黑龙江省省龙东地区2022年中考数学真题及答案

黑龙江省省龙东地区2022年中考数学真题一、单选题1．下列运算中，计算正确的是（　　）A．(b−a)2=b2−a2B．3a⋅2a=6aC．(−x2)2=x4D．a6÷a2=a32．下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．3．学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（　　）A．181B．175C．176D．175.54．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　）A．7B．8C．9D．105．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　）A．8B．10C．7D．96．已知关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，则m的取值范围是（　　）A．m>4B．m<4C．m>4且m≠5D．m<4且m≠17．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（　　）A．5B．6C．7D．88．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y=3x的图象上，顶点A在反比例函数y=kx的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（　　）A．2B．1C．−1D．−29．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC 与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD=1.5，则PE的长是（　　）A．2.5B．2C．3.5D．310．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP−BP=2OP；④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．其中正确的结论是（　　）A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤二、填空题11．我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为　　．12．函数y=2x−3中自变量x的取值范围是　　．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件　　，使△AOB≌△COD．14．在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是　　．15．若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是　　．16．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm，C为⊙O上一点，∠ACB=60°，则AB的长为　　cm．17．若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为　　cm．18．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是　　．19．在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为　　．20．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4……在x轴上且OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3……按此规律，过点A1，A2，A3，A4……作x轴的垂线分别与直线y=3x交于点B1，B2，B3，B4……记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4……的面积分别为S1，S2，S3，S4……，则S2022=　　．三、解答题 21．先化简，再求值：(a2−2aa2−1−1)÷2a−1a+1，其中a=2cos30°+1．22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，−1)，B(2，−5)，C(5，−4)．（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．23．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1，0)，点B(2，−3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．24．为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：x<8.5B组：8.5≤x<9C组：9≤x<9.5D组：9.5≤x<10E组：x≥10根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了　　名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？25．为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）甲车速度是　　km/h，乙车出发时速度是　　km/h；（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．26．△ABC和△ADE都是等边三角形． （1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．27．学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？28．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两个根(OA<OB)，tan∠DAB=43，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC−CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S．（1）求点C的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】A 10．【答案】B11．【答案】1.89×10812．【答案】x≥3213．【答案】OB=OD（答案不唯一）14．【答案】1315．【答案】a≥2或2≤a16．【答案】3317．【答案】5318．【答案】36219．【答案】313或154或620．【答案】24041321．【答案】解：原式=(a2−2aa2−1−a2−1a2−1)⋅a+12a−1=1−2aa2−1⋅a+12a−1=11−a，当a=2cos30°+1=3+1时，原式=11−3−1=−3322．【答案】（1）解：如图所示△A1B1C1即为所求，A1(−5，3)；（2）解：如图所示△A2B2C2即为所求，A2(2，4)；（3）解：∵A1C1=32+42=5∴点A1旋转到点A2所经过的路径长为90π×5180=52π．23．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A(−1，0)，点B(2，−3)，∴1−b+c=04+2b+c=−3，解得b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．（2）解：存在．∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4， ∴D(1，−4)，将x=0代入得，y=−3，∴C(0，−3)，∴D到线段BC的距离为1，BC=2，∴S△BCD=12×2×1=1，∴S△PBC=4S△BCD=4，设P(m，m2−2m−3)，则S△PBC=12×2×(m2−2m−3+3)=4，整理得，m2−2m=4，解得m1=1+5，或m2=1−5，∴P1(1+5，1)，P2(1−5，1)，∴存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，点P的坐标为P1(1+5，1)，P2(1−5，1)．24．【答案】（1）100（2）解：由统计图可知，E组人数占比为15％，∴E组人数为100×15％=15（人），∴A组人数为100−20−40−20−15=5（人），∴补全统计图如图所示（3）解：由题意知，D组所对应的扇形圆心角度数为20100×360°=72°，∴D组所对应的扇形圆心角度数为72°．（4）解：由题意知，1500×5+20100=375（人）∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．25．【答案】（1）100；60（2）解：设y=kx+b(k≠0)，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，代入得9k+b=30012k+b=0，解得k=−100b=1200∴y与x的函数解析式为y=−100x+1200；（3）解：设乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象可得，当0<t<5时， 100t-60t=120，解得：t=3；当5<t<5.5时，根据图象可得不满足条件；当5.5<t<8时，500-100（t-5.5）-300=120，解得：t=6.3；当8<t<9时，100（t-8）-300=120，解得：t=12.2，不符合题意，舍去；当9<t<12时，100×（9-8）+100（t-9）+60（t-9）=120，解得：t=9.125；综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.125h时，两车之间的距离为120km．26．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴PA+PB=PC或PA+PC=PB；（2）解：图②结论：PB=PA+PC证明：在BP上截取BF=CP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AC=AB，CP=BF，∴△CAP≌△BAF（SAS），∴∠CAP=∠BAF，AF=AP，∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°， ∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PC=PF+BF=PB；（3）解：图③结论：PA+PB=PC，理由：在CP上截取CF=BP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，BP=CF，∴△BAP≌△CAF（SAS），∴∠CAF=∠BAP，AP=AF，∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PB=PF+CF=PC，即PA+PB=PC．27．【答案】（1）解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，根据题意，得10x+5y=17515x+10y=300，解得x=10y=15，答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；（2）解：根据题意，得10m+15(45−m)≤56010m+15(45−m)≥548，解得23≤m≤25.4，∵m为整数，∴m可取23，24，25．∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根； （3）解：设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=10m+15(45−m)=−5m+675∵−5<0，∴w随m的增大而减小，∴当m=25时，w有最小值，即w=−5×25+675=550（元）答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．28．【答案】（1）解：x2−7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA<OB，∴OA=3，OB=4，∵tan∠DAB=43，∴ODOA=43，∴OD=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=3+4=7，DC∥AB，∴点C坐标为(7，4)；（2）解：当0⩽t<7时，S=12CP⋅OD=12(7−t)⋅4=14−2t，当7<t⩽12时，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，如图，AD=OA2+OD2=32+42=5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5，∵BC⋅AF=AB⋅OD，∴5⋅AF=7×4，∴AF=285，∴S=12CP⋅AF=12(t−7)⋅285=145t−985，∴S=14−2t(0≤t<7)145t−985(7<t≤12)；（3）解：存在点P，使△CMP是等腰三角形，理由如下：根据题意得：当点P在CD上运动时，△CMP可能是等腰三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠BAD，BC=AD=5， ∴tanC=tan∠DAB=43，∵点M为BC的中点，∴CM=52，当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，∴CF=32，FM=2，设PC=PM=a，则PD=7-a，PF=a−32，∵PF2+FM2=PM2，∴(a−32)2+22=a2，解得：a=2512，∴DP=7−PC=5912，∴此时点P(5912，4)；当PC=CM=52时，∴PD=7−PC=92，∴此时点P(92，4)；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则CG=32，∴PC=2CG=3，∴PD=7-PC=4，∴此时点P(4，4)；综上所述，存在点P(4，4)或(92，4)或(5912，4)，使△CMP是等腰三角形