辽宁省大连市2022年中考数学真题及答案

辽宁省大连市2022年中考数学真题一、单选题1．-2的绝对值是（　　）A．2B．12C．−12D．−22．下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（　　）A．2−8=2B．(−3)2=−3C．25+35=55D．(2+1)2=34．如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是（　　）A．35°B．55°C．70°D．110°5．六边形的内角和是（　　）A．180°B．360°C．540°D．720°6．不等式4x<3x+2的解集是（　　）A．x>−2B．x<−2C．x>2D．x<27．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表所示．尺码/cm22.52323.52424.5销售量/双14681则所销售的女鞋尺码的众数是（　　）A．23.5cmB．23.6cmC．24cmD．24.5cm8．若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）A．36B．9C．6D．−99．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB=3，则CD 的长是（　　）A．6B．3C．1.5D．110．汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x<300时，y与x的函数解析式是（　　）A．y=0.1xB．y=−0.1x+30C．y=300xD．y=−0.1x2+30x二、填空题11．方程2x−3=1的解是　　．12．不透明袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是　　．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，2)，将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是　　．14．如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则CE的长是　　（结果保留π）．15．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为　　．16．如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点A′落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．连接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，则AD的长是　　cm．三、解答题17．计算x2−4x2−4x+4÷x2+2x2x−4−1x．18．为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），并对数据进行整理，描述和分析，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．平均每周劳动时间频数统计表平均每周劳动时间t(h)频数频率1≤t<23　2≤t<3a0.123≤t<437b 4≤t<5　0.355≤t<6　　合计c　根据以上信息，回答下列问题∶（1）填空：a=　　，b=　　，c=　　；（2）若该校有1000名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生人数．19．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF．求证CE=CF．20．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？21．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．22．如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为30°，测得白塔顶部C的仰角的为37°．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．（1）索道车从A处运行到B处的距离约为　　米；（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．（1）如图1，求证∠B=∠E；（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，点D在AC上，CD=3，连接DB，AD=DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP=x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．（1）求AC的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 25．综合与实践（1）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC=∠ACB．求证∠ACD=∠ABC．独立思考：请解答王老师提出的问题．（2）实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E，使CE=BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF，BC上，BG=CD，∠BGH=∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”（3）问题解决：数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的长．”26．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．（1）求点B，点C的坐标；（2）如图1，点E(m，0)在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B 9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】x=212．【答案】2513．【答案】（5，2）14．【答案】12π15．【答案】100x−100=90x16．【答案】5317．【答案】解：x2−4x2−4x+4÷x2+2x2x−4−1x=(x+2)(x−2)(x−2)2·2(x−2)x(x+2)−1x=2x−1x=1x.18．【答案】（1）12；0.37；100（2）解：∵样本中平均每周劳动时间在3≤t<5范围内有37+100×0.35=72（人），∴该校1000名学生，估计平均每周劳动时间在3≤t<5范围内的学生人数为：1000×72100=720（人）．19．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，∵AE＝AF，∴AB﹣AE＝AD﹣AF，∴BE＝DF，在△BCE和△DCF中，BE=DF∠B=∠DBC=DC，∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴CE＝CF．