河南省南阳市第一中学2022-2023学年高三数学（文）上学期12月月考试卷（PDF版附答案）

南阳一中2023届高三第三次阶段性测试文数试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．）11．已知i为虚数单位，复数z满足(1i)zi，则z的值为（）2111A．B．C．D．443222．若Axy8xx12，Bxln(x3)2，则AB=（）22A．2,4B．3,6C．2,eD．3,e3．下列说法错误的是（）A．若命题2n，则p：nN，2np：nN，n2n2B．“ab”是“lnalnb”的必要不充分条件C．若命题“pq”为真命题，则命题p与命题q中至少有一个是真命题D．“若ab4，则a,b中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题14．已知在△ABC中，AB3，AC4，BAC，AD2DB，P在CD上，APACAD，32117则APBC的值为（）A．B．C．4D．6622222225．若正项数列{an}满足a11，an1an1an6an0，则a1a2a3an（）n1(4n1)n1(2n1)A．41B．C．21D．336．三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAACAA60，则异面直线AB与BC所成角的余弦值为11116311（）A．B．C．D．636327．已知函数f(x)sinx，gxlnx1x，H(x)的解析式是由函数f(x)和g(x)的解析式组合而成，函数H(x)部分图象如下图所示，则H(x)解析式可能为（） fxA．f(x)g(x)B．f(x)g(x)C．f(x)g(x)D．gx2π8．已知函数fx2cosx则（）4A．fx是奇函数B．函数fx的最小正周期为4ππC．曲线yfx关于x对称D．f1f229．已知圆M过点A1,3、B1,1、C3,1，则圆M在点A处的切线方程为（）A．3x4y150B．3x4y90C．4x3y130D．4x3y5010．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D11223的距离为（）A．B．C．D．242211．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）5325A．[，2]B．[，]2423266C．[，]D．[，2]822xx12．已知函数f(x)eecos2x，若fx1fx2，则（）A．f(x)为奇函数B．f(x)在(,0)上为增函数C．x2x2D．ex1x2112二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线过点2,3，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，则此直线的方程为__________．C：222214．圆1xy2x3与圆C2：xy4y1的公共弦长为______．1115．已知ab0，且a2b1，则的最小值为______．abb16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为______. 三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．记S为数列a的前n项和，a3，且(n2)a(n1)a1（n2，且nN）．nn2nn1(1)求数列an的通项公式；4(2)求数列的前n项和．aann118．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.1(1)若PB＝，求PA；2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．19．在三棱锥PABC中，ACBC，PAPB，D、E分别是棱BC、PB的中点.(1)证明：ABPC；(2)线段AC上是否存在点F，使得AE//平面PDF?若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由． 2220．已知点M（1，0），N（1，3），圆C：xy1，直线l过点N．(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．21．如图，四棱锥PABCD中，DAAB，PDPC，PBPC，ABADPDPB1，4cosDCB．5(1)求证：BD平面PAC．(2)求四棱锥PABCD的体积.2x22．已知函数fxm1xmlnxm，fx为函数fx的导函数．2(1)讨论fx的单调性；(2)若xfxfx0恒成立，求m的取值范围． 南阳一中2023届高三第三次阶段性测试文数试题参考答案：1．C2．B3．C4．C5．B6．A7．A8．D9．A10．B11．B12．C859113．3x2y0或x3y11014．15．42316．（选填详解附后）51217．解：（1）当n2时，a11，由已知(n2)an(n1)an11(n2)，则(n1)an1nan1(n1)，两式相减得2(n1)an(n1)an1(n1)an1，即2anan1an1，且a2a12，则数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，则an的通项公式为an2n1；44411（2）设数列的前n项和为Sn，∵2，anan1anan1(2n1)(2n1)2n12n1111114n∴Sn21．3352n12n12n118解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝7.