人教八下数学17.2 第2课时勾股定理的逆定理的应用导学案

第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.自主学习一、知识回顾1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？2.快速填一填：(1)已知△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.课堂探究一、要点探究探究点1：勾股定理的逆定理的应用典例精析例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 变式题如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？练一练1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用典例精析例3如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.变式题1如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.变式题2如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.例4如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积． 航海问题二、课堂小结与勾股定理结合解决不规则图形等问题应用勾股定理的逆定理的应用认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题方法当堂检测1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（　　）ABCD3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC. 3.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？4.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ的长． 参考答案自主学习一、知识回顾1.勾股定理：Rt△ABC，∠C是直角，a2+b2=c2(a，b为直角边，c为斜边).勾股定理的逆定理：a2+b2=c2(a，b为直角边，c为斜边)，Rt△ABC，∠C是直角.2.(1)直角∠A(2)8课堂探究一、要点探究探究点1：勾股定理的逆定理的应用典例精析例1解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°.由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.变式题1解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟)，∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.例2解：解：在△ABD中，AB2＋AD2＝32+42=25=52＝BD2∴△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2＋BC2＝52+122=169=132＝CD2∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.练一练：1.解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2.即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．2.解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2+BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格． 探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用典例精析例3解：连接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.变式题1解：连接BD.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm，∴BC2=CD2+BD2.∴△BDC是直角三角形.∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－AB•AD=×(5×12－3×4)=24(cm2)．变式题2解：∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm,S△ACD=CD•AC=×12×AC=30(cm2),∴AC=5cm.又∵AB2＋BC2＝32+42=25=52＝AC2,∴△ABC是直角三角形，∠B是直角.∴S△ABC=AB•BC=×3×4=6(cm2).例4解：(1)证明：∵CD=1，BC＝，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形.(2)解：设腰长AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得当堂检测1.65°2.D3.解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，又∵A，B两组相距30km，且有242+182=302，∴A，B两组行进的方向成直角．4.解：∵BC=16，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=8.∵在△ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，∴AB=AC.5.解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里)，OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2.∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 6.解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得