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8.4机械能守恒定律习题课(解析版)
8.4机械能守恒定律习题课(解析版)
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8.4机械能守恒定律习题课【学习目标】1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定.2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式.3.在多个物体组成的系统中,会应用机械能守恒定律解决相关问题.4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别.【知识要点】一、判断机械能是否守恒的方法(1)做功条件分析法:若物体系统内只有重力和弹力做功,其他力均不做功,则系统机械能守恒,具体有三种表现:①只受重力、弹力,不受其他力;②除受重力、弹力外还受其他力,其他力不做功;③除重力、弹力外还有其他力做功,但其他力做功的代数和为零.(2)能量转化分析法:若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加),则系统的机械能守恒.二、多物体组成的系统机械能守恒问题1.多个物体组成的系统,就单个物体而言,机械能一般不守恒,但就系统而言机械能往往是守恒的.2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.3.机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时,可优先考虑应用表达式Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp来求解.(2)当研究对象为两个物体组成的系统时:①若两个物体的重力势能都在减小(或增加),动能都在增加(或减小),可优先考虑应用表达式ΔEk=-ΔEp来求解.②若A物体的机械能增加,B物体的机械能减少,可优先考虑用表达式ΔEA=-ΔEB来求解.【题型分类】题型一、判断机械能是否守恒【例1】如图所示,一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点,另一端系一小球.给小球一足够大的初速度,使小球在斜面上做圆周运动.在此过程中( )A.小球的机械能守恒B.重力对小球不做功C.轻绳的张力对小球不做功 D.在任何一段时间内,小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量【答案】 C【解析】 斜面粗糙,小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用,由于除重力做功外,支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直,故不做功,摩擦力做负功,机械能减少,A、B错,C对;小球动能的变化量等于合外力对其做的功,即重力与摩擦力做功的代数和,D错.【同类练习】1.竖直放置的轻弹簧下连接一个小球,用手托起小球,使弹簧处于压缩状态,如图6所示.则迅速放手后(不计空气阻力)( )A.放手瞬间小球的加速度等于重力加速度B.小球、弹簧与地球组成的系统机械能守恒C.小球的机械能守恒D.小球向下运动过程中,小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大【答案】 BD【解析】 放手瞬间小球的加速度大于重力加速度,A错;整个系统(包括地球)的机械能守恒,B对,C错;向下运动过程中,由于重力势能减小,所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大,D正确.题型二、多物体组成的系统机械能守恒问题【例2】如图所示,斜面的倾角θ=30°,另一边与地面垂直,高为H,斜面顶点上有一定滑轮,物块A和B的质量分别为m1和m2,通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为的位置上,释放两物块后,A沿斜面无摩擦地上滑,B沿斜面的竖直边下落.若物块A恰好能达到斜面的顶点,试求m1和m2的比值.滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计.解答:设B刚下落到地面时速度为v,由系统机械能守恒得:A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒,则:解得: 【同类练习】1.如图所示,小物体A和B通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接,初状态在外力控制下系统保持静止,轻弹簧处于原长,且轻弹簧上端离滑轮足够远,A离地面足够高,物体A和B同时从静止释放,释放后短时间内B能保持静止,A下落h高度时,B开始沿斜面上滑,则下列说法中正确的是( )A.B滑动之前,A机械能守恒B.B滑动之前,A机械能减小C.B滑动之前,A、B组成的系统机械能守恒D.B滑动之后,A、B组成的系统机械能守恒【答案】 B【解析】 B滑动之前,A下落时,绳子的拉力对A做负功,A的机械能不守恒,由功能关系知,A的机械能减小,故A错误,B正确;B滑动之前,A的机械能减小,B的机械能不变,则A、B组成的系统机械能减小,故C错误;B滑动之后,A、B及弹簧组成的系统机械能守恒,则A、B组成的系统机械能不守恒,故D错误.题型三、机械能守恒定律与动能定理的综合应用【例3】物块A的质量为m=2kg,物块与坡道间的动摩擦因数为μ=0.6,水平面光滑.坡道顶端距水平面高度为h=1m,倾角为θ=37°.物块从坡道进入水平滑道时,在底端O点处无机械能损失,将轻弹簧的一端固定在水平滑道M处,另一自由端恰位于坡道的底端O点,如图11所示.