故PA＝2.3sinsin150sin(30)（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化简得3cosα＝4sinα.33所以tanα＝，即tan∠PBA＝.19解：（1）取AB的44中点H，连接PH，CH，如图，因ACBC，PAPB，则CHAB，PHAB，而CH平面PHC，PH平面PHC，CHPHH，于是得AB平面PHC，又PC平面PHC，所以ABPC.CF（2）当AC上的点F满足2时，AE//平面PDFAF连接CE交PD于G，连接FG，D、E分别是BC、PB的中点， CGCGCF则G是△PBC的重心，有2，即有，因此FG//AE，GEGEAF而AE平面PFD，FG平面PFD，所以AE//平面PFD．20（1）解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为x1，此时直线l与圆C相切，ykx13kxyk30故x1符合条件；若直线l的斜率存在，设斜率为k，其方程为，即，由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，k344得1，解得k，所以直线l的方程为yx13，即4x3y50，k2133综上所述，直线l的方程为x1或4x3y50；（2）证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，kxyk30此时设l的方程为kxyk30，联立22，xy12222得1kx-2k6kxk6k80，则242222k6k41kk6k8=24k32＞0，解得k，3设A（x1，y1），B（x2，y2），222k6kk6k8则xx，xx，（1）122122k1k1y1y2kx113kx23333x1x22所以k1k22k2k，x11x21x11x21x11x21x1x2x1x2118k62将（1）代入上式整理得k1k22k，932故k1k2为定值．321解：（1）∵PDPC，PBPC，PB=PD，∴Rt△PDC≌Rt△PBC，∴BC=DC，又PB∩PD=P，∴PC⊥平面PBD，∵BD平面PBD，∴PC⊥BD，∵AB=AD，BC=CD，∴易知AC⊥BD，又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC； （2）如图，设AC交BD于O，则O是BD的中点，连接OP．4由(1)知，BC=CD，又BD=2，cosDCB，5222∴在△BCD中，由余弦定理得：BDBCDC2BCDCcosDCB，224即22BC2BC，解得BC5，5221322212∴OCBCOB5，OA，OPPBOB1，2222222PCBCPB512，1122∵PC⊥平面PBD，∴PCOP，∴SOPPC2，PCO22222SOA222PAO由SPAO，SOC326PCO22222∴SSS，PACPCOPAO26312224∴V2V2．PABCDBPAC33292mx(m1)xm(xm)(x1)f(x)x(m1)22解：（1）由题可得xxx，①当m0时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；x(1,)时，f(x)0，f(x)单调递增；②当0m1时，x(0,m)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(m,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；x(1,)时，f(x)0，f(x)单调递增；③当m1时，x(0,)时，f(x)0，f(x)单调递增；④当m1时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(1,m)时，f(x)0，f(x)单调递减；x(m,)时，f(x)0，f(x)单调递增. 2xmlnx0（2）由xfxfx0恒成立，即2，2xmlnx，22x当x1时，mlnx恒成立，222xx当x1时，m，当0x1时，m，2lnx2lnxx2x(2lnx1)令g(x)，则g(x)2，2lnx2(lnx)当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减且g(x)0，所以m0当x1时，g(x)0得xe，1xe时，g(x)0，g(x)单调递减，xe时，g(x)0，g(x)单调递增；g(x)g(e)e，故me综上，m的取值范围为0me. 附：选填答案：ii(1i)1i1111zizi1．C【详解】由(1i)zi得：1i(1i)(1i)222，则22，1121所以z().222故选：C22Axy8xx12x8xx120x2x62．B【详解】若，22Bxlnx32x0x3lnex3x3e，则ABx|3x6.故选：B.p:nNn22n，A正确；3．C【详解】对于A，由特称命题的否定可知：，对于B，当ab0时，lna,lnb无意义，充分性不成立；当lnalnb时，0ab，必要性成立；则“ab”是“lnalnb”的必要不充分条件，B正确；对于C，若p,q均为假命题，则p,q均为真命题，pq为真命题，C错误；对于D，原命题的逆否命题为：若a,b都小于2，则ab4，可知逆否命题为真命题，D正确.故选：C.11111,BCACAB,APACAB4．C【详解】D,P,C三点共线，22，23，12112APBCACABACAB8134263故选：Cn(n1)nadS12n1nad15．D【详解】设等差数列的公差为d，则nn2，SS1210因为2，1210119所以(a1d)(a1d)2，解得d2，22 20222021所以S20222022a1d20222020202220212022，2故选：D6．