求得不等式解集；对于D，根据函数的性质知，函数存在最大值，从而满足条件.【详解】由①知函数为偶函数；由②知，函数在上单调递减；则函数在上单调递增； 对于A，，故A正确；对于B，，则，解得，故B错误；对于C，若，由题知，则当时，，解得；当时，，解得，故C正确；对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值，则只需，即可满足条件，故D正确；故选：ACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象过点，则_____________．【答案】##【解析】【分析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解．【详解】设，由已知得，所以，．故答案为：．14.______.【答案】【解析】【分析】根据指数、对数的运算性质计算即可得答案.【详解】原式=.故答案为：15.果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为 千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.【详解】由题意可知函数关系式是，由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.故答案为：；16.若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.【答案】8【解析】【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.【详解】由得：，又实数x，y满足，则，当且仅当，即时取“=”，由解得：，所以当时，取最小值8.故答案为：8【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.四､解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.目前，"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?【答案】（1）；（2）0.8小时.【解析】【分析】（1）时，设，由最高点求出，再依据最高点求出参数，从而得函数解析式；（2）解不等式可得结论．【详解】解：（1）依题意，当时，可设，且，解得 又由，解得，所以（2）令，即，得，解得，即至少需要经过后，学生才能回到教室.18.设函数.（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值；（2）若，且存在，使成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据的解集为，利用根与系数的关系求解；（2）根据，得到，再由存在，成立，分，，，利用判别式法求解.【小问1详解】解：因为的解集为，所以，解得；【小问2详解】 （2）因为，所以，因为存在，成立，即存在，成立，当时，，成立；当时，函数图象开口向下，成立；当时，，即，解得或，此时，或，综上：实数a的取值范围或.19.（1）若，求的值；（2）已知锐角，满足，若，求的值.【答案】（1）5；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件化正余的齐次式为正切，再代入计算作答.（2）根据给定条件利用差角的余弦公式求出，结合角的范围求出即可作答.【详解】（1）因，所以.（2）因，是锐角，则，，又，，因此，，，则 ，显然，于是得：，解得，所以的值为.20.已知.（1）若，，求x的值；（2）若，求的最大值和最小值.【答案】（1）或；（2）的最大值和最小值分别为：，.【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数，再利用给定的函数值及x的范围求解作答.(2)求出函数相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.【小问1详解】依题意，，由，即得：，而，即，于是得或，解得或，所以x的值是或.【小问2详解】由(1)知，，当时，，则当，即时，，当，即时， ，所以的最大值和最小值分别为：，.21.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本万元.（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台；（2）90人.【解析】【分析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.【详解】（1）由总成本，可得每台机器人的平均成本.因为.当且仅当，即时，等号成立.∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当时，300台机器人的日平均分拣量为 ∴当时，日平均分拣量有最大值144000.当时，日平均分拣量为∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）.∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.22.设函数是定义域为R的奇函数.（1）求；（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据是定义域为R的奇函数，由求解；（2），得到b的范围，从而得到函数的单调性，将对一切恒成立，转化为对一切恒成立求解；（3）根据函数的图象过点，求得b，得到 ，令，利用复合函数求最值的方法求解.【小问1详解】解：函数是定义域为R的奇函数，所以，解得，此时，满足；【小问2详解】因为，所以，解得，所以在R上是减函数，等价于，所以，即，又因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，解得，所以实数k的取值范围是；【小问3详解】因为函数的图象过点，所以，解得，则，令，则， 当时,是减函数，，因为函数在上的最大值为2，所以，即，解得，不成立；当时，是增函数，，因为函数在上最大值为2，所以，即，解得或（舍去），