湖南省常德市2022年中考数学试卷及答案

湖南省常德市2022年中考数学试卷一、单选题1．在3317，3，−38，π，2022这五个数中无理数的个数为（　　）A．2B．3C．4D．52．国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．3．计算x4⋅4x3的结果是（　　）A．xB．4xC．4x7D．x114．下列说法正确的是（　　）A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件C．一组数据的中位数可能有两个D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式5．从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（　　）A．15B．25C．35D．456．关于x的一元二次方程x2−4x+k=0无实数解，则k的取值范围是（　　）A．k>4B．k<4C．k<−4D．k>17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD.则下列结论错误的是（　　）A．BE=BCB．BF∥DE，BF=DEC．∠DFC=90°D．DG=3GF8．我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3︸n个根号 ，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=a︸n个根号时，称(a，b)为一组完美方根数对.如上面(3，6)是一组完美方根数对.则下面4个结论：①(4，12)是完美方根数对；②(9，91)是完美方根数对；③若(a，380)是完美方根数对，则a=20；④若(x，y)是完美方根数对，则点P(x，y)在抛物线y=x2−x上.其中正确的结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．|－6|＝　　．10．分解因式：x3−9xy2=　　.11．使式子xx−4有意义的x的取值范围是　　.12．方程2x+1x(x−2)=52x的解为　　.13．如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是　　.14．今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是　　分.15．如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD=13BA，BE=14BC，则△ABC的面积是　　.16．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为　　.三、解答题17．计算：30−(12)−2sin30°+8cos45°18．求不等式组5x−1＞3x−4−13x≤23−x的解集. 19．化简：(a−1+a+3a+2)÷a2−1a+220．小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？21．如图，已知正比例函数y1=x与反比例函数y2的图象交于A(2，2)，B两点.（1）求y2的解析式并直接写出y1<y2时x的取值范围；（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为410，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式.22．2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时.某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查.下图是根据此次调查结果得到的统计图.请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人.（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议.23．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）24．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=8，AE=1，求ED、EF的长.25．如图，已经抛物线经过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为x=2.（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标； （3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值26．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE=FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD.（1）当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GE=GD；②BO⋅GD=GO⋅FC.（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】610．【答案】x（x-3y）（x+3y）11．【答案】x＞412．【答案】x=413．【答案】月14．【答案】87.415．【答案】1216．【答案】617．【答案】解：原式＝1−4×12+22×22=1.18．【答案】解：5x−1＞3x−4①−13x≤23−x②由①得：x＞−32，由②得：x≤1，所以原不等式组的解集为−32＜x≤1. 19．【答案】解：原式=[(a−1)(a+2)a+2+a+3a+2]⋅a+2(a+1)(a−1)=a2−a+2a−2+a+3a+2⋅a+2(a+1)(a−1)=a2+2a+1(a+1)(a−1)=(a+1)2(a+1)(a−1)=a+1a−1.20．【答案】解：设小强家到他奶奶家的距离是x千米，则平时每小时行驶x4千米，减速后每小时行驶(x4−20)千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，则可得：2×x4+3(x4−20)=x，解得：x=240，答：小强家到他奶奶家的距离是240千米.21．