湖南省怀化市2021年中考真题数学试题及答案

湖南省怀化市2021年中考真题数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题1．数轴上表示数5的点和原点的距离是〔〕A．B．C．D．2．到2021年底，我国完成了“脱贫攻坚〞任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是〔〕A．B．C．D．3．以下说法错误的选项是〔〕A．多边形的内角大于任何一个外角B．任意多边形的外角和是C．正六边形是中心对称图形D．圆内接四边形的对角互补4．对于一元二次方程，那么它根的情况为〔〕A．没有实数根B．两根之和是3C．两根之积是D．有两个不相等的实数根5．以下图形中，可能是圆锥侧面展开图的是〔〕A．B．C．D．6．定义，那么方程的解为〔〕A．B．C．D．7．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．那么以下说法正确的选项是〔〕 A．B．AD一定经过的重心C．D．AD一定经过的外心8．不等式组的解集表示在数轴上正确的选项是〔〕A．B．C．D．9．“成语〞是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．以下成语：①“水中捞月〞，②“守株待兔〞，③“百步穿杨〞，④“瓮中捉鳖〞描述的事件是不可能事件的是〔〕A．①B．②C．③D．④10．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，假设，那么ME的长为〔〕A．B．C．D．二、填空题 11．比拟大小：__________〔填写“＞〞或“＜〞或“＝〞〕．12．在函数中，自变量x的取值范围是___________．13．如图，在平面直角坐标系中，，，，将先向右平移3个单位长度得到，再绕顺时针方向旋转得到，那么的坐标是____________．14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行〞读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间〔单位：h〕分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是________，众数是________．15．如图，在中，，，那么图中阴影局部的面积是_________．〔结果保存〕16．观察等式：，，，……，按一定规律排列的一组数：，，，……，，假设，用含的代数式表示这组数的和是___________．三、解答题17．计算：18．先化简，再求值：，其中． 19．政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角，分别为和，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程〔结果精确到0.1米〕．其中，，，，，20．：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，．求证：〔1〕〔2〕21．某校开展了“禁毒〞知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取局部学生进行知识测试，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表：等级频数〔人数〕频率优秀600.6良好a0.25合格10b根本合格50.05合计c1 根据统计图表提供的信息，解答以下问题：〔1〕a＝，b＝，c＝；〔2〕补全条形统计图；〔3〕该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上〔包括合格〕的学生约有多少人？〔4〕在这次测试中，九年级〔3〕班的甲，乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀〞，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒〞知识的黑板报，请用列表法成画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．22．如图，在半径为5cm的中，AB是的直径，CD是过上点C的直线，且于点D，AC平分，E是BC的中点，．〔1〕求证：CD是的切线；〔2〕求AD的长，23．某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A型水杯〔个〕B型水杯〔个〕总费用〔元〕一1002008000二20030013000〔1〕求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？〔2〕在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润到达最大？最大利润是多少？〔3〕第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控〞捐b元用于购置防控物资．假设A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？24．如下图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？假设存在，求出点P的坐标，假设不存在，请说明理由．〔3〕D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．〔4〕点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？假设存在，求出点Q的坐标，假设不存在，请说明理由． 参考答案1．B【分析】根据数轴上点的表示及几何意义可直接进行排除选项．【详解】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是；应选B．【点睛】此题主要考查数轴上点的表示及几何意义，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义是解题的关键．2．D【分析】结合科学记数法的书写规那么即可求解．【详解】解：9980万即99800000，故答案是：D．【点睛】此题考察科学记数法的书写规那么，属于根底题，难度不大．科学记数法的表示形式：，其中，为整数，解题的关键是确定、的值．3．A【分析】根据多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质可直接进行排除选项．【详解】解：对于A选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意；对于B选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；对于C选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；对于D选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；应选A． 【点睛】此题主要考查多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质是解题的关键．4．A【分析】先找出，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：∵∴∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误．∵，故C错误．