A【详解】若E,F,D,G分别是AC1,B1C1,AB,AC的中点，连接ED,EF，则ED//BC1,EF//AB1，∴直线AB1与BC1所成角即为DEF或其补角，由ABC-A1B1C1底面边长和侧棱长都相等且BAA1CAA160，易知：DGC1F为平行四边形，若H为BC中点，连接HF,AH，则AHBC且AH是AA1在面ABC上的射影，∴AA1BC，而AA1//BB1//CC1，易知：BCC1B1为正方形，11若ABC-A1B1C1棱长为2，则EDBC12,EFAB13，2222∴DFGCCCCG2CCCGcos1207，111222EDEFDF6在△DEF中，cosDEF，2EDEF66∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为.6故选：Af(x),g(x)7．A【详解】定义域都为R，关于原点对称，而f(x)sin(x)sinxf(x)， 21g(x)ln(x)1xlng(x)，2x1xf(x)所以f(x),g(x)都是奇函数，故f(x)g(x)，都是偶函数,g(x)因为所给图象关于原点对称，是奇函数，故可排除CD；当xe时，2sineln(1ee)sineln2esine1ln20，故排除选项B.故选：A2πππfx2cosxcos2x1cos2x1sin2x18．D【详解】因为442，ππππππ对于A，fsin12，fsin10，即ff，所以fx不424244是奇函数，故A错误；2π对于B，Tπ，故B错误；2πππ对于C，fsinπ112，即fx在x处取不到最值，故fx不关于x对称，故222C错误；π对于D，2π，π42π，则sin20,sin40，2所以f1f2sin21sin41sin2sin40，即f1f2，故D正确.故选：D.229．A【详解】设圆M的一般方程为xyDxEyF0，D3EF100D1由题意可得DEF20，解得E2，3DEF100F5221所以，圆M的方程为xyx2y50，圆心为M,1，2314kAM直线AM的斜率为13，12 3因此，圆M在点A处的切线方程为y3x1，即3x4y150.4故选：A.10．B【详解】过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，连结B1C，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EFBC1于F，AB平面BCC1B1，所以ABB1C，且B1CBC1，ABIBC1B所以B1C平面ABC1D1，EF//B1C，所以EF平面ABC1D1，12可求得EFBC．144故选：B11．B【详解】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形，则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF．又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上． 2215在Rt△AA1M中，AMAAAM1，11425同理，在Rt△AA1N中，求得AN，则△AMN为等腰三角形．222232当P在MN的中点时，AP最小为1()，442125当P与M或N重合时，AP最大为1()．22325∴线段AP长度的取值范围是[，]．42故选：B．xxxxfxeecos2xeecos2xfx12．C【详解】因为，xxπxx所以fx为偶函数，故A错误；fxee2sin2x，当0x时，ee0,2sin2x0，2πππ所以fx0，当x时，exexe2e2ee12,2sin2x2，所以f¢(x)>0，所以2fx在0,上单调递增，因为fx为偶函数，所以fx在,0上为减函数，故B错误；因为fx1fx2，所以fx1fx2，又因为fx在[0,)上递增，所以x1x2，即x2x2，故C正确；显然xx0不一定成立，则ex1x21不成立，故D错误.1212故选：C13．3x2y0或x3y110【详解】当此直线过原点时，直线在x轴上的截距和在y轴上的截距都等于0，显然成立， 33所以直线斜率为且过原点，所以直线解析式为yx，化简得；3x2y0，22xy当直线不过原点时，由在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍可设直线方程为1，3aa因为直线过2,3，2311所以1，解得a，3aa3化简得：x3y110.故答案为：3x2y0或x3y110.8514．【详解】解：圆C1与圆C2的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即x2y10，52222C的圆心为1,0，半径r为2，因为xy2x3变形为x1y4，即圆11225所以，圆心C1到x＋2y－1＝0的距离d，1222522485所以，两圆的公共弦长为2rd24.15585故答案为：．515．423【详解】由a2b1得：(ab)3b1，又ab0，11113bab3bab则[(ab)3b]()442423，abbabbabbabb3bab333当且仅当，即a,b时取等号，abb3633311所以当a,b时，则取得最小值423.36abb故答案为：4239116．【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥SABC.如图，12设三棱锥SABC外接球的球心为O，连接SO，OC，作OO平面ABC，连接CO，延长CO交AB于点H，连接SH，过O作OHSH，垂足为H.由题可知，平面SAB平面ABC，ABACBCSH2， 2232设OOh，则h322323232912h，解得h，则h，3434891故该几何体外接球的表面积为.1291故答案为：12