人教八下数学17.2 第1课时勾股定理的逆定理导学案

第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.自主学习一、知识回顾1.勾股定理的内容是什么？2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①a＝3，b＝4；②a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.课堂探究一、要点探究探究点1：勾股定理的逆定理下面有三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题1分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？问题3据此你有什么猜想呢?猜测：如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形. 证一证已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．　求证：△ABC是直角三角形．证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=_______+________。∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.在△ABC和△A′B′C′中，A′C′=AC，B′C′=BC，∴△ABC____△A′B′C′(________).______=_______,∴∠C____∠C′_____90°，即△ABC是__________三角形.要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.典例精析例1下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.方法总结:根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.变式题1若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.变式题2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状. 例2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由.针对训练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是(）A．4B．3C．2.5D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.探究点2：勾股数要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.练一练下列各组数是勾股数的是()A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.探究点3：互逆命题与互逆定理前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？问题1两个命题的条件和结论分别是什么？问题2两个命题的条件和结论有何联系？ 要点归纳：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.针对训练1说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.二、课堂小结内容勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理的作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.注意1.最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.2.勾股数一定是正整数.当堂检测1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形3.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.①若∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形；②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状是________________．5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是______cm;(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．6.已知△ABC,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四边形ABCD的面积. 参考答案自主学习一、知识回顾1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.2.56.58.5课堂探究一、要点探究探究点1：勾股定理的逆定理问题1是问题2①5，12，13满足52+122=132，②7，24，25满足72+242=252，③8，15，17满足82+152=172.则a2+b2=c2问题3a2+b2=c2直角三角形证一证B′C′2A′C′2cA′B′AB=SSS==直角典例精析例1解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.变式题1解：设a=3k，b=4k，c=5k(k＞0)，∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.变式题2(1)解：∵a+b=4，ab=1，∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形.(2)解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3，b=4，c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.例2解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a,则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.练一练1.C2.D3.等腰三角形或直角三角形 探究点2：勾股数练一练：A探究点3：互逆命题与互逆定理问题1命题1题设：直角三角形结论：a2+b2=c2命题2题设：a2+b2=c2结论：直角三角形问题2它们是题设和结论正好相反的两个命题.练一练：(1)内错角相等，两条直线平行.成立(2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.不成立(3)对应角相等的三角形全等.不成立(4)在角平分线上的点到角两边的距离相等..成立当堂检测1.B2.A3.A4.等腰直角三角形5.(1)12(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形6.解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.7.解：∵AB²+BC²=6²+8²=100,AC²=100,∴AB²+BC²=AC².∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角.∴△ADC是直角三角形，且∠D是直角.∴S四边形ABCD=