2021年湖南省湘潭市中考数学真题及答案

2021年湖南省湘潭市中考数学真题及答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）2021的相反数是（　　）A．2021B．﹣2021C．D．2．（3分）据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球320000000千米．其中320000000用科学记数法表示为（　　）A．0.32×109B．3.2×108C．3.2×109D．32×1073．（3分）下列计算正确的是（　　）A．m3÷m2＝mB．（a3）2＝a5C．x2•x3＝x6D．3a3﹣a2＝2a4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）A．B．C．D．5．（3分）下列几何体中，三视图不含圆的是（　　）A．B．C．D．6．（3分）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（　　）A．100（1﹣x）2＝64B．100（1+x）2＝64C．100（1﹣2x）＝64D．100（1+2x）＝64 7．（3分）某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（　　）A．7分B．8分C．9分D．10分8．（3分）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）A．2B．2C．2D．4二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）单项式3x2y的系数为　　．10．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，则点A′的坐标为　　．11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　．12．（3分）“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献．全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷．某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件（肥力、日照、通风…）不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为：＝1042kg/亩，s甲2＝6.5，＝1042kg/亩，s乙2＝1.2，则　　品种更适合在该村推广．（填“甲”或“乙”）13．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝130°，则∠2为　　度． 14．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝　　．15．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：　　，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）16．（3分）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥456789101112123算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是　　年．（用天干地支纪年法表示）三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分） 17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．18．（6分）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．19．（6分）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．（1）证明：△AEF≌△CEF；（2）若AB＝，求折痕AE的长度．20．（6分）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：接种地点疫苗种类医院A新冠病毒灭活疫苗B重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）社区卫生服务中心C新冠病毒灭活疫苗D重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．21．（6分）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构． 某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）22．（6分）为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩•我们诵；B、听党话•我们唱；C、跟党走•我们画；D、学党史•我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩95＜x≤100可获一等奖，成绩90＜x≤95可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：收集其中90＜x≤100这一组成绩如下：n939298959596919496整理该组数据得下表：组别平均数中位数众数获奖组94.59595根据以上信息，回答下列问题：（1）频数分布直方图中m＝　　；（2）90＜x≤100组中n＝　　；（3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？ 23．（8分）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．（1）求直线OA的解析式；（2）求反比例函数y＝的解析式；（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．24．（8分）2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售40kg、线下批发80kg湘莲共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg湘莲销售额相同．（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲2000kg，设线上零售xkg，获得的总销售额为y元：①请写出y与x的函数关系式；②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？ 25．（10分）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；①作两条相互垂直的直径MN、AI；②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由； （3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值． 答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1解析：只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前面添加“﹣”．答案：2021的相反数是﹣2021，故选：B．2解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．答案：320000000＝3.2×108，故选：B．3解析：A．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；B．直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；C．直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；D．直接利用合并同类项法则计算得出答案．答案：A．m3÷m2＝m，故此选项符合题意；B．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；C．x2•x3＝x5，故此选项不合题意；D.3a3与a2无法合并，故此选项不合题意．故选：A．4解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而在数轴上表示解集即可．答案：解不等式x+1≥2，得：x≥1，解不等式4x﹣8＜0，得：x＜2，则不等式组的解集为1≤x＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：D．5解析：分别找出四个立体图形的三视图即可解答． 答案：A、圆柱的俯视图是圆，故不符合题意；B、球的三视图都是圆，故不符合题意；C、正方体的三视图都是正方形，故符合题意；D、圆锥的俯视图是圆，故不符合答题，故选：C．6解析：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次降价后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．答案：根据题意得：100（1﹣x）2＝64，故选：A．7解析：根据算术平均数的定义求解即可．答案：小明同学五项评价的平均得分为＝9（分），故选：C．8解析：根据垂径定理求得＝，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD＝＝2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF＝OC＝OD＝2．答案：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，∴＝，AE＝DE＝2，∴∠COD＝2∠ABC＝45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE＝ED＝2，∴OD＝＝2，∵直线l切⊙O于点C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF＝OC，∵OC＝OD＝2，∴CF＝2，故选：B． 二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9解析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．答案：3x2y＝3•x2y，其中数字因式为3，则单项式的系数为3．故答案为：3．10解析：根据左减右加，上加下减的规律解决问题即可．答案：∵点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，∴A′（3，1），故答案为（3，1）．