福建省2022年中考数学试卷及答案

福建省2022年中考数学试卷一、单选题1．－11的相反数是（　　）A．－11B．−111C．111D．112．如图所示的圆柱，其俯视图是（　　）A．B．C．D．3．5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13976000用科学记数法表示为（　　）A．13976×103B．1397.6×104C．1.3976×107D．0.13976×1084．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．5．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　）A．−2B．2C．5D．π6．不等式组x−1>0x−3≤0的解集是（　　）A．x>1B．1<x<3C．1<x≤3D．x≤37．化简(3a2)2的结果是（　　）A．9a2B．6a2C．9a4D．3a48． 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图.综合指数越小，表示环境空气质量越好.依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（　　）A．F1B．F6C．F7D．F109．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC=27°，BC＝44cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cmB．11.22cmC．19.58cmD．22.44cm10．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（　　）A．96B．963C．192D．1603二、填空题11．四边形的外角和等于　　.12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.若BC＝12，则DE的长为　　.13．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是　　.14．已知反比例函数y=kx的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是　　.（只需写出一个符合条件的实数）15．推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x，令x=m，等式两边都乘以x，得x2=mx.①等式两边都减m2，得x2−m2=mx−m2.②等式两边分别分解因式，得(x+m)(x−m)=m(x−m).③等式两边都除以x−m，得x+m=m.④等式两边都减m，得x＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是　　.16．已知抛物线y=x2+2x−n与x轴交于A，B两点，抛物线y=x2−2x−n与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为　　.三、解答题 17．计算：4+|3−1|−20220.18．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E.求证：∠A＝∠D.19．先化简，再求值：(1+1a)÷a2−1a，其中a=2+1.20．学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.调查组设计了一份问卷，并实施两次调查.活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图.活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为0≤t<1，B组为1≤t<2，C组为2≤t<3，D组为3≤t<4，E组为4≤t<5，F组为t≥5.（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数.21．如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求AC的长（结果保留π）.22．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值.23．如图，BD是矩形ABCD的对角线.（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F.若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值.24．已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明； （3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度数.25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断S1S2+S2S3是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】360°12．【答案】613．【答案】3514．【答案】-5（答案不唯一）15．【答案】④16．【答案】817．【答案】解：原式=2+3−1−1=318．【答案】证明：∵BF＝EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中， AB=DE∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D.19．【答案】解：原式=a+1a÷(a+1)(a−1)a=a+1a⋅a(a+1)(a−1)=1a−1.当a=2+1时，原式=12+1−1=2220．【答案】（1）解：活动前，一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，∴活动前调查数据的中位数落在C组；活动后，A、B、C三组的人数为50×(6%+8%+16%)=15（名），D组人数为：50×30%=15（名），15+15=30（名）活动后一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数，∴活动后调查数据的中位数落在D组（2）解：一周的课外劳动时间不小于3h的比例为30%+24%+16%=70%，2000×70%=1400（人）；答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人.21．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴∠B＝∠D.又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC=∠ACF，∴AC＝AF.（2）解：连接AO，CO，CF，由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴∠AFC=180°−30°2=75°，∴∠AOC=2∠AFC=150°. ∴AC的长l=150×π×3180=5π2.22．【答案】（1）解：设购买绿萝x盆，购买吊兰y盆∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆∴x+y=46∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元∴9x+6y=390得方程组x+y=469x+6y=390解方程组得x=38y=8∵38>2×8，符合题意∴购买绿萝38盆，吊兰8盆（2）解：设购买绿萝x盆，购买吊兰吊y盆，总费用为z∴x+y=46，z=9x+6y∴z=414−3y∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍∴414−3y<390x≥2y将x=46−y代入不等式组得414−3y<39046−y≥2y∴8<y≤463∴y的最大值为15∵z=−3y+414为一次函数，随y值增大而减小∴y=15时，z最小∴x=46−y=31∴z=9x+6y=369元故购买两种绿植最少花费为369元.23．【答案】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作：（2）解：根据题意，作出图形如下：设∠ADB=α，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又AE=AG=r，∴四边形AEFG是正方形，∴EF=AE=r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADB=α，在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE，∴BE=rtanα，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF=rtanα，∴DE=DF+EF=rtanα+r，在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE，即DE⋅tanα=AE，∴(rtanα+r)tanα=r，即tan2α+tanα−1=0，∵tanα>0，∴tanα=5−12，即tan∠ADB的值为5−12.24．【答案】（1）证明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠DCB，∴∠ABC=∠DCB，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形 （2）解：结论：∠ACE+∠EFC=180°.证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC=∠DEC，∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠DEC，∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°，∴∠ACF=∠CEF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACE+∠EFC=180°（3）解：在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，∵AB＝CD，∠BAD=∠BCD，∴△ABM≌△CDB，∴BM＝BD，∠MBA=∠BDC，∴∠ADB=∠BMD，∵∠BMD=∠BAD+∠MBA，∴∠ADB=∠BCD+∠BDC，设∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，则∠ADB=α+β，∵CA＝CD，∴∠CAD=∠CDA=α+2β，∴∠BAC=∠CAD−∠BAD=2β，∴∠ACB=12(180°−∠BAC)=90°−β，∴∠ACD=(90°−β)+α，∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°，∴(90°−β)+α+2(α+2β)=180°，∴α+β=30°，即∠ADB＝30°.25．【答案】（1）解：将A（4，0），B（1，4）代入y=ax2+bx，得16a+4b=0a+b=4， 解得a=−43b=163.所以抛物线的解析式为y=−43x2+163x（2）解：设直线AB的解析式为y=kx+t(k≠0)，将A（4，0），B（1，4）代入y=kx+t，得4k+t=0k+t=4，解得k=−43t=163.所以直线AB的解析式为y=−43x+163.过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N.过点B作BE⊥PM，垂足为E.所以S△PAB=S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×AM=12PN×(BE+AM)=32PN.因为A（4，0），B（1，4），所以S△OAB=12×4×4=8.因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，所以2×32PN=8，PN=83.设P(m，−43m2+163m)(1<m<4)，则N(m，−43m+163).所以PN=(−43m2+163m)−(−43m+163)=83，即−43m2+203m−163=83，解得m1=2，m2=3.所以点P的坐标为(2，163)或（3，4）.（3）解：∵PD∥BO∴△OBC∽△PDC∴CDBC=PDOB=PCOC 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.则S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2PDOB如图，过点B，P分别作x轴的垂线，垂足分别F，E，PE交AB于点Q，过D作x的平行线，交PE于点G∵B(1，4)，∴F(1，0)∴OF=1∵PD∥OB，DG∥OF∴△DPG∽△OBF∴PDOB=PGBF=DGOF，设P(m，−43m2+163m)(1<m<4)∵直线AB的解析式为y=−43x+163.设D(n，−43n+163)，则G(m，−43n+163)PG=−43m2+163m+43n−163=43(m2−4m−n+4)DG=m−n∴43(m2−4m−n+4)4=m−n1整理得4n=m2−m+4∴S1S2+S2S3=CDBC+PCOC=2PDOB=2DGOF=2(m−n)=2(m−m2−m+44)=−12(m2−5m+4)=−12(m−52)2+98∴m=52时，S1S2+S2S3取得最大值，最大值为98