河北省唐山市2021-2022学年高一数学上学期期末试卷（Word版附解析）
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唐山市2021~2022学年度高一年级第一学期期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈Z|0≤x≤3}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=（）A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}【答案】A【解析】【分析】由集合交运算求A∩B即可.【详解】由题设，A∩B={0,1,2,3}∩{0,1,2}={0,1,2}.故选：A.2.函数fx=lgx+4-x2的定义域为（）A.0,4B.1,2C.0,2D.1,2【答案】C【解析】【分析】由真数大于0，二次根式下被开方数不小于0可得．【详解】由题意x>04-x2≥0，解得0<x≤2．故选：c．3.设命题p:∀x∈0,1，x>x3，则¬p为（）A.∀x∈0,1，x<x3b.∃x∈0,1，x<x3c.∀x∈0,1，x≤x3d.∃x∈0,1，x≤x3【答案】d【解析】【分析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.【详解】因为命题p:∀x∈0,1，x>x3，所以¬p：∃x∈0,1，x≤x3.故选：D4.函数f(x)=ax(a>0,a≠1)对于任意的实数x、y都有（）A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(x+y)=f(x)f(y)C.f(xy)=f(x)+f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y),【答案】B【解析】【分析】由指数的运算性质得到ax+y=ax⋅ay，逐一核对四个选项即可得到结论.【详解】解：由函数f(x)=ax(a>0,a≠1)，得f(x+y)=ax+y=ax⋅ay=f(x)⋅f(y)，所以函数f(x)=ax(a>0,a≠1)对于任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)f(y).故选：B.【点睛】本题考查了指数的运算性质，是基础题.5.已知a=log0.32，b=30.3，c=0.32，则（）A.a<c<bb.a<b<cc.c<a<bd.b<c<a【答案】a【解析】【分析】利用指数函数的单调性得到0<c<1<b，再利用对数函数的单调性得到a<0，从而比较出a，b，c的大小关系．【详解】解：∵0<0.32<0.30=1，30.3>30=1∴0<c<1<b，∵log0.32<log0.31=0，∴a<0，∴a<c<b，故选：a．6.已知sin(α-π)+cos(π-α)sin(-α)+cos(2π-α)=3，则tanα等于（）a.-2b.2c.-3d.3【答案】b【解析】【分析】应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为-tanα-1-tanα+1=3，即可求值.【详解】sin(α-π)+cos(π-α)sin(-α)+cos(2π-α)=-sinα-cosα-sinα+cosα=-tanα-1-tanα+1=3，∴-tanα-1=-3tanα+3，可得tanα=2.故选：b.7.设a,b均为实数，则“a>b”是“a3>b3”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件,C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】因为a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)[(a+b2)2+3b24]，所以a>b⇔a3>b3，即“a>b”是“a3>b3”的充要条件，选C.8.在下列区间中，函数fx=ex+2x-3的零点所在的区间为（）A.0,14B.14,12C.12,34D.34,1【答案】C【解析】【分析】利用零点存在定理即可判断.【详解】函数fx=ex+2x-3的定义域为R.因为函数y=ex,y=2x-3均为增函数，所以fx=ex+2x-3为R上的增函数.又f1=e0+2×0-3=-2<0，f14=e14+2×14-3<e12-52=e-52<0，f12=e12+2×12-3=e-2<0，f34=e34+2×34-3=e34-12>e-12>0.由零点存在定理可得：fx的零点所在的区间为12,34.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.