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河北省2021年中考数学试题真题及答案
河北省2021年中考数学试题真题及答案
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河北省2021年中考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单项选择题1.如图,四条线段,,,中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上,请借助直尺判断该线段是〔〕A.B.C.D.2.不一定相等的一组是〔〕A.与B.与C.与D.与3.,那么一定有,“〞中应填的符号是〔〕A.B.C.D.4.与结果相同的是〔〕.A.B.C.D.5.能与相加得0的是〔〕A.B.C.D.6.一个骰子相对两面的点数之和为7,它的展开图如图,以下判断正确的选项是〔〕 A.代表B.代表C.代表D.代表7.如图1,中,,为锐角.要在对角线上找点,,使四边形为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,那么正确的方案〔〕图2A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是8.图1是装了液体的高脚杯示意图〔数据如图〕,用去一局部液体后如图2所示,此时液面〔〕 A.B.C.D.9.假设取1.442,计算的结果是〔〕A.-100B.-144.2C.144.2D.-0.0144210.如图,点为正六边形对角线上一点,,,那么的值是〔〕A.20B.30C.40D.随点位置而变化11.如图,将数轴上-6与6两点间的线段六等分,这五个等分点所对应数依次为,,,,,那么以下正确的选项是〔〕A.B.C.D.12.如图,直线,相交于点.为这两直线外一点,且.假设点关于直线,的对称点分别是点,,那么,之间的距离可能是〔〕 A.0B.5C.6D.713.定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.:如图,是的外角.求证:.以下说法正确的选项是〔〕A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整B.证法1用严谨的推理证明了该定理C.证法2用特殊到一般法证明了该定理D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理14.小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色,并绘制了不完整的扇形图1及条形图2 〔柱的高度从高到低排列〕.条形图不小心被撕了一块,图2中“〔〕〞应填的颜色是〔〕A.蓝B.粉C.黄D.红15.由值的正负可以比拟与的大小,以下正确的选项是〔〕A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,16.如图,等腰中,顶角,用尺规按①到④的步骤操作:①以为圆心,为半径画圆;②在上任取一点〔不与点,重合〕,连接;③作的垂直平分线与交于,;④作的垂直平分线与交于,.结论Ⅰ:顺次连接,,,四点必能得到矩形;结论Ⅱ:上只有唯一的点,使得.对于结论Ⅰ和Ⅱ,以下判断正确的选项是〔〕A.Ⅰ和Ⅱ都对B.Ⅰ和Ⅱ都不对C.Ⅰ不对Ⅱ对D.Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题17.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片〔边长如图〕.〔1〕取甲、乙纸片各1块,其面积和为___________;〔2〕嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片___________块.18.以下图是可调躺椅示意图〔数据如图〕,与的交点为,且,,保持不变.为了舒适,需调整的大小,使,那么图中应___________〔填“增加〞或“减少〞〕___________度.三、解答题19.用绘图软件绘制双曲线:与动直线:,且交于一点,图1为时的视窗情形.〔1〕当时,与的交点坐标为__________;〔2〕视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点始终在视窗中心.例如,为在视窗中看到〔1〕中的交点,可将图1中坐标系的单位长度变为原来的 ,其可视范围就由及变成了及〔如图2〕.当和时,与的交点分别是点A和,为能看到在A和之间的一整段图象,需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的,那么整数__________.20.某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进本甲种书和本乙种书,共付款元.〔1〕用含,的代数式表示;〔2〕假设共购进本甲种书及本乙种书,用科学记数法表示的值.21.训练场球筐中有、两种品牌的乒乓球共101个,设品牌乒乓球有个.〔1〕淇淇说:“筐里品牌球是品牌球的两倍.〞嘉嘉根据她的说法列出了方程:.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确;〔2〕据工作人员透露:品牌球比品牌球至少多28个,试通过列不等式的方法说明品牌球最多有几个.22.某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示,嘉淇进入展厅后开始自由参观,每走到一个十字道口,她自己可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性均相同. 