20．【答案】解：设冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个x元，y元，则x+2y=400①3x+4y=1000②②-①×2得x=200，把x=200代入①得：y=100， 解得：x=200y=100，答：冰墩墩毛绒玩具和雪容融毛绒玩具的单价分别为每个200元，100元．21．【答案】（1）解：∵密度ρ与体积V是反比例函数关系，∴设ρ=kV(V>0)，∵当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3，∴1.98=k5，∴k=1.98×5=9.9，∴密度ρ关于体积V的函数解析式为：ρ=9.9V(V>0)；（2）解：观察函数图象可知，ρ随V的增大而减小，当V=3m3时，ρ=9.93=3.3kg/m3，当V=9m3时，ρ=9.99=1.1kg/m3，∴当3≤V≤9时，1.1≤ρ≤3.3(kg/m3)即二氧化碳密度ρ的变化范围是1.1≤ρ≤3.3(kg/m3)．22．【答案】（1）300（2）解：由题意可得：∠BAD=30°，∠CAD=37°，而AB=300，∴BD=12AB=150，AD=150tan30°=1503，∴tan37°=CDAD=BC+1501503=0.75，∴BC=22523−150≈44.625≈45.所以白塔BC的高度约为45米．23．【答案】（1）证明：∵OD⊥BC，∴∠ODB=90°，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE=90°，在ΔODB和ΔOAE中，∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，∴∠B=∠E；（2）解：如图，连接AC．∵⊙O的半径为2， ∴OA=OB=2，AB=4，∵在ΔODB和ΔOAE中，∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，∴ΔODB∼ΔOAE，∴ODOA=OBOE，即OD2=23，∴OD=43，在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，∴DB=OB2−OD2=22−(43)2=253．∵OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，∴CD=DB=253，∴BC=2DB=453．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，∴AC=AB2−BC2=42−(453)2=83．在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，∴AD=AC2+CD2=(83)2+(253)2=2213．24．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，∴BD=CD2+BC2=5，∵AD=DB，∴AD=DB=5，∴AC=AD+DC=5+3=8；（2）由（1）得AD=5，∵AP=x，∴PD=5-x，∵过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，∴∠APQ=90°， ∵∠ACB=90°，∴QP∥BC，即∠AQP=∠ABC，在△AQP和△ABC中∠A=∠A∠AQP=∠ABC∠APQ=∠ACB，∴△AQP∽△ABC，∴QP=x2（相似三角形对应边长成比例）∵△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S∴△PDQ的面积为S即S=12×PD×QP=5x−x24，∵点P不与点A，D，C重合，∴0<x<5，即S=5x−x24(0<x<5)．25．【答案】（1）证明：∵∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，而∠ACD=180°−∠A−∠ADC，∠ABC=180°−∠A−∠ACB，∴∠ACD=∠ABC（2）解：BH=EF，理由如下：如图，在BC上截取BN=CF，∵BD=CE，∠ACD=∠ABC，∴△CEF≌△BDN，∴EF=DN，∠EFC=∠DNB，∵∠BGH=∠BCF，∠GBN=∠FBC，∴∠BHG=∠BFC，∵∠EFC=∠BND，∴∠BFC=∠DNC，∴∠BHG=∠DNC，∵BG=CD，∴△GHB≌△CND，∴BH=DN，∴BH=EF.（3）解：如图，在BC上截取BN=CF， 同理可得：BH=DN=EF，∵AC=2，AB=4，∠BAC=90°，∴BC=22+42=25，∵∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠ABC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB=CDBC，∴AD2=24=CD25，∴AD=1，CD=5，∴BG=CD=5，∵∠GBH=∠FBC，∠BGH=∠BCF，∴△BGH∽△BCF，∴BGBC=GHCF=BHBF=525=12，∴BF=2BH，而EF=GH，∴BE=3BH，∵AB=4，AD=1，BD=CE，∴BD=CE=3，∴AE=3−2=1，而∠BAE=∠BAC=90°，∴BE=AB2+AE2=17，∴BH=173.26．【答案】（1）解：∵y=x2−2x−3，令x=0，则y=−3，∴C(0，−3)，令y=0，则x2−2x−3=0，解得：x1=−1，x2=3，∴A(−1，0)，B(3，0).（2）解：∵E(m，0)(0≤m<3)，OE=OF，∴F(0，−m)， ∴CF=−m−(−3)=3−m，BE=3−m，OE=OF=m，而A(−1，0)，∴S1=12CF·OA=12(3−m)×1=32−12m，S2=12BE·OF=12(3−m)m=32m−12m2，∴S=S1+S2=−12m2+m+32，∵−12<0，∴当S最大时，则m=−12×(−12)=1.（3）解：如图，延长DC与x轴交于点N，过A作AH⊥BC于H，过Q作GK⊥y轴于K，连接BD，∵∠PQC=∠QCD+∠QDC，∠ACD=∠ACQ+∠QCD，∠PQC=∠ACD，∴∠QDC=∠ACQ，∵抛物线y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点D(1，−4)，∴CD2=12+(−3+4)2=2，BC2=32+32=18，BD2=(3−1)2+(0+4)2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴∠BCD=90°，∵AB=3−(−1)=4，OC=OB=3，∴∠ABC=45°=∠HAB， ∴AH=BH=42=22，∴CH=32−22=2，∴tan∠ACQ=222=2=tan∠QDC，∴CQ=2CD=22，∵QK⊥y轴，∠OBC=∠OCB=45°，∴∠KCQ=∠KQC=45°，KC=KQ=2，∴OK=3−2=1，∴Q(2，−1)，设QD为y=kx+b，∴2k+b=−1k+b=−4，解得k=3b=−7，∴QD为y=3x−7，联立：y=x2−2x−3y=3x−7，解得：x=1y=−4，x=4y=5，所以P(4，5).