要得到y=sin2x-π4的图象，可以将函数y=sinx图象上所有的点（）A.向左平移π4个单位，再把横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.向右平移π4个单位，再把横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变C.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移π8个单位D.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π8个单位【答案】BD【解析】【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)图象变换规律，可得结论；【详解】解：将y=sinx向右平移π4个单位得到y=sinx-π4，再将y=sinx-π4横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变y=sin2x-π4，故B,正确，A错误；将y=sinx横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y=sin2x，再将y=sin2x向右平移π8个单位得到y=sin2x-π8=sin2x-π4，故D正确，C错误；故选：BD10.已知两个不为零实数x，y满足x>y，则下列结论正确的是（）A.1x>1yB.1x<1yC.xy+yx≥2D.x+y22<x2+y22【答案】cd【解析】【分析】由基本不等式判断cd，由不等式的性质（举反倒判断ab）．【详解】当x>y>0时，得1x<1y，A错；当x>0>y时，1x>1y，B错；xy>0,yx>0，xy+yx≥2xy⋅yx=2，当且仅当x=y时，等号成立．C正确；x,y是实数，则x2+y2≥2xy，2(x2+y2)≥x2+2xy+y2=(x+y)2，所以x+y22≤x2+y22，当且仅当x=y时等号成立，D正确．故选：CD．11.下列函数中，既是奇函数又在区间5,6内是减函数的是（）A.y=ex-e-xB.y=-xxC.y=-sinxD.y=3x+3-x【答案】BC【解析】【分析】对于A：由y=ex-e-x为增函数否定结论；对于B：由奇偶性的定义和二次函数的单调性直接判断；对于C：由奇偶性的定义和正弦函数的单调性直接判断；对于D：由奇偶性的定义直接判断.【详解】对于A：因为y=ex和y=-e-x为增函数，所以y=ex-e-x为增函数，故A错误；对于B：y=-xx的定义域为R..记fx=-xx.因为f-x=--x-x=xx=-fx，所以fx=-xx为奇函数.,因为fx=-xx=-x2 x≥0x2 x<0.当x≥0时，fx=-x2为减函数，所以在区间5,6内是减函数.故B正确；对于C：y=-sinx为奇函数.因为3π2<5<6<2π，所以在区间5,6内是减函数.故C正确；对于D：y=3x+3-x定义域为R.记fx=3x+3-x，因为f-x=3-x+3x=fx，所以y=3x+3-x为偶函数，故D错误.故选：BC.12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+4)=f(x)，f(x+1)=f(1-x)，且当x∈[-1,1]时，f(x)=|4x-1|，则以下结论正确的是（）A.f(2022)=0B.G(x)=f(x)-12在[-2,4]内零点之和为6C.f(x)在区间[4,5]内单调递减D.f(x)在[2,6]内的值域为[0,3]【答案】ABD【解析】【分析】由题设f(x)的周期为4且关于x=1对称，结合区间解析式画出f(x)的部分图象，应用数形结合法及图象的对称性、周期性判断各选项的正误.【详解】由题设，f(x)的周期为4且关于x=1对称，∴f(2022)=f(4×505+2)=f(2)=f(0)=0，A正确；又x∈[-1,1]时f(x)=|4x-1|，可得f(x)的部分图象如下：由图知：G(x)=f(x)-12在[-2,4]内6个零点关于x=1对称，故零点之和为6，B正确；由图象及对称性知：f(x)在[4,5]内单调递增，在[2,6]内的值域为[0,3]，C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.cos75°sin135°+sin45°cos15°=______．,【答案】32【解析】【分析】利用诱导公式和两角和公式即可求得.【详解】由诱导公式可得：cos75°sin135°+sin45°cos15°=sin15°cos45°+sin45°cos15°=sin15°+45°=sin60°=32.故答案：3214.幂函数y=f(x)的图象过点(2,8)，则f(4)=______．【答案】64【解析】【分析】由幂函数y=f(x)=xα的图象过点(2,8)，求出f(x)=x3，由此能求出f(4)．