【答案】（1）解：设y2=kx(k≠0)，∵A(2，2)在反比例函数y2=kx(k≠0)的图象上，∴k=xy=2×2=4，∴y2=4x；当0<x<2或x<−2时，y1<y2；（2）解：如图所示，菱形的另外两个点设为M、N，由菱形的性质和判定可知M、N在直线y=−x的图象上且两个点关于原点对称，不妨设M(a，−a)(a<0)，则N(−a，a)，∵菱形AMBN的周长为410，∴AM=10，∵AO=22+22=22，AB⊥MN，∴MO=AM2−AO2=2=a2+(−a)2，∴a=−1，即M(−1，1)，N(1，−1)，设直线AM的解析式为：y=mx+n，则：−m+n=12m+n=2，解得：m=13n=43， ∴AM的解析式为：y=13x+43，同理可得AN的解析式为：y=3x−4，BM的解析式为：y=3x+4，BN的解析式为：y=13x−43.22．【答案】（1）解：由条形统计图可知：平均每周劳动时间不少于3小时的人数为500−130−180−85=105人，故平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为105500=21%.（2）解：由扇形统计图得木工所占比例为1−40%−27%−10%−7%=16%，故最喜欢的劳动课程为木工的有2000×16%=320人.（3）解：对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容；对学生：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等23．【答案】解：如图，过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，∴HB=MN，∵AF=50，∠AFH=40°，在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32米，∵HG∥BC，∴∠EGF=∠ECB∵∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7∵FM=EMtan∠EFG，MG=EMtan∠EGF=EMtan∠ECB∴EM0.47+EM0.73=7，解得EM≈2，∵顶端E到BD的距离为40米，即EN=40米∴MN=EN−EM=40−2=38米.∴AB=AH+HB=AH+MN=32+38=70米.24．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：∵AD∥OC∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC∵OA=OD ∴∠ADO=∠DAO∴∠DOC=∠BOC∵OD=OB，OC=OC∴△ODC≌△OBC∴∠OBC=∠ODC∵BC⊥AB∴∠OBC=∠ODC=90°∵OD为经过圆心的半径∴CD是⊙O的切线.（2）解：如图所示：作DM⊥BC交BC于点M∵AB=8，AE=1，∴OA=OB=OD=12AB=4，OE=OA−AE=3DE=BM=OD2−OE2=7令CM=x，CB=CD=x+7，BE=DM=7∴在Rt△DMC，CM2+DM2=CD2∴(x+7)2=72+x2，解得：x=37∴BC=47∵DE∥BC∴△AEF∽△ABC∴EFBC=AEAB=18=EF47∴EF=7225．【答案】（1）解：∵抛物线经过点O(0，0)，∴设抛物线为：y=ax2+bx，∵抛物线过A(5，5)，且它的对称轴为x=2.∴25a+5b=5−b2a=2，解得：a=1b=−4，∴抛物线为：y=x2−4x.（2）解：如图，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， 设B(2，y)，且y>0，记OA与对称轴的交点为Q，设直线OA为：y=kx，∴5=5k，解得：k=1，∴直线OA为：y=x，∴Q(2，2)，∴S△OAB=S△BOQ+S△ABQ=12×BQ×(xA−xO)=12|y−2|×5=15，解得：y=8或y=−4，∵y>0，则y=8，∴B(2，8).（3）解：如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时PA−PB=AB最大，∵A(5，5)，B(2，8)，∴AB=(5−2)2+(5−8)2=32，设AB为：y=kx+b，代入A、B两点坐标，∴5k+b=52k+b=8，解得：k=−1b=10，∴AB为：y=−x+10，∴y=−x+10y=x2−4x，解得：x=5y=5，x=−2y=12，∴P(−2，12).26．【答案】（1）证明：①证明过程：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠DAF=45°∴△ABF为等腰直角三角形∴AB=BF∵BE=FC∴AB+BE=BF+CF，即AE=BC=AD∵AG=AG ∴△ADG≌△AEG∴GE=GD②证明：连接BG，CG，∵G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC∴BG=AG=FG∵AF平分∠BAD，△ABF为等腰直角三角形，∴∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG∴△ADG≌△BCG∴∠ADG=∠BCG∵△ADG≌△AEG∴∠E=∠ADG∴∠E=∠BCG∵∠BOE=∠GOC∴△BOE∽△GOC∴BOBE=GOGC=GOGD=BOCF∴BO⋅GD=GO⋅FC（2）解：作DM⊥BC交BC于M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，如图所示∴∠DMB=90°=∠GNM=∠GND=∠DMC由（1）同理可证：△ADG≌△AEG∴∠E=∠ADG∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠ADM=∠DMC=90°∴BC∥GN∥AD∵G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得DN=MN∴DG=MG，∴∠GDM=∠GMD，∴∠ADG=∠BMG=∠E∵∠BOE=∠GOM∴△BOE∽△GOM ∴BOBE=GOGM=GOGD=BOCF∴BO⋅GD=GO⋅FC