11解析：根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．答案：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．12解析：根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．答案：∵＝1042kg/亩，＝1042kg/亩，s甲2＝6.5，s乙2＝1.2，∴＝，S甲2＞S乙2，∴产量稳定，适合推广的品种为乙，故答案为：乙．13解析：根据邻补角得出∠3的度数，再根据平行线的性质解答即可．答案：∵∠1＝130°，∴∠3＝180°﹣130°＝50°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝50°，故答案为：50． 14解析：由平行四边形的性质可得，点O是线段AC的中点，可得OE是△ABC的中位线，由中位线定理可得OE的长．答案：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC的中点，∵点E是边AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝5．故答案为：5．15解析：根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．答案：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．16解析：先用2021的尾数1查出天干，再用2021除以12的余数查出地支即可．答案：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为丑，那么2021年就是辛丑年．故答案为：辛丑．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17解析：直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．答案：原式＝2﹣1+3﹣4×1＝2﹣1+3﹣4＝0．18解析：先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．答案：（+1）÷＝• ＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．19解析：（1）由折叠性质得到，∠AFE＝∠B＝90°，由点B恰好落在对角线AC的中点F上可得AF＝CF，根据邻补角的定义得到∠CFE＝90°，即可根据SAS判定△AEF≌△CEF；（2）由（1）得∠EAF＝∠ECF，由折叠性质得到∠BAE＝∠EAF，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAE＝30°，再解直角三角形求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF，∵∠AFE+∠CFE＝180°，∴∠CFE＝180°﹣∠AFE＝90°，在△AEF和△CEF中，，∴△AEF≌△CEF（SAS）．（2）解：由（1）知，△AEF≌△CEF，∴∠EAF＝∠ECF，由折叠性质得，∠BAE＝∠EAF，∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∴3∠BAE＝90°，∴∠BAE＝30°，在Rt△ABE中，AB＝，∠B＝90°，∴AE＝＝＝2．20解析：（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，再由概率公式求解即可．答案：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝；（2）画树状图如图：共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．21解析：由题意可得在Rt△ABE中和Rt△CDE中，AB＝120米，∠ABE＝60°，∠DCE＝30°，CE＝BE+CB，根据解直角三角形的应用，在Rt△ABE中，可计算出BE和AE的长度，在Rt△CDE中，可计算出AD的长度，由AD＝AE﹣DE计算即可得出答案．答案：由题意可得，在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD的高度约为52米．22解析：（1）根据抽取50个同学的作品以及频数分布直方图可得m的值；（2）根据众数的定义可得n的值；（3）求出样本中95＜x≤100的人数所占整体的百分比乘以该校学生总数即可．答案：（1）m＝50﹣4﹣10﹣24＝12，故答案为：12；（2）90＜x≤100这一组成绩如下：n939298959596919496，其中95，96都出现了2次， ∵该组数据的众数是95，∴n＝95，故答案为：95；（3）抽取50个同学的作品成绩95＜x≤100的人数为3，∴1200×＝72（人），答：估计本次活动获一等奖的同学有72人．23解析：（1）由点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，得a＝2，即A（2，2），设直线OA解析式为y＝mx，即得m＝1，故直线OA解析式为y＝x；（2）由AC＝2BC得B（﹣1，2），把B（﹣1，2）代入反比例函数y＝，即得解析式为y＝；（3）设D（t，），而A（2，2），故AD中点E（，+1），即有＝0，解得t＝﹣2，可得D（﹣2，1），E（0，），从而可得S△DOE＝，S△AOE＝，即得△OAD面积S＝3．答案：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，解得a＝2，∴A（2，2），设直线OA解析式为y＝mx，则2＝2m，解得m＝1，∴直线OA解析式为y＝x；（2）由（1）知：A（2，2），∵AB∥x轴，且交y轴于点C，∴AC＝2，∵AC＝2BC，∴BC＝1，∴B（﹣1，2），把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，∴k＝﹣2，∴反比例函数y＝的解析式为y＝； （3）设D（t，），而A（2，2），∴AD中点E（，+1），而E在y轴上，∴＝0，解得t＝﹣2，∴D（﹣2，1），E（0，），∴S△DOE＝OE•|xD|＝××2＝，S△AOE＝OE•|xA|＝××2＝，∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．24解析：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克x元，线下批发湘莲的单价为每千克y元，由题意：线上零售40kg、线下批发80kg湘莲共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg湘莲销售额相同．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）①由总销售额＝线上零售额和线下批发额，即可求解；②由①得：10x+60000≥70000，解不等式即可．答案：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克x元，线下批发湘莲的单价为每千克y元，由题意得：，解得：，答：线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元；（2）①由题意得：y＝40x+30（2000﹣x）＝10x+60000，即y与x的函数关系式为：y＝10x+60000；②设线上零售量应达到x千克，由①得：10x+60000≥70000，解得：x≥1000，答：线上零售量至少应达到1000千克．25解析：（1）由y＝x﹣可求出A（3，0），B（0，﹣），代入二次函数y＝x2+bx+c即得二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣； （2）由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而C与B关于直线x＝1对称，可得C（2，﹣），①当BC、PQ为对角线时，，可得，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB＝PC，即得此时Q（1，﹣）；②BP、CQ为对角线时，同理可得Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，同理可得Q（3，0）．答案：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣），∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）存在，理由如下：由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），∵C与B关于直线x＝1对称，∴C（2，﹣），①当BC、PQ为对角线时，如图： 此时BC的中点即是PQ的中点，即，解得，∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，∴PB＝PC，∴四边形BQCP是菱形，∴此时Q（1，﹣）；②BP、CQ为对角线时，如图：同理BP、CQ中点重合，可得，解得，∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四边形BCPQ是菱形， ∴此时Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，如图：BQ、CP中点重合，可得，解得，∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四边形BCQP是菱形，∴此时Q（3，0）；综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．26解析：（1）根据黄金分割的定义直接求出AC的长度即可；（2）设⊙O的半径为r，则PQ＝AP＝r，MQ＝2r﹣r﹣r＝r，OQ＝r﹣＝r，得出＝，即可得证点Q是线段OM的黄金分割点；（3）作PH⊥AE于H，由正五边形可知，AE＝DE，∠PEA＝72°，cos72°＝＝×＝．答案：（1）根据黄金分割点的意义，得＝，∵AB＝100，∴AC＝50﹣50；（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下： 设⊙O的半径为r，则OP＝r，∴PQ＝AP＝＝r，∴OQ＝QP﹣OP＝r﹣r＝r，MQ＝OM﹣OQ＝r﹣r＝r，∴＝＝＝＝，即Q是线段OM的黄金分割点；（3）如图③，作PH⊥AE于H，由题可知，AH＝HE，∵正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠PEH＝180°﹣108°＝72°，即cos∠PEH＝cos72°＝，∵点E是线段PD的黄金分割点，∴＝，又∵DE＝AE，HE＝AH＝AE，∴cos72°＝＝＝×＝×＝．