【详解】∵幂函数y=f(x)=xα的图象过点(2,8)，∴2α=8，解得α=3，∴f(x)=x3，∴f(4)=43=64．故答案为64．【点睛】本题考查幂函数概念，考查运算求解能力，是基础题．15.不等式tanx+π4≥1的解集为______．【答案】kπ,π4+kπ，k∈Z【解析】【分析】根据正切函数性质求解、【详解】由正切函数性质，由tanx+π4≥1得kπ+π4≤x+π4<kπ+π2，k∈z，所以kπ≤x<kπ+π4，k∈z，故答案为：[kπ,kπ+π4)，k∈z．16.已知函数f(x)=cosπx,x∈[-12,32],-12f(x-2),x∈(32,+∞).①f(5)=______；②函数f(x)与函数y=(12)x-1，二者图象有______个交点．,【答案】①.-14##-0.25②.3【解析】【分析】①根据函数解析式，代值求解即可；②在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，即可数形结合求得结果.【详解】①由题可知：f5=-12f3=14f1=14cosπ=-14；②根据f(x)的解析式，在同一坐标系下绘制f(x)与y=(12)x-1的图象如下所示：数形结合可知，两个函数有3个交点.故答案为：-14；3.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）lg22+lg2lg5+lg5；（2）sin40°tan10°-3．【答案】（1）1（2）-1【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质直接计算可得；（2）先进行切化弦，再通分后利用和差角公式和诱导公式即可求得.【小问1详解】原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1【小问2详解】原式＝sin40°(sin10°cos10°－3)＝sin40°(sin10°-3cos10°cos10°),＝2sin40°sin(-50°)cos10°＝-2sin40°cos40°cos10°＝-sin80°cos10°＝-cos10°cos10°＝－118.设函数fx=sin2x-cos2x+2cosxcosx-π3．（1）求函数fx的最小正周期；（2）求函数fx的单调递减区间；（3）求函数fx在闭区间0,π2内的最大值以及此时对应的x的值．【答案】（1）π（2）π3+kπ,5π6+kπ，k∈z（3）fx在0,π2内的最大值为32，此时x=π3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得fx＝sin2x-π6＋12根据周期公式计算即可；（2）令π2＋2kp≤2x－π6≤3π2＋2kp，k∈z，计算即可求得fx的单调递减区间；（3）由0≤x≤π2，可得－π6≤2x－π6≤5π6，利用正弦型函数性质即可求得最值及对应的x的值．【小问1详解】f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosxcosx-π3＝－cos2x＋2cosxcosxcosπ3+sinxsinπ3＝－cos2x＋1+cos2x2＋32sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x-π6＋12．函数f(x)的最小正周期为t＝2π2＝π．【小问2详解】令π2＋2kp≤2x－π6≤3π2＋2kp，k∈z，,解得π3＋kp≤x≤5π6＋kp，k∈z，函数f(x)的单调递减间为π3+kπ,5π6+kπ，k∈z．【小问3详解】因为0≤x≤π2，－π6≤2x－π6≤5π6，所以-12≤sin2x-π6≤1.当2x－π6＝π2时，即x＝π3时，f(x)有最大值为32．19.已知关于x的不等式：ax2-3a+1x+3<0．（1）当a=-2时，解此不等式；（2）当a>0时，解此不等式．【答案】（1）{x|x<-12或x>3（2）当a=13时，解集为∅；当0<a<13时，解集为{x|3<x<1a}；当a>13时，解集为{x|1a<x<3}【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；（2）不等式可变形为(x－3)(x－1a)＜0，然后分a＝13、0＜a＜13、a＞13三种情况讨论即可.【小问1详解】当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－12或x＞3，当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－12或x＞3}．