〔1〕求嘉淇走到十字道口向北走的概率;〔2〕补全图2的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.23.以下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1号指挥机〔看成点〕始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行,2号试飞机〔看成点〕一直保持在1号机的正下方,2号机从原点处沿仰角爬升,到高的处便立刻转为水平飞行,再过到达处开始沿直线降落,要求后到达处.〔1〕求的关于的函数解析式,并直接写出2号机的爬升速度;〔2〕求的关于的函数解析式,并预计2号机着陆点的坐标;〔3〕通过计算说明两机距离不超过的时长是多少.〔注:〔1〕及〔2〕中不必写的取值范围〕24.如图,的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,其中整钟点为〔为1~12的整数〕,过点作的切线交延长线于点.〔1〕通过计算比拟直径和劣弧长度哪个更长;〔2〕连接,那么和有什么特殊位置关系?请简要说明理由; 〔3〕求切线长的值.25.以下图是某同学正在设计的一动画示意图,轴上依次有,,三个点,且,在上方有五个台阶〔各拐角均为〕,每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶到轴距离.从点处向右上方沿抛物线:发出一个带光的点.〔1〕求点的横坐标,且在图中补画出轴,并直接指出点会落在哪个台阶上;〔2〕当点落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与形状相同的抛物线,且最大高度为11,求的解析式,并说明其对称轴是否与台阶有交点;〔3〕在轴上从左到右有两点,,且,从点向上作轴,且.在沿轴左右平移时,必须保证〔2〕中沿抛物线下落的点能落在边〔包括端点〕上,那么点横坐标的最大值比最小值大多少?〔注:〔2〕中不必写的取值范围〕26.在一平面内,线段,线段,将这四条线段顺次首尾相接.把固定,让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时,,将会跟随出现到相应的位置.〔1〕论证如图1,当时,设与交于点,求证:;〔2〕发现当旋转角时,的度数可能是多少?〔3〕尝试取线段的中点,当点与点距离最大时,求点到的距离;〔4〕拓展①如图2,设点与的距离为,假设的平分线所在直线交于点,直接写出的长〔用含的式子表示〕;②当点在下方,且与垂直时,直接写出的余弦值. 参考答案1.A【分析】根据直线的特征,经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断.【详解】解:设线段m与挡板的交点为A,a、b、c、d与挡板的交点分别为B,C,D,E,连结AB、AC、AD、AE,根据直线的特征经过两点有且只有一条直线,利用直尺可确定线段a与m在同一直线上,应选择A.【点睛】此题考查直线的特征,掌握直线的特征是解题关键.2.D【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法那么计算各项后,再进行判断即可得到结论.【详解】解:A.=,应选项A不符合题意;B.,应选项B不符合题意;C.,应选项C不符合题意;D.,应选项D符合题意, 应选:D.【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法那么,熟练掌握相关运算法那么是解答此题的关键.3.B【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可.【详解】解:将不等式两边同乘以-4,不等号的方向改变得,∴“〞中应填的符号是“〞,应选:B.【点睛】此题主要考查了不等式的根本性质3:不等式的两边同乘以〔或除以〕同一个负数,不等号的方向改变,熟练掌握不等式的根本性质是解答此题的关键.4.A【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算,即可得到答案.【详解】∵,且选项B、C、D的运算结果分别为:4、6、0应选:A.【点睛】此题考查了二次根式、有理数运算的知识;解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质,即可得到答案.5.C【分析】利用加法与减法互为逆运算,将0减去即可得到对应答案,也可以利用相反数的 性质,直接得到能与相加得0的是它的相反数即可.【详解】解:方法一:;方法二:的相反数为;应选:C.【点睛】此题考查了有理数的运算和相反数的性质,解决此题的关键是理解相关概念,并能灵活运用它们解决问题,此题侧重学生对数学符号的理解,计算过程中学生应注意符号的改变.6.A【分析】根据正方体展开图的对面,逐项判断即可.【详解】解:由正方体展开图可知,的对面点数是1;的对面点数是2;的对面点数是4;∵骰子相对两面的点数之和为7,∴代表,应选:A.【点睛】此题考查了正方体展开图,解题关键是明确正方体展开图中相对面间隔一个正方形,判断哪两个面相对.7.A【分析】甲方案:利用对角线互相平分得证;乙方案:由,可得,即可得,再利用对角线互相平分得证;丙方案:方法同乙方案.【详解】 连接交于点甲方案:四边形是平行四边形四边形为平行四边形.乙方案:四边形是平行四边形,,又(AAS)四边形为平行四边形.丙方案:四边形是平行四边形,,,又分别平分,即〔ASA〕 四边形为平行四边形.