甘肃省兰州市2022年中考数学试卷及答案

甘肃省兰州市2022年中考数学试卷一、单选题1．计算4的结果是（　　）A．±2B．2C．±2D．22．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1=52°，则∠2=（　　）A．52°B．45°C．38°D．26°3．下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．4．计算：(x+2y)2=（　　）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4x25．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（　　）A．70°B．60°C．50°D．40°6．若一次函数y=2x+1的图象经过点(−3，y1)，(4，y2)，则y1与y2的大小关系是（　　）A．y1<y2B．y1>y2C．y1≤y2D．y1≥y27．关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个相等的实数根，则k=（　　）A．-2B．-1C．0D．18．已知△ABC∽△DEF，ABDE=12，若BC=2，则EF=（　　）A．4B．6C．8D．16 9．无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（　　）A．15B．25C．35D．4510．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则OE=（　　）A．4B．23C．2D．311．已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）A．x<1B．x>1C．x<2D．x>212．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积为（　　）A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2二、填空题13．因式分解：a2−16=　　．14．如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是　　．15．如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，则AB=　　cm．16．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000幼树移植成活数（棵）878934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是　　．（结果精确到0.1）三、解答题17．解不等式：2(x−3)<8．18．计算：(1+1x)÷(x2+x)x． 19．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=50°，求∠D的大小．20．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：（数据分成6组：0≤x<20，20≤x<40，40≤x<60，60≤x<80，80≤x<100，100≤x≤120）信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x<60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；信息三：2010——2021年全国大陆人口数及自然增长率；请根据以上信息，解答下列问题：（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为　　百万人．（2）下列结论正确的是　　．（只填序号）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．（3）请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．22．综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心． （1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）（2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）（3）拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：▲．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.51.822.533.544.55y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330请你通过计算，补全表格：a=　　；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y关于x的图像；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　　．（4）解决问题：当BN=2AM时，AM的长度大约是　　cm．（结果保留两位小数）24．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 25．如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为B(3，0)，过C(5，0)作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=32x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB=3．（1）求反比例函数y=kx(x>0)和一次函数y=32x+b的表达式：（2）求DE的长．26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO=∠BOC，AC与OD相交于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠OAC=12，AD=32，求⊙O的半径．27．在平面直角坐标系中，P(a，b)是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2=ba两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P(6，2)的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P(a，b)的“倾斜系数”k=2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P(a，b)的“倾斜系数”k=2，且a+b=3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y=x运动，P(a，b)是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k<3，请直接写出a的取值范围．28．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角△DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．答案解析部分 1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】（a+4）（a-4）14．【答案】（-4，1）15．【答案】3516．【答案】0.917．【答案】解：去括号得：2x-6<8，移项得：2x<8+6，合并同类项得：2x<14，系数化1得：x<7，故不等式的解集为：x<7．18．【答案】解：(1+1x)÷(x2+x)x，=x+1x⋅xx2+x，=x+1x⋅xx(x+1)，=1x．19．【答案】解：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，∴∠BAC=∠EAD，∴在△ABC和△AED中， AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD∴△ABC≌△AED(SAS)，∴∠D=∠C=50°．20．【答案】解：由题意得：BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，设CF＝x，∴CD＝CF+DF＝（x+3），在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，∴tan31°=ACCD=0.9xx+3≈0.6，∴x＝6，经检验：x＝6是原方程的根，∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），∴凉亭AB的高约为6.9m．21．【答案】（1）40（2）①②（3）解：2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．22．【答案】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心．（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．（3）解：如图所示，点O就是圆的圆心．；弦的垂直平分线经过圆心． 23．【答案】（1）3.2（2）解：如图所示，（3）y随x的增大而减小（4）1.6724．【答案】（1）解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，∴设y=a(x−3)2+3，∵y=a(x−3)2+3经过点(0，53)，∴53=a(0−3)2+3解得∶a=−427，∴y=−427(x−3)2+3=−427x2+89x+53，∴y关于x的函数表达式为y=−427x2+89x+53；（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶∵对于二次函数y=−427x2+89x+53，当y=0时，有−427x2+89x+53=0∴4x2−24x−45=0，解得∶x1=152，x2=−32(舍去)，∵152>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．25．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，∴S△AOB＝12|k|＝3，∴k＝6，∴反比例函数为y＝6x，∵一次函数y＝32x+b的图象过点B（3，0），∴32×3+b＝0，解得b＝−92，∴一次函数为y=32x−92；（2）解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝32x+b的图象于D点， ∴当x＝5时y＝6x＝65；y=32x−92=3，∴E（5，65），D（5，3），∴DE＝3﹣65=95．26．【答案】（1）证明：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠ADO=∠BOC，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=32，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=OEOC=12， 设OC=OA=R，则OE=12R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即(12R+32)2=R2+(32)2，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为2．27．【答案】（1）解：由题意，得62=3，26=13，∵3>13，∴点P(6，2)的“倾斜系数”k=3；（2）解：①a=2b或b=2a，∵点P(a，b)的“倾斜系数”k=2，当ab=2时，则a=2b；当ba=2时，则b=2a，∴a=2b或b=2a；②∵P(a，b)的“倾斜系数”k=2，当ab=2时，则a=2b∵a+b=3，∴2b+b=3，∴b=1，∴a=2，∴P(2，1)，∴OP=22+12=5；当ba=2时，则b=2a，∵a+b=3，∴a+2a=3，∴a=1，∴b=2， ∴P(1，2)∴OP=12+22=5；综上，OP=5；（3）解：3+1<a<3+328．【答案】（1）解：AE＝EP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，∵F、E分别为AB、BC的中点，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；（2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°；（3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴点D与G关于CP对称，∴AP+DP的最小值为AG的长，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝45，∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+45．