【小问2详解】当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0整理得：(x－3)(x－1a)＜0，当a＝13时，1a＝3，此时不等式无解；当0＜a＜13时，1a＞3，解得3＜x＜1a；当a＞13时，1a＜3，解得1a＜x＜3；综上：当a＝13时，解集为æ；当0＜a＜13时，解集为{x|3＜x＜1a}；,当a＞13时，解集为{x|1a＜x＜3}.20.某工厂以xkg h="">0时，①判断fx的单调性（不要求证明）；②对任意实数x，不等式fsin2x+cosx+f3-2m<0恒成立，求正整数m的最小值．【答案】（1）a=1或a=-1（2）①fx在R上单调递增②3【解析】【分析】（1）依题意可得fx+f(-x)=0，即可得到方程，解得即可；,（2）①根据复合函数的单调性判断可得；②根据函数的单调性与奇偶性可得sin2x+cosx<2m-3在R上恒成立，由sin2x+cosx=-cosx-122+54≤54，即可得到不等式，解得m的取值范围，即可得解；【小问1详解】解：因为函数fx=ln1+x2+ax是一个奇函数，所以fx+f(-x)=0，即ln1+x2+ax+ln1+x2-ax=0，可得1+x2+ax1+x2-ax=1，即1+x2-a2x2=1，则(1-a2)x2＝0，得a=1或a=-1．此时定义域为R，满足题意.【小问2详解】①因为a>0，所以a=1．函数fx=ln1+x2+x，定义域为R，因为y=1+x2+x与y=lnx在定义域上单调递增，所以fx在R上单调递增．②对任意实数x，f(sin2x+cosx)+f(3-2m)<0恒成立，f(sin2x+cosx)<-f(3-2m)=f(2m-3)，由①知函数fx在R上单调递增，可得sin2x+cosx<2m-3在R上恒成立．因为sin2x+cosx=1-cos2x+cosx=-cosx-122+54≤54，所以2m-3>54，即m>178．于是正整数m的最小值为3．22.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，CD=23，∠DAB=∠CDB=θ，0<θ<π2，∠ADB=π2，BE⊥CD于点E．（1）求四边形ABCD面积的最大值；（2）求DA+DB+DE的取值范围．【答案】（1）2+3（2）2,1+22,【解析】【分析】（1）依题意可得DA=2cosθ，DB=2sinθ，再由∠CDB=θ，得到BE=2sin2θ，DE=2sinθcosθ，再根据S四边形ABCD=S△DAB+S△DCB，利用三角恒等变换化简S四边形ABCD=2sin2θ-π3+3，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得DA+DB+DE=2cosθ+2sinθ+2sinθcosθ，再令t=cosθ+sinθ，则DA+DB+DE=(t+1)2-2，再根据二次函数的性质计算可得；【小问1详解】解：因为∠ADB=90°，AB=2，∠DAB=θ，所以DA=2cosθ，DB=2sinθ.又因为∠CDB=θ，所以BE=BDsinθ=2sin2θ，DE=2sinθcosθ．则S四边形ABCD=S△DAB+S△DCB=12×DA×DB+12×DC×BE=2sinθcosθ+23sin2θ=sin2θ+31-cos2θ=2sin2θ-π3+3因为0<θ<π2，-π3<2θ-π3<2π3，所以-32</x<3}【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；（2）不等式可变形为(x－3)(x－1a)＜0，然后分a＝13、0＜a＜13、a＞13三种情况讨论即可.【小问1详解】当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－12或x＞3，当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－12或x＞3}．【小问2详解】当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0整理得：(x－3)(x－1a)＜0，当a＝13时，1a＝3，此时不等式无解；当0＜a＜13时，1a＞3，解得3＜x＜1a；当a＞13时，1a＜3，解得1a＜x＜3；综上：当a＝13时，解集为æ；当0＜a＜13时，解集为{x|3＜x＜1a}；,当a＞13时，解集为{x|1a＜x＜3}.20.某工厂以xkg></a<13时，解集为{x|3<x<1a}；当a></kπ+π2，k∈z，所以kπ≤x<kπ+π4，k∈z，故答案为：[kπ,kπ+π4)，k∈z．16.已知函数f(x)=cosπx,x∈[-12,32],-12f(x-2),x∈(32,+∞).①f(5)=______；②函数f(x)与函数y=(12)x-1，二者图象有______个交点．,【答案】①.