2021年浙江省金华市中考数学真题及答案

2021年浙江省金华市中考数学试卷一、选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕1．实数﹣，﹣，2，﹣3中，为负整数的是〔　　〕A．﹣B．﹣C．2D．﹣32．+＝〔　　〕A．3B．C．D．3．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法表示为〔　　〕A．1.5×108B．15×107C．1.5×107D．0.15×1094．一个不等式的解在数轴上表示如图，那么这个不等式可以是〔　　〕A．x+2＞0B．x﹣2＜0C．2x≥4D．2﹣x＜05．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是〔　　〕如图，直线l1，l2，l3，l4．假设∠1＝∠2，那么∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：∠1＝∠2，根据〔内错角相等，两直线平行〕，得l1∥l2．再根据〔※〕，得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，同旁内角互补6．将如下图的直棱柱展开，以下各示意图中不可能是它的外表展开图的是〔　　〕 A．B．C．D．7．如图是一架人字梯，AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，那么两梯脚之间的距离BC为〔　　〕A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米8．点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕在反比例函数y＝﹣的图象上．假设x1＜0＜x2，那么〔　　〕A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜09．某超市出售一商品，有如下四种在原标价根底上调价的方案，其中调价后售价最低的是〔　　〕A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，那么的值是〔　　〕 A．B．3πC．5πD．二、填空题〔此题有6小题，每题4分，共24分〕11．〔4分〕二次根式中，字母x的取值范围是　　．12．〔4分〕是方程3x+2y＝10的一个解，那么m的值是　　．13．〔4分〕某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．每张奖券获奖的可能性相同，那么1张奖券中一等奖的概率是　　．14．〔4分〕如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，那么点E到AC的距离为　　cm．15．〔4分〕如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫〞，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫〞耳尖E在y轴上．假设“猫〞尾巴尖A的横坐标是1，那么“猫〞爪尖F的坐标是　　．16．〔4分〕如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8． 〔1〕ED的长为　　．〔2〕将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′〔如图2〕，点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．假设DD′＝5，那么EE′的长为　　．三、解答题〔此题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程〕17．〔6分〕计算：〔﹣1〕2021+﹣4sin45°+|﹣2|．18．〔6分〕x＝，求〔3x﹣1〕2+〔1+3x〕〔1﹣3x〕的值．19．〔6分〕：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．〔1〕求矩形对角线的长．〔2〕过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．20．〔8分〕小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识〞竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答以下问题：〔1〕要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．〔2〕求小聪成绩的方差．〔3〕现求得小明成绩的方差为S小明2＝3〔单位：平方分〕．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由． 21．〔8分〕某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线〔第一象限局部〕的函数表达式为y＝﹣〔x﹣5〕2+6．〔1〕求雕塑高OA．〔2〕求落水点C，D之间的距离．〔3〕假设需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．22．〔10分〕在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．〔1〕如图1，假设∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．〔2〕如图2，BO′与相交于点D，假设点D为的中点，且PD∥OB，求的长． 23．〔10分〕背景：点A在反比例函数y＝〔k＞0〕的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决以下问题．〔1〕求k的值．〔2〕设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数〞．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数〞的图象．①求这个“Z函数〞的表达式．②补画x＜0时“Z函数〞的图象，并写出这个函数的性质〔两条即可〕．③过点〔3，2〕作一直线，与这个“Z函数〞图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．24．〔12分〕在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔﹣，0〕，点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．〔1〕如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①假设BA＝BO，求证：CD＝CO．②假设∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．〔2〕是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？假设存在，求OB的长；假设不存在，请说明理由． 2021年浙江省金华市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕1．实数﹣，﹣，2，﹣3中，为负整数的是〔　　〕A．﹣B．﹣C．2D．﹣3【分析】根据实数的分类即可做出判断．【解答】解：A选项是负分数，不符合题意；B选项是无理数，不符合题意；C选项是正整数，不符合题意；D选项是负整数，符合题意；应选：D．2．+＝〔　　〕A．3B．C．D．【分析】根据同分母的分式的加减法法那么计算即可．【解答】解：+＝＝，应选：D．3．太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法表示为〔　　〕A．1.5×108B．15×107C．1.5×107D．0.15×109【分析】对于大于10的数，可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为正整数，n的值比原数的位数少1．