，故B错误．应选：A．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握D<0，一元二次方程没有实数根是关键．5．B【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形判断即可．【详解】解：由圆锥的侧面展开图是扇形可知选B，应选：B．【点睛】此题主要考查圆锥侧面展开图的形状，题型比拟简单，熟知关于圆锥的知识点是解决此题的关键．6．B【分析】 根据新定义,变形方程求解即可【详解】∵,∴变形为,解得，经检验是原方程的根，应选B【点睛】此题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键7．C【分析】根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴，故C正确；在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；应选C．【点睛】此题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．8．C【分析】分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点． 【详解】解不等式得：，解不等式得：，故不等式组的解集为：-2≤x＜2，在数轴上表示为：应选C．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法；依次解不等式，注意空心点和实心点的区别是解题关键．9．A【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断．【详解】A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；B选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意；C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意．应选：A．【点睛】此题考查了随机事件，解决此题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10．D【分析】 根据菱形的性质得出D点的坐标，利用反比例函数的图象经过线段DC的中点N，求出C点的坐标，进而得出；根据菱形的性质可得，，可判定是等边三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之间的数量关系求解．【详解】∵菱形ABCD，∴∴D点的坐标为〔0，2〕设C点坐标为〔，0〕∵线段DC的中点N∴设N点坐标为〔，1〕又∵反比例函数的图象经过线段DC的中点N∴，解得即C点坐标为〔，0〕，在中，∴∵菱形ABCD∴，，∴是等边三角形又∵于E点，于O点∴，∵，， ∴∴又∵在中，∴∴应选：D．【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为角的等腰三角形是等边三角形．特殊角的三角函数，，，．11．＞【分析】直接用，结果大于0，那么大；结果小于0，那么大．【详解】解：，∴，故答案为：＞．【点睛】此题主要考查实数的大小比拟，常用的比拟大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．12．且【分析】 根据二次根式中的被开方数是非负数与分母不能为0进行求解．【详解】由题意知，且，解得，且，故答案为：且．【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义，①当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；②当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．〔2，2〕．【分析】直接利用平移的性质和旋转的性质得出对应点位置，然后作图，进而得出答案．【详解】解：如图示：，为所求，根据图像可知，的坐标是〔2，2〕，故答案是：〔2，2〕．【点睛】此题主要考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题关键．14．43【分析】根据中位数和众数的概念分析即可．【详解】 这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，3，4，5，5，6，那么中位数为4，众数为3．【点睛】此题主要考查中位数和众数．将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据个数是偶数，那么最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．将一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．15．【分析】由，根据圆周角定理得出，根据S阴影=S扇形AOB－可得出结论．【详解】解：∵，∴，∴S阴影=S扇形AOB－，故答案为：．【点睛】此题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．16．【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．【详解】由题意规律可得：． ∵∴，∵，∴．．．……∴．故．令②-①，得∴=故答案为：．【点睛】此题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17．11【分析】根据非零实数0次幂、二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数值根据实数加减混合运算法那么计算即可．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查非零实数0次幂、二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数值根据实数加减混合运算法那么，正确掌握每个知识点是解决此题的关键． 18．【分析】先将乘法局部因式分解并约分化简，再通分合并，最后代值计算即可求解．【详解】解：原式=当时，原式=故答案是：．【点睛】此题考察分式的化简求值、因式分解和分母有理化，题目难度不大，属于根底计算题．解题的关键是掌握分式的计算法那么．19．41.7米【分析】根据AE∥DB,确定∠ABD=67°，∠ACD=22°，利用正切函数求得DB，DC的长度即可求解.【详解】如图，∵AE∥DB,∴∠ABD=67°，∠ACD=22°，∵tan∠ABD=，tan∠ACD=，∴DB==，DC==50， ∴BC=DC-DB=50-≈41.7〔米〕.【点睛】此题考查了俯角的意义，解直角三角形，准确理解俯角的意义，熟练运用三角函数是解题的关键．20．〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析【分析】〔1〕利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，再证明∠EAD=∠FCB，利用SAS证明两三角形全等即可．〔2〕利用，得出∠E=∠F，再利用内错角相等两直线平行即可证明．【详解】〔1〕证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC，AD=BC∴∠DAC=∠ACB∴∠EAD=∠FCB在△ADE和△CBF中，∴(SAS)〔2〕∵∴∠E=∠F∴ED∥BF【点睛】此题考查全等三角形的证明、平行四边形的性质、平行线的判定及性质、灵活进行角的转换是关键．