-14##-0.25②.3【解析】【分析】①根据函数解析式，代值求解即可；②在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，即可数形结合求得结果.【详解】①由题可知：f5=-12f3=14f1=14cosπ=-14；②根据f(x)的解析式，在同一坐标系下绘制f(x)与y=(12)x-1的图象如下所示：数形结合可知，两个函数有3个交点.故答案为：-14；3.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）lg22+lg2lg5+lg5；（2）sin40°tan10°-3．【答案】（1）1（2）-1【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质直接计算可得；（2）先进行切化弦，再通分后利用和差角公式和诱导公式即可求得.【小问1详解】原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1【小问2详解】原式＝sin40°(sin10°cos10°－3)＝sin40°(sin10°-3cos10°cos10°),＝2sin40°sin(-50°)cos10°＝-2sin40°cos40°cos10°＝-sin80°cos10°＝-cos10°cos10°＝－118.设函数fx=sin2x-cos2x+2cosxcosx-π3．（1）求函数fx的最小正周期；（2）求函数fx的单调递减区间；（3）求函数fx在闭区间0,π2内的最大值以及此时对应的x的值．【答案】（1）π（2）π3+kπ,5π6+kπ，k∈z（3）fx在0,π2内的最大值为32，此时x=π3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得fx＝sin2x-π6＋12根据周期公式计算即可；（2）令π2＋2kp≤2x－π6≤3π2＋2kp，k∈z，计算即可求得fx的单调递减区间；（3）由0≤x≤π2，可得－π6≤2x－π6≤5π6，利用正弦型函数性质即可求得最值及对应的x的值．【小问1详解】f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosxcosx-π3＝－cos2x＋2cosxcosxcosπ3+sinxsinπ3＝－cos2x＋1+cos2x2＋32sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x-π6＋12．函数f(x)的最小正周期为t＝2π2＝π．【小问2详解】令π2＋2kp≤2x－π6≤3π2＋2kp，k∈z，,解得π3＋kp≤x≤5π6＋kp，k∈z，函数f(x)的单调递减间为π3+kπ,5π6+kπ，k∈z．【小问3详解】因为0≤x≤π2，－π6≤2x－π6≤5π6，所以-12≤sin2x-π6≤1.当2x－π6＝π2时，即x＝π3时，f(x)有最大值为32．19.已知关于x的不等式：ax2-3a+1x+3<0．（1）当a=-2时，解此不等式；（2）当a></x2+y22【答案】cd【解析】【分析】由基本不等式判断cd，由不等式的性质（举反倒判断ab）．【详解】当x></e12-52=e-52<0，f12=e12+2×12-3=e-2<0，f34=e34+2×34-3=e34-12></c<1<b，∵log0.32<log0.31=0，∴a<0，∴a<c<b，故选：a．6.已知sin(α-π)+cos(π-α)sin(-α)+cos(2π-α)=3，则tanα等于（）a.-2b.2c.-3d.3【答案】b【解析】【分析】应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为-tanα-1-tanα+1=3，即可求值.【详解】sin(α-π)+cos(π-α)sin(-α)+cos(2π-α)=-sinα-cosα-sinα+cosα=-tanα-1-tanα+1=3，∴-tanα-1=-3tanα+3，可得tanα=2.故选：b.7.设a,b均为实数，则“a></c<bb.a<b<cc.c<a<bd.b<c<a【答案】a【解析】【分析】利用指数函数的单调性得到0<c<1<b，再利用对数函数的单调性得到a<0，从而比较出a，b，c的大小关系．【详解】解：∵0<0.32<0.30=1，30.3></x3b.∃x∈0,1，x<x3c.∀x∈0,1，x≤x3d.∃x∈0,1，x≤x3【答案】d【解析】【分析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.【详解】因为命题p:∀x∈0,1，x></x≤2．故选：c．3.设命题p:∀x∈0,1，x>
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