【解答】解：150000000＝1.5×108，应选：A．4．一个不等式的解在数轴上表示如图，那么这个不等式可以是〔　　〕A．x+2＞0B．x﹣2＜0C．2x≥4D．2﹣x＜0 【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．【解答】解：A、x＞﹣2，故A错误；B、x＜2，故B正确；C、x≥2，故C错误；D、x＞2，故D错误．应选：B．5．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是〔　　〕如图，直线l1，l2，l3，l4．假设∠1＝∠2，那么∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：∠1＝∠2，根据〔内错角相等，两直线平行〕，得l1∥l2．再根据〔※〕，得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，同旁内角互补【分析】先证l1∥l2，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．应选：C．6．将如下图的直棱柱展开，以下各示意图中不可能是它的外表展开图的是〔　　〕 A．B．C．D．【分析】直三棱柱的外表展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的底面组成．【解答】解：选项A、B、C均可能是该直棱柱展开图，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的外表展开图，应选：D．7．如图是一架人字梯，AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，那么两梯脚之间的距离BC为〔　　〕A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC,再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出答案。【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D,∵AB＝AC＝2米,AD⊥BC,∴BD＝DC,∴cosα＝＝,∴DC＝2cosα(米〕，∴BC＝2DC＝2•2cosα＝4cosα(米〕。应选：A． 8．点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕在反比例函数y＝﹣的图象上．假设x1＜0＜x2，那么〔　　〕A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A在第二象限，点B在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．【解答】解：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，∴y2＜0＜y1；应选：B．9．某超市出售一商品，有如下四种在原标价根底上调价的方案，其中调价后售价最低的是〔　　〕A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%【分析】设商品原标价为a，然后分别计算每种调价方案后的售价，进行比拟求解．【解答】解：设商品原标价为a元，A.先打九五折，再打九五折的售价为：0.95×0.95a＝0.9025a；B.先提价50%，再打六折的售价为：(1+50%)×0.6a＝0.9a；C.先提价30%，再降价30%的售价为：〔1+30%〕〔1﹣30%〕a＝0.91a；D.先提价25%，再降价25%的售价为：〔1+25%〕〔1﹣25%〕a＝0.9375a，∵0.9a＜0.9025a＜0.91a＜0.9375a，∴B选项的调价方案调价后售价最低，应选：B．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，那么的值是〔　　〕A．B．3πC．5πD．【分析】先设Rt△ABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设⊙O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．【解答】解：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，那么a2+b2＝c2，①取AB的中点为O，∵△ABC是直角三角形，∴OA＝OB＝OC，∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，∴O为圆心，连接OG，OE，那么OG，OE为半径，由勾股定理得：，②由①②得a＝b，∴， ∴，∴，∴，应选：C．二、填空题〔此题有6小题，每题4分，共24分〕11．〔4分〕二次根式中，字母x的取值范围是　x≥3　．【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，那么x≥3；故答案为：x≥3．12．〔4分〕是方程3x+2y＝10的一个解，那么m的值是　2　．【分析】把方程组的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．13．〔4分〕某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．每张奖券获奖的可能性相同，那么1张奖券中一等奖的概率是　　．【分析】直接根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵共有150张奖券，一等奖5个，∴1张奖券中一等奖的概率＝＝．故答案为：．14．〔4分〕如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，那么点E到AC的距离为　2　cm． 【分析】连接BD,过点E作EF⊥AC于点F,根据菱形的性质可以证明三角形ABD是等边三角形，根据平移的性质可得AD∥A′E,可得＝,＝,解得A′E＝4(cm),再利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出结论。【解答】解：如图，连接BD,过点E作EF⊥AC于点F,∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB,BD⊥AC,∵∠BAD＝60°，∴三角形ABD是等边三角形，∵菱形ABCD的边长为6cm,∴AD＝AB＝BD＝6cm,∴AG＝GC＝3(cm),∴AC＝6(cm),∵AA′＝2(cm),∴A′C＝4(cm),∵AD∥A′E,∴＝,∴＝,∴A′E＝4(cm),∵∠EA′F＝∠DAC＝DAB＝30°,∴EF＝A′E＝2(cm)．故答案为：2． 15．〔4分〕如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫〞，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫〞耳尖E在y轴上．假设“猫〞尾巴尖A的横坐标是1，那么“猫〞爪尖F的坐标是　(﹣﹣,+)　．【分析】如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,那么OC＝a,CD＝2a,根据点A的横坐标为1，构建方程求出a,解直角三角形求出FJ,KT,可得结论．【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,那么OC＝a,CD＝2a,在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,∴AH＝AD＝a,∴OH＝4a,∵点A的横坐标为1，∴4a＝1,∴a＝,在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a＝,∴PQ＝PF＝,∵FK⊥PQ,∴PK＝KQ, ∴FK＝PK＝QK＝,∵KJ＝，PT＝1+(﹣)＝+,∴FJ＝+,KT＝PT﹣PK＝+﹣＝+,∴F(﹣﹣,+)．故答案为：(﹣﹣,+)．16．