21．〔1〕25；0.1；100；〔2〕见详解；〔3〕1520人；〔4〕【分析】〔1〕根据成绩为优秀的频数和频率计算出本次抽取的人数，然后计算a、b的值；〔2〕根据求解的良好局部的人数，补全统计图即可； 〔3〕根据统计图中的数据，可以计算该校测试成绩等级在合格以上的学生共有多少人；〔4〕列树状图将可能出现的情况列出来，找出甲、乙两名同学同时被选中的情况，进一步计算概率即可．【详解】〔1〕(人)，即；(人)，即；，即；〔2〕补全图形如下：；〔3〕(人)，答：成绩等级在合格以上〔包括合格〕的学生约有1520人；〔4〕画树状图如图：共有12种可能出现的结果，甲、乙两名同学同时被选中的有两种，所以甲、乙两名同学同时被选中的概率为：．【点睛】此题主要考查根据频数、频率计算样本总数，根据样本情况估算满足情况的总人数，频数直方图的画法，用列表法或树状图求概率等知识点，准确理解统计图中所给数据、正确画出树状图是解决此题的关键．22．〔1〕证明见解析；〔2〕．【分析】 〔1〕连接OC，由题意知∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，据此得，根据AD⊥DC即可得证；〔2〕连接BC，证△ADC∽△ACB即可得．【详解】解：〔1〕如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAO，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；〔2〕如图，连接BC，OE，∵E是BC的中点，，∴，∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，， 又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，那么，∴．【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．23．〔1〕A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元；〔2〕超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润到达最大，最大利润为405元；〔3〕A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元．【分析】〔1〕主要运用二元一次方程组，设A型号水杯为x元，B型号水杯为y元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A、B型号水杯的单价；〔2〕主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润到达最大，最大利润为w，每个水杯的利润为元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为个，根据：利润=〔售价-进价〕×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的根本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；〔3〕根据〔1〕A型号水杯为20元，B型号水杯为30元．设10000元购置A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b，W．【详解】〔1〕解：设A型号水杯进价为x元，B型号水杯进价为y元，根据题意可得：，解得：，∴A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元．〔2〕设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润到达最大，最大利润为 w，根据题意可得：，化简得：，当时，，∴超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润到达最大，最大利润为405元．〔3〕设购置A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，根据题意可得：将①代入②可得：，化简得：，使得A，B两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，那么，得，当时，，∴A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．24．〔1〕；〔2〕存在，或；〔3〕点，最短路程为，理由见详解；〔4〕存在，当以点Q为直角顶点的等腰时，点或，理由见详解．【分析】〔1〕由题意易得，然后设二次函数的解析式为 ，进而代入求解即可；〔2〕由题意易得，要使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，那么可分①当时，②当时，进而分类求解即可；〔3〕由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，最后求解即可；〔4〕由题意可分①当点Q在第二象限时，存在等腰，②当点Q在第一象限时，存在等腰，然后利用“k型〞进行求解即可．【详解】解：〔1〕∵，，，∴，设二次函数的解析式为，代入点C的坐标可得：，解得：，∴二次函数的解析式为，即为；〔2〕存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：由〔1〕可得抛物线的解析式为，那么有对称轴为直线，设直线BC的解析式为，代入点B、C坐标可得：，解得：，∴直线BC的解析式为，∴点，，∴由两点距离公式可得，假设使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，那么有，①当时，那么有轴，如下图： ∴点，②当时，如下图：∴，∴，∴点；〔3〕由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短那么有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI ，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如下图：∵OC=8，点D为CO的中点，∴OD=4，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，设直线HI的解析式为，那么把点H、I坐标代入得：，解得：，∴直线HI的解析式为，当y=0时，那么有，解得：，当x=1时，那么有，∴点， ∴点G走过的最短路程为；〔4〕存在以点Q为直角顶点的等腰，理由如下：设点，那么有：①当点Q在第二象限时，存在等腰时，如下图：过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如下图，∴，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵等腰，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵点， ∴，解得：〔不符合题意，舍去〕，∴；②当点Q在第一象限时，存在等腰时，如下图：同理①可得，解得：〔不符合题意，舍去〕，∴；综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰时，点或．【点睛】此题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．