物块A从坡顶由静止滑下,重力加速度为g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:(1)物块滑到O点时的速度大小;(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能;(3)物块A被弹回到坡道后上升的最大高度.【答案】 (1)2m/s (2)4J (3)m【解析】 (1)由动能定理得mgh-=mv2代入数据解得v=2m/s(2)在水平滑道上,由机械能守恒定律得mv2=Ep代入数据得Ep=4J (3)设物块A能够上升的最大高度为h1,物块被弹回过程中由动能定理得0-mv2=-mgh1-代入数据解得h1=m.【同类练习】1.如图所示,光滑细圆管轨道AB部分平直,BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆,C为半圆的最高点.有一质量为m,半径较管道略小的光滑的小球以水平初速度v0射入圆管.(1)若要小球从C端出来,初速度v0应满足什么条件?(2)在小球从C端出来瞬间,对管壁压力有哪几种情况,初速度v0各应满足什么条件?解析 (1)小球恰好能达到最高点的条件是vC=0,由机械能守恒定律,此时需要初速度v0满足mv=mg·2R,得v0=2,因此要使小球能从C端出来需满足入射速度v0>2.(2)小球从C端出来瞬间,对管壁作用力可以有三种情况:①刚好对管壁无作用力,此时重力恰好充当向心力,由圆周运动知识mg=m.由机械能守恒定律,mv=mg·2R+mv,联立解得v0=.②对下管壁有作用力,此时应有mg>m,此时相应的入射速度v0应满足2<v0<.③对上管壁有作用力,此时应有mg<m,此时相应的入射速度v0应满足v0>.【成果巩固训练】1.下列各种运动过程中,物体机械能守恒的是(忽略空气阻力)( )A.将箭搭在弦上,拉弓的整个过程B.过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程C.在一根细线的中央悬挂着一个物体,双手拉着细线慢慢分开的过程D.手握内有弹簧的圆珠笔,笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程 【答案】D【解析】:将箭搭在弦上,拉弓的整个过程中,拉力对箭做功,故机械能不守恒,故A错误;过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程,动能不变,重力势能变大,故机械能不守恒,故B错误;在一根细线的中央悬挂着一物体,双手拉着细线慢慢分开的过程,动能不变,重力势能增大,故机械能不守恒,故C错误;笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中,只有重力和弹簧弹力做功,故机械能守恒,故D正确;故选D。2.如图所示,在地面上以速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面,且不计空气阻力,则下列选项错误的是( )A.物体落到海平面时的势能为mghB.重力对物体做的功为mghC.物体在海平面上的动能为mv+mghD.物体在海平面上的机械能为mv【答案】A【解析】:若以地面为参考平面,物体落到海平面时的势能为-mgh,所以A选项错误;此过程重力做正功,做功的数值为mgh,因而B正确;不计空气阻力,只有重力做功,所以机械能守恒,有mv=-mgh+Ek,在海平面上的动能为Ek=mv+mgh,C选项正确;在地面处的机械能为mv,因此在海平面上的机械能也为mv,D选项正确。3.一小球以一定的初速度从图示位置进入竖直光滑的轨道,小球先进入圆轨道1,再进入圆轨道2,圆轨道1的半径为R,轨道2的半径是轨道1的1.8倍,小球的质量为m,若小球恰好能通过轨道2的最高点B,则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为( )A.2mg B.3mg C.4mg D.5mg【答案】C【解析】:小球恰好能通过轨道2的最高点B时,有mg=,小球在轨道1上经过A处时,有F+mg=,根据机械能守恒定律,有1.6mgR=mv-mv,解得F=4mg,C项正确。4.如图,固定在地面的斜面体上开有凹槽,槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球,各球编号如图。斜面与水平轨道OA平滑连接,OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放,小球离开A 点后均做平抛运动,不计一切摩擦。则在各小球运动过程中,下列说法正确的是( )A.球1的机械能守恒B.球6在OA段机械能增大C.球6的水平射程最大D.有三个球落地点相同【答案】BD【解析】:6个小球都在斜面上运动时,只有重力做功,整个系统的机械能守恒,当有部分小球在水平轨道上运动时,斜面上的小球仍在加速,球2对1的作用力做功,故球1的机械能不守恒,故A错误;球6在OA段运动时,斜面上的小球在加速,球5对球6的作用力做正功,动能增加,机械能增大,故B正确;由于有部分小球在水平轨道上运动时,斜面上的小球仍在加速,所以可知离开A点时球6的速度最小,水平射程最小,故C错误;最后三个球在水平面上运动时不再加速,3、2、1的速度相等,水平射程相同,落地点位置相同,故D正确,故选B、D。5.如图所示,一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上其正上方A位置有一只小球小球从静止开始下落,在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力,在D位置小球速度减小到零小球下降阶段下列说法中正确的是 A.在B位置小球动能最大B.在C位置小球动能最大C.从位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D.