所以甲、乙、丙三种方案都可以.应选A.【点睛】此题考查了平行四边的性质与判定,三角形全等的性质和判定,角平分线的概念等知识,能正确的利用全等三角的证明得到线段相等,结合平行四边形的判定是解题关键.8.C【分析】先求出两个高脚杯液体的高度,再通过三角形相似,建立其对应边的比与对应高的比相等的关系,即可求出AB.【详解】解:由题可知,第一个高脚杯盛液体的高度为:15-7=8〔cm〕,第二个高脚杯盛液体的高度为:11-7=4〔cm〕,因为液面都是水平的,图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯,所以图1和图2中的两个三角形相似,∴,∴〔cm〕,应选:C.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,解决此题的关键是读懂题意,与图形建立关联,能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形,并能运用其性质得到相应线段之间的关系等,此题对学生的观察分析的能力有一定的要求.9.B【分析】类比二次根式的计算,提取公因数,代入求值即可.【详解】 应选B.【点睛】此题考查了根式的加减运算,类比二次根式的计算,提取系数,正确的计算是解题的关键.10.B【分析】连接AC、AD、CF,AD与CF交于点M,可知M是正六边形的中心,根据矩形的性质求出,再求出正六边形面积即可.【详解】解:连接AC、AD、CF,AD与CF交于点M,可知M是正六边形的中心,∵多边形是正六边形,∴AB=BC,∠B=∠BAF=120°,∴∠BAC=30°,∴∠FAC=90°,同理,∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°,∴四边形ACDF是矩形,,,,应选:B.【点睛】此题考查了正六边形的性质,解题关键是连接对角线,根据正六边形的面积公式求解.11.C【分析】 根据题目中的条件,可以把,,,,分别求出来,即可判断.【详解】解:根据题意可求出:A,,应选项错误,不符合题意;B,,应选项错误,不符合题意;C,,应选项正确,符合题意;D,,应选项错误,不符合题意;应选:C.【点睛】此题考查了等分点和实数与数轴上的点一一对应,解题的关键是:根据题意直接求出,,,,的值即可判断.12.B【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论.【详解】解:连接,如图,∵是P关于直线l的对称点,∴直线l是的垂直平分线, ∴∵是P关于直线m的对称点,∴直线m是的垂直平分线,∴当不在同一条直线上时,即当在同一条直线上时,应选:B【点睛】此题主要考查了轴对称变换,熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键13.B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B,利用理论与实践相结合可判断C与D.【详解】解:A.证法1给出的证明过程是完整正确的,不需要分情况讨论,故A不符合题意;B.证法1给出的证明过程是完整正确的,不需要分情况讨论,应选项B符合题意;C.证法2用量角器度量两个内角和外角,只能验证该定理的正确性,用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程,应选项C不符合题意;D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,验证的正确性更高,就能证明该定理还需用理论证明,应选项D不符合题意.应选择:【点睛】此题考查三角形外角的证明问题,命题的正确性需要严密推理证明,三角形外角分三种情形,锐角、直角、和钝角,证明中应分类才严谨.14.D【分析】 根据同学最喜欢的颜色最少的是蓝色,可求出总人数,可求出喜欢红色的14人,那么可知喜欢粉色和黄色的人数分别为16人和15人,可知“〔〕〞应填的颜色.【详解】解:同学最喜欢的颜色最少的是蓝色,有5人,占10%,5÷10%=50〔人〕,喜欢红色的人数为50×28%=14〔人〕,喜欢红色和蓝色一共有14+5=19〔人〕,喜欢剩余两种颜色的人数为50-19=31〔人〕,其中一种颜色的喜欢人数为16人,另一种为15人,由柱的高度从高到低排列可得,第三条的人数为14人,“〔〕〞应填的颜色是红色;应选:D.【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图,解题关键是熟练准确从统计图中获取正确信息.15.C【分析】先计算的值,再根c的正负判断的正负,再判断与的大小即可.【详解】解:,当时,,无意义,故A选项错误,不符合题意;当时,,,故B选项错误,不符合题意;当时,,,故C选项正确,符合题意;当时,,;当时,,,故D选项错误,不符合题意;应选:C.【点睛】此题考查了分式的运算和比拟大小,解题关键是熟练运用分式运算法那么进行计算,根据结果进行准确判断.16.D 【分析】Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心〞,可证四边形MENF的形状;Ⅱ、在确定点P的过程中,看∠MOF=40°是否唯一即可.【详解】解:Ⅰ、如下图.∵MN是AB的垂直平分线,EF是AP的垂直平分线,∴MN和EF都经过圆心O,线段MN和EF是⊙O的直径.∴OM=ON,OE=OF.∴四边形MENF是平行四边形.∵线段MN是⊙O的直径,∴∠MEN=90°.∴平行四边形MENF是矩形.∴结论Ⅰ正确;Ⅱ、如图2,当点P在直线MN左侧且AP=AB时,∵AP=AB,∴.∵MN⊥AB,EF⊥AP,∴∴∴∴.