〔4分〕如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．〔1〕ED的长为　13　．〔2〕将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′〔如图2〕，点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．假设DD′＝5，那么EE′的长为　11.5　．【分析】〔1〕由题意可得，△ABP∽△EDP，那么＝，进而可得出DE的长；〔2〕过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的长，可求出∠BD′D的正切值，设P′F的长，分别表示E′F和E′D′及FG和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．【解答】解：〔1〕如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8， ∴＝，∴DE＝13；故答案为：13．〔2〕如图2，过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，设P′F＝4m，那么E′F＝6.5m，∴E′D′＝6.5m，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5m，∴FG＝GD′＝2.5m，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13， ∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1,∴E′D′＝6.5,∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案为：11.5．三、解答题〔此题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程〕17．〔6分〕计算：〔﹣1〕2021+﹣4sin45°+|﹣2|．【分析】先分别计算有理数的乘方，二次根式的化简，代入特殊角三角函数值，绝对值的化简，然后再计算．【解答】解：原式＝﹣1+﹣4×+2＝﹣1+2﹣2+2＝1．18．〔6分〕x＝，求〔3x﹣1〕2+〔1+3x〕〔1﹣3x〕的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答此题．【解答】解：〔3x﹣1〕2+〔1+3x〕〔1﹣3x〕＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．19．〔6分〕：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．〔1〕求矩形对角线的长．〔2〕过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．【分析】〔1〕根据矩形的性质求出AC＝2AO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝2，求出BD；〔2〕根据勾股定理求出AD,然后根据等腰三角形的性质求得AE,然后解直角三角形求得tanα的值． 【解答】解：(1)∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为4；〔2〕由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD,OE⊥AD于点E，∴AE＝DE＝AD＝,∴tanα＝＝．20．〔8分〕小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识〞竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答以下问题：〔1〕要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．〔2〕求小聪成绩的方差．〔3〕现求得小明成绩的方差为S小明2＝3〔单位：平方分〕．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．【分析】〔1〕要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可； 〔2〕根据方差的计算方法计算即可；〔3〕由〔1〕可知两人的平均数相同，由方差可知小林的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定．【解答】解：〔1〕要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，小聪成绩的平均数：〔7+8+7+10+7+9〕＝8，小明成绩的平均数：〔7+6+6+9+10+10〕＝8，答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8，8；〔2〕小聪成绩的方差为：[〔7﹣8〕2+〔8﹣8〕2+〔7﹣8〕2+〔10﹣8〕2+〔7﹣8〕2+〔9﹣8〕2]＝；〔3〕小聪同学的成绩较好，理由：由〔1〕可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定．故小聪同学的成绩较好．21．〔8分〕某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线〔第一象限局部〕的函数表达式为y＝﹣〔x﹣5〕2+6．〔1〕求雕塑高OA．〔2〕求落水点C，D之间的距离．〔3〕假设需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【分析】〔1〕利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；〔2〕利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离; 〔3〕代入x＝10求出y值，进而可得出点〔10，〕在抛物线y＝﹣〔x﹣5〕2+6上，将与1.8比拟后即可得出顶部F不会碰到水柱．【解答】解：〔1〕当x＝0时，y＝﹣〔0﹣5〕2+6＝，∴点A的坐标为〔0，〕，∴雕塑高m．〔2〕当y＝0时，﹣〔x﹣5〕2+6＝0，解得：x1＝﹣1〔舍去〕，x2＝11，∴点D的坐标为〔11，0〕，∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．〔3〕当x＝10时，y＝﹣〔10﹣5〕2+6＝，∴点〔10，〕在抛物线y＝﹣〔x﹣5〕2+6上．又∵≈1.83＞1.8，∴顶部F不会碰到水柱．22．〔10分〕在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．〔1〕如图1，假设∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．〔2〕如图2，BO′与相交于点D，假设点D为的中点，且PD∥OB，求的长． 【分析】〔1〕①利用三角形内角和定理求解即可。②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．想方法求出OH,PH,可得结论。〔2〕如图2中，连接AD,OD．证明∠AOB＝72°可得结论。【解答】解：〔1〕①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，∴∠OBO′＝90°,由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,∵∠AOB＝75°,∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,∴∠OPO′＝120°,∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．