从位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加【答案】B【解析】【详解】小球从B至C过程,重力大于弹力,合力向下,小球加速,C到D,重力小于弹力,合力向上,小球减速,故在C点动能最大,故A错误,B正确;小球下降过程中,重力和弹簧弹力做功,小球和弹簧系统机械能守恒;从位置小球重力势能的减少等于动能增加量和弹性势能增加量之和,故C错误;小球下降过程中,重力和弹簧弹力做功,小球和弹簧系统机械能守恒;从 位置,动能变化量为零,故小球重力势能的减小等于弹性势能的增加,故D错误。所以B正确,ACD错误。6.长为L的轻杆可绕O在竖直平面内无摩擦转动,质量为M的小球A固定于杆端点,质点为m的小球B固定于杆中点,且M=2m,开始杆处于水平,由静止释放,当杆转到竖直位置时()A.由于M>m,球A对轻杆做正功B.球A在最低点速度为C.OB杆的拉力大于BA杆的拉力D.球B对轻杆做功【答案】BCD【解析】【详解】在转动过程中,A、B两球的角速度相同,设C球的速度为vC,B球的速度为vB,则有vA=2vB以A、B和杆组成的系统机械能守恒,由机械能守恒定律,得 联立可以求出:,设杆对A、B两球作功分别为WA,WB。根据动能定理得:对A:对B:解得:WA=mgL,WB=-mgL,则球A对轻杆做负功,球B对轻杆做功mgL,故BD正确,A错误。当杆转到竖直位置时B的向心力向上,而向心力由B的合力提供,可知OB杆的拉力大于BA杆的拉力。故C正确。故选BCD。7.如图所示,两个可视为质点的小球a、b的质量均为m,a、b通过铰链用刚性轻杆连接,轻杆长度为L.a套在另一根固定的光滑竖直杆上,b放在光滑水平地面上,开始时a、b之间的轻杆可以认为是竖直静止的,在轻微扰动下,a向下运动,b向右运动,不计一切摩擦,重力加速度大小为g.则 A.a落地前,轻杆对b一直做正功B.a落地时速度大小为C.a下落过程中的某个时刻,其加速度大小可能等于gD.a落地前,当a的机械能最小时,杆对b所做的功为【答案】BCD【解析】【详解】A.b开始时速度为零,当a到达底端时,b的速度又为零,所以在整个过程中,b的速度先增大后减小,动能先增大后减小,由动能定理可知轻杆对b先做正功,后做负功,故A错误;B.a运动到最低点时,b的速度为零,根据系统的机械能守恒得:,解得,故B正确;C.由于b的速度先增加后减小,存在速度最大的时刻,该时刻合力为零,故杆的弹力为零,故此时a只受重力,加速度为g,故C正确;D.当a的机械能最小时,b的速度最大。设杆与竖直方向的夹角为α时a、b的速度分别为va和vb.则有vacosα=vbsinαa、b整体的机械能守恒,则有mg(L-Lcosα)=联立得=mgL(cos2α-cos3α)两边求导得()′=mgL(-2cosαsinα+3cos2αsinα)当()′=0,得cosα=,的最大值为,对b球,由动能定理知当a的机械能最小时,杆对b所做的功为,故D正确;8.为了研究过山车的原理,某同学设计了如下模型:取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.5m的粗糙倾斜轨道AB,通过水平轨道BC与半径为R=0.2m的竖直圆轨道相连,出口为水平轨道DE,整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接,如图所示。一个质量m=2kg小物块,当从A点以初速度v0=6m/s沿倾斜轨道滑下,到达C点时速度vC=4m/s。取g=10m/s2 ,sin37°=0.60,cos37°=0.80。(1)小物块到达C点时,求圆轨道对小物块支持力的大小;(2)求小物块从A到B运动过程中,摩擦力对小物块所做的功;(3)小物块要能够到达竖直圆弧轨道的最高点,求沿倾斜轨道滑下时在A点的最小初速度vA。【答案】(1)N=180N(2)Wf=−50J(3)m/s【解析】【详解】(1)在C点时,设圆轨道对小物块支持力的大小为N,则:解得N=180N(2)设A→B过程中摩擦力对小物块所做的功为Wf,小物块A→B→C的过程,有解得Wf=−50J。(3)小物块要能够到达竖直圆弧轨道的最高点,设在最高点的速度最小为vm,则:小物块从A到竖直圆弧轨道最高点的过程中,有解得m/s9.如图所示,竖直平面内半径为R的光滑半圆形轨道,与水平轨道AB相连接,AB的长度为x.一质量为m的小球,在水平恒力F作用下由静止开始从A向B运动,小球与水平轨道间的动摩擦因数为μ,到B点时撤去力F,小球沿圆轨道运动到最高点时对轨道的压力为2mg,重力加速度为g.求: (1)小球在C点的加速度大小;(2)小球运动至B点时的速度大小;(3)恒力F的大小.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】【详解】(1)由牛顿第三定律知在C点,轨道对小球的弹力为:F=2mg小球C点时,受到重力和和轨道对球向下的弹力,由牛顿第二定律得:解得:a=3g(2)设小球在B、C两点的速度分别为在C点有:解得:从B到C过程中,由机械能守恒定律得:解得:(3)从A到B过程中,由动能定理得: 解得:10.如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速释放摆下.求(1)球B到最低点时的速度是多大?(2)当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?【答案】-0.2mgL,0.2mgL【解析】如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒.(1)若取B的最低点为零重力势能参考平面,可得:①又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故②由①②式得:.(2)根据动能定理,可解出杆对A、B做的功.对于A有:,即:对于B有:,即:.答案:轻杆对A、B两球分别做的功为:、
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