∴. ∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等,∴.如图3,当点P在直线MN右侧且BP=AB时,同理可证:.∴结论Ⅱ错误.应选:D【点睛】此题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点,熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键.17.4【分析】〔1〕直接利用正方形面积公式进行计算即可;〔2〕根据图形的面积公式的特征,利用完全平方公式即可判定应增加的项,再对应到图形上即可.【详解】解:〔1〕∵甲、乙都是正方形纸片,其边长分别为∴取甲、乙纸片各1块,其面积和为;故答案为:.〔2〕要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,那么它们的面积和为,假设再加上〔刚好是4个丙〕,那么,那么刚好能组成边长为的正方形,图形如下所示,所以应取丙纸片4块.故答案为:4. 【点睛】此题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义,解决此题的关键是牢记公式特点,灵活运用公式等,此题涉及到的方法为观察、假设与实践,涉及到的思想为数形结合的思想.18.减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系,进行计算即可判断.【详解】解:∵∠A+∠B=50°+60°=110°,∴∠ACB=180°-110°=70°,∴∠DCE=70°,如图,连接CF并延长,∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF,∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF,∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°,要使∠EFD=110°,那么∠EFD减少了10°,假设只调整∠D的大小,由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°,因此应将∠D减少10度;故答案为:①减少;②10. 【点睛】此题考查了三角形外角的性质,同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识;解决此题的关键是理解题意,读懂图形,找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角,此题蕴含了数形结合的思想方法.19.〔1〕;〔2〕4【分析】〔1〕结合题意,根据一次函数和反比例函数的性质列分式方程并求解,即可得到答案;〔2〕当和时,根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质,分别计算的值,再根据题意分析,即可得到答案.【详解】〔1〕根据题意,得∴∵∴是的解∴当时,与的交点坐标为:故答案为:;〔2〕当时,得∴∵∴是的解∴与的交点坐标为: ∵〔1〕视窗可视范围就由及,且∴根据题意,得为正整数∴∴同理,当时,得∴∴∴∵要能看到在A和之间的一整段图象∴故答案为:4.【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识;解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质,从而完成求解.20.〔1〕〔2〕【分析】〔1〕进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价,用单价乘以数量即可;〔2〕将书的数量代入〔1〕中结论,求解,最后用科学记数法表示.【详解】〔1〕〔2〕 所以.【点睛】此题考查了列代数式,科学记数法,幂的计算,正确的理解题意根据实际问题列出代数式,正确的用科学计数法表示出结果是解题的关键.21.〔1〕不正确;〔2〕36【分析】〔1〕解方程,得到方程的解不是整数,不符合题意,因此判定淇淇说法不正确;〔2〕根据题意列出不等式,解不等式即可得到A品牌球的数量最大值.【详解】解:〔1〕,解得:,不是整数,因此不符合题意;所以淇淇的说法不正确.〔2〕∵A品牌球有个,B品牌球比A品牌球至少多28个,∴,解得:,∵x是整数,∴x的最大值为36,∴A品牌球最多有36个.【点睛】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用,解决此题的关键是能根据题意列出方程或不等式,并结合实际情况,对它们的解或解集进行判断,得出结论;此题数量关系较明显,因此考查了学生的根本功.22.〔1〕,〔2〕嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.【分析】〔1〕嘉淇走到十字道口一共有三种可能,向北只有一种可能,根据概率公式求解即可;〔2〕根据树状图的画法补全树状图,再根据向哪个方向出现的次数求概率即可.【详解】解:〔1〕嘉淇走到十字道口一共有三种可能,向北只有一种可能,嘉淇走到十字道口 向北走的概率为;〔2〕补全树状图如下图:嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能,向西的概率为:;向南的概率为;向北的概率为;向东的概率为;嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.【点睛】此题考查了概率的应用,解题关键是根据题意准确画出树状图,正确进行求解判断.23.