∵∠BHO＝90°,∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,∵FO＝FB,∴∠FOB＝∠FBO＝15°,∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,设OH＝m,那么HF＝m,OF＝FB＝2m,∵OB2＝OH2+BH2,∴62＝m2+(m+2m)2,∴m＝或﹣〔舍弃〕，∴OH＝,BH＝, 在Rt△PBH中，PH＝＝,∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．(2)如图2中，连接AD,OD．∵＝,∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,∵PD∥OB,∴∠DPB＝∠OBP,∴∠DPB＝∠PBD,∴DP＝DB＝AD,∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,∴△AOD≌△BOD,∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,∵OB＝OD,∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,∴∠DOB＝36°,∴∠AOB＝72°，∴的长＝＝。 23．〔10分〕背景：点A在反比例函数y＝〔k＞0〕的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决以下问题．〔1〕求k的值．〔2〕设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数〞．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数〞的图象．①求这个“Z函数〞的表达式．②补画x＜0时“Z函数〞的图象，并写出这个函数的性质〔两条即可〕．③过点〔3，2〕作一直线，与这个“Z函数〞图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．【分析】〔1〕求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可．〔2〕①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．②描点法在车上的图象，根据函数图象可得结论〔答案不唯一〕．③由题意可知直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,构建方程组，利用△＝0，求出k 可得结论．【解答】解：〔1〕∵AC＝4,CD＝3,∴AD＝AC﹣CD＝1,∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1,∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°,∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4,∴A(4,1),∴k＝4．(2)①由题意，A(x,x﹣z),∴x(x﹣z)＝4,∴z＝x﹣．②图象如下图．性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．性质2：x＜0时，y随x的增大而增大．③设直线的解析式为y＝kx+b,把〔3,2〕代入得到，2＝3k+b, ∴b＝2﹣3k,∴直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,由,消去y得到，〔k﹣1〕x2+(2﹣3k)x+4＝0,当△＝0时，(2﹣3k)2﹣4(k﹣1)×4＝0,解得k＝或2，当k＝时，方程为x2﹣x+4,解得x＝6．当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0,解得x＝2．综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或6．24．〔12分〕在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔﹣，0〕，点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．〔1〕如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①假设BA＝BO，求证：CD＝CO．②假设∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．〔2〕是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？假设存在，求OB的长；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕①由BC⊥AB,CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据有∠BAD＝∠DOB,故∠ADB＝∠COD,从而可得∠COD＝∠CDO,CD＝CO；②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M〔m,m),可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝,即＝，设AM＝3n,那么OM＝8n,Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM 是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；〔2〕过A作AM⊥OB于M,设OB＝x,那么BM＝8﹣x,AB＝,由△AMB∽△BOC,对应边成比例可得OC＝,Rt△BOC中，BC＝,以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①假设＝,那么＝,可得OB＝4；②假设＝,那么＝,解得OB＝4+或OB＝4﹣．【解答】〔1〕①证明：∵BC⊥AB,CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BCO＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO,∴∠BAD＝∠DOB,∴∠ADB＝∠COD,∵∠ADB＝∠CDO,∴∠COD＝∠CDO,∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：∵M在直线l：y＝x上，设M〔m,m),∴MN＝|m|＝﹣m,ON＝|m|＝﹣m, Rt△MON中，tan∠OMN＝＝,而OA∥MN,∴∠AOM＝∠OMN,∴tan∠AOM＝,即＝，设AM＝3n,那么OM＝8n,Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为〔﹣，0〕，∴OA＝，∴(3n)2+(8n)2＝()2,解得n＝1〔n＝﹣1舍去〕，∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB,∠CBO＝45°,∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；〔2〕解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似,理由如下：过A作AM⊥OB于M,如图： 由〔1〕②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x,那么BM＝8﹣x,AB＝,∵CO⊥BO，AM⊥BO,AB⊥BC,∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO,∴△AMB∽△BOC,∴＝,即＝,∴OC＝,Rt△BOC中，BC＝＝,∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①假设＝,那么＝,解得x＝4,∴此时OB＝4；②假设＝,那么＝,解得x1＝4+,x2＝4﹣,∴OB＝4+或OB＝4﹣；综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，那么OB的长度为：4或4+或4﹣；