〔1〕,〔km/min〕〔2〕,〔3〕min【分析】〔1〕根据图象分析得知,解析式为正比例函数,根据角度判断k值,即可求得.〔2〕根据B、C两点坐标,待定系数法求表达式即可,着陆点令,求解即可.〔3〕根据点Q的位置,观察图象,找到满足题意的范围,分类讨论计算即可.【详解】解:〔1〕设线段OA所在直线的函数解析式为:∵2号机从原点处沿仰角爬升∴又∵1号机飞到A点正上方的时候,飞行时间〔min〕 ∴2号机的飞行速度为:〔km/min〕〔2〕设线段BC所在直线的函数表达式为:∵2号机水平飞行时间为1min,同时1号机的水平飞行为1min,点B的横坐标为:;点B的纵坐标为:4,即,将,代入中,得:解得:∴令,解得:∴2号机的着陆点坐标为〔3〕当点Q在时,要保证,那么:;当点Q在上时,,此时,满足题意,时长为〔min〕;当点Q在上时,令,解得:,此时〔min〕,∴当时,时长为:〔min〕【点睛】此题考查变量之间的关系、待定系数法求一次函数解析式,根据实际问题,数形结合讨论是解题的关键.24.〔1〕劣弧更长;〔2〕和互相垂直,理由见解析;〔3〕.【分析】 〔1〕分别求出劣弧和直径的长,比拟大小;〔2〕连接,,求出,即可得出垂直的位置关系;〔3〕根据圆的知识求出,又是的切线,利用三角函数求解即可.【详解】〔1〕劣弧,直径,因为,故劣弧更长.〔2〕如以下图所示连接,,由图可知是直径,∴对应的圆周角∴和互相垂直.〔3〕如上图所示,∵是的切线∴,∴.【点睛】此题考查了圆的根本性质、特殊角的三角函数的根本知识.半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角.在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半.25.〔1〕,见解析,点会落在的台阶上;〔2〕,其对称轴与台阶有交点;〔3〕.【分析】 〔1〕二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出,根据点的坐标可以确定轴,利用函数的性质可以判断落在那个台阶上;〔2〕利用二次函数图象的平移来求解抛物线,再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶有交点;〔3〕抓住二次函数图象不变,是在左右平移,要求点横坐标的最大值比最小值大多少,利用临界点法,可以确定什么时候横坐标最大,什么时候横坐标最小,从而得解.【详解】解:〔1〕当,,解得:,在左侧,,关于对称,轴与重合,如以下图:点会落在的台阶上,由题意在坐标轴上标出相关信息,当时,,解得:,,会落在的台阶上且坐标为, 〔2〕设将抛物线,向下平移5个单位,向右平移的单位后与抛物线重合,那么抛物线的解析式为:,由〔1〕知,抛物线过,将代入,,解得:〔舍去,因为是对称轴左边的局部过〕,抛物线:,关于,且,其对称轴与台阶有交点.〔3〕由题意知,当沿轴左右平移,恰使抛物线下落的点过点时,此时点的横坐标值最大;当,,解得:〔取舍〕,故点的横坐标最大值为:,当沿轴左右平移,恰使抛物线下落的点过点时,此时点的横坐标值最小;当,,解得:〔舍去〕,故点的横坐标最小值为:,那么点横坐标的最大值比最小值大:,故答案是:.【点睛】此题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质,图象平移,抛物线的对称轴,解题的关键是:熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质,通过的函数求解平移后函数的解析式.26.〔1〕证明见解析;〔2〕或;〔3〕;〔4〕①;②. 【分析】〔1〕先根据平行线的性质可得,再根据三角形全等的判定定理与性质可得,由此即可得证;〔2〕分如图〔见解析〕所示的两种情况,先根据等边三角形的判定与性质可得,再根据菱形的判定与性质可得,然后根据平行线的性质、角的和差即可得;〔3〕先根据三角形的三边关系可得当点共线时,取得最大值,再画出图形〔见解析〕,利用勾股定理求出的长,然后求出的值,最后在中,解直角三角形即可得;〔4〕①如图〔见解析〕,先根据等腰三角形的三线合一可得,再同〔3〕的方法可求出的长,然后证出,根据相似三角形的性质即可得;②如图〔见解析〕,只需考虑的情形,先利用勾股定理可得,再同〔3〕的方法可求出的长,从而可得的长,然后证出,根据相似三角形的性质和可求出的长,最后根据余弦三角函数的定义即可得.【详解】证明:〔1〕,,在和中,,,,,;〔2〕由题意,由以下两种情况: ①如图,取的中点,连接,那么,,是等边三角形,,,四边形是菱形,,,;②如图,当点与的中点重合,那么,是等边三角形,,综上,的度数为或;〔3〕如图,连接, ,,当且仅当点共线时,等号成立,如图,过点作于点,过点作于点,那么即为所求,,,设,那么,,,解得,,,在中,,在中,, 即当点与点距离最大时,点到的距离为;〔4〕①如图,连接交于点,过点作于点,平分,,,〔等腰三角形的三线合一〕,设,那么,,,解得,即,在和中,,,,即,解得;②初中阶段没有学习钝角的余弦值,且,只需考虑的情形,如图,设与交于点,过点作于点,连接, ,,设,那么,,,解得,,,设,那么,在和中,,,,即,解得,,, 解得,那么.【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点,较难的是题〔4〕,正确画出相应的图形,并通过作辅助线,构造直角三角形和相似三角形是解题关键.
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中考 - 历年真题
发布时间:2023-02-09 10:57:09
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