2021年湖北省荆州市中考数学真题及答案

2021年湖北省荆州市中考数学真题及答案一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)1．在实数﹣1，0，，中，无理数是（　　）A．﹣1B．0C．D．2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（　　）A．B．C．D．3．若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（　　）A．aB．a2C．a3D．a44．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（　　）如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）④∴a⊥c（垂直的定义）A．①B．②C．③D．④ 5．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　）A．B．C．D．6．已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（　　）A．t＝2B．△AOB是等腰直角三角形C．k＝1D．当x＞1时，y2＞y17．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（　　）A．15°B．22.5°C．30°D．45°8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（　　） A．AD＝CDB．∠ABP＝∠CBPC．∠BPC＝115°D．∠PBC＝∠A9．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（　　）A．B．C．2πD．10．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＜且k≠0B．kC．k且k≠0D．k≥二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11．已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝　　．12．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是　　．13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝　　．14．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为　　cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）15．若关于x的方程+＝3的解是正数，则m的取值范围为　　．16．如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为　　．三、解答题(本大题共有8个小题，共72分)17．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝2．18．（8分）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．19．（8分）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上． 20．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为　　；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中a的值为　　，圆心角β的度数为　　；（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．21．（8分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：　　；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　　；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是　　．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围． 22．（10分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．①求证：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．24．（12分）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式． 2021年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分)1．在实数﹣1，0，，中，无理数是（　　）A．﹣1B．0C．D．【分析】根据有理数（包括整数和分数）和无理数（无限不循环的小数）的定义判断即可．【解答】解：选项A、B：∵﹣1、0是整数，∴﹣1、0是有理数，∴选项A、B不符合题意；选项C：∵是分数，∴是有理数，∴选项C不符合题意；选项D：∵是无限不循环的小数，∴是无理数，∴选项D符合题意．故选：D．2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（　　）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上边看，是一个矩形，矩形的内部有一个与矩形两边相切的圆．故选：A．3．若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（　　）A．aB．a2C．a3D．a4【分析】直接利用单项式乘单项式以及合并同类项法则计算得出答案．【解答】解：∵等式2a2•a+□＝3a3成立，∴2a3+□＝3a3，∴□填写单项式可以是：3a3﹣2a3＝a3． 故选：C．4．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（　　）如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．证明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定义）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）④∴a⊥c（垂直的定义）A．①B．②C．③D．④【分析】根据垂直的定义得到∠1＝90°，再根据两直线平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．【解答】证明：①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定义），②又∵b∥c（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换），∴a⊥c（垂直的定义），①～④步中数学依据错误的是②，故选：B．5．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　）A．B． C．D．【分析】由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．【解答】解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，∴点P在第一象限，∴，解得：﹣1＜a＜1，在数轴上表示为：，故选：C．6．已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（　　）A．t＝2B．△AOB是等腰直角三角形C．k＝1D．当x＞1时，y2＞y1【分析】利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小．【解答】解：∵点P（1，t）在双曲线y2＝上，∴t＝＝2，正确；∴A选项不符合题意；∴P（1，2）．∵P（1，2）在直线y1＝kx+1上， ∴2＝k+1．∴k＝1，正确；∴C选项不符合题意；∴直线AB的解析式为y＝x+1令x＝0，则y＝1，∴B（0，1）．∴OB＝1．令y＝0，则x＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴OA＝1．∴OA＝OB．∴△OAB为等腰直角三角形，正确；∴B选项不符合题意；由图像可知，当x＞1时，y1＞y2．∴D选项不正确，符合题意．故选：D．7．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（　　）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【分析】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC＝30°，进而求出∠BOD＝60°最后再由圆周角定理得出答案．【解答】解：如图，连接OB，∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC， ∴OA＝2，OD＝4＝OB，∴∠OBA＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BED＝∠BOD＝×60°＝30°，故选：C．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（　　）A．AD＝CDB．∠ABP＝∠CBPC．∠BPC＝115°D．∠PBC＝∠A【分析】利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，故选项A正确，∴∠A＝∠ACD＝40°，由作图可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C正确， 若∠PBC＝∠A，则∠A＝36°，显然不符合题意．故选：D．9．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（　　）A．B．C．2πD．【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠PAB＝∠PAC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE＝BC＝1，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，∴AP＝﹣1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，故选：A． 10．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＜且k≠0B．kC．k且k≠0D．k≥【分析】先根据新定理得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因为方程有两个实数解，所以k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．故选：C．二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11．已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝　2　．【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．【解答】解：∵a＝（）﹣1+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，∴＝＝＝2，故答案为：2．12．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是　　．【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：由题意得，共有2×4＝8种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种， 故一次打开锁的概率为＝，故答案为：．13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝　　．【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出OD，证明△AOD∽△AEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4，∴AD＝DC＝4，∵DF∥OC，DF＝，∴OC＝2DF＝5，在Rt△COD中，OD＝＝3，∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵OD⊥AD，∴∠ADO＝∠ABE，∵∠OAD＝∠EAB，∴△AOD∽△AEB，∴＝，即＝，解得：BE＝，故答案为：．14．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为　6.3　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73） 【分析】通过作垂线构造直角三角形，在在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），∠ABM＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），即点C到AE的距离约为6.3cm，故答案为：6.3．15．若关于x的方程+＝3的解是正数，则m的取值范围为　m＞﹣7且m≠﹣3　．【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．【解答】解：原方程左右两边同时乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣1）＝3（x﹣2）， 解得：x＝，∵原方程的解为正数且x≠2，∴，解得：m＞﹣7且m≠﹣3，故答案为：m＞﹣7且m≠﹣3．16．如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为　S1＝4S4　．【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，即可得出S1＝4S4．【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．三、解答题(本大题共有8个小题，共72分)17．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝2．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：÷（1+）＝÷＝＝，当a＝2时，原式＝＝．18．（8分）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．【分析】解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a＝﹣2代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配方法解方程即可．【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，∴最小整数解为﹣2，将a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，配方，得（x﹣2）2＝5．直接开平方，得x﹣2＝±．解得x1＝2+，x2＝2﹣．19．（8分）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．【分析】（1）根据正方形，等腰直角三角形的定义画出图形即可． （2）画出边长为的正方形即可．【解答】解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求．（2）如图，正方形BKFG即为所求．20．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为　60　；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中a的值为　20　，圆心角β的度数为　144°　；（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；（4）先算出低于24小时的学生的百分比，在估算出全校低于24小时的学生的人数．【解答】解：（1）本次抽样的人数为（人），∴样本容量为60， 故答案为60；（2）C组的人数为40%×60＝24（人），统计图如下：（3）A组所占的百分比为，∴a的值为20，β＝40%×360°＝144°，故答案为20，144°；（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，∴全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×50%＝1000（名），建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时．21．（8分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：　函数关于y轴对称　；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　x＝﹣2或x＝0或x＝2　；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是　﹣1＜a＜0　．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．故答案为函数关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4．22．（10分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ （2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，根据题意列方程组求解即可；（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可．【解答】解：（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，则根据题意得：，解得：，答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，∵百合不少于2支，∴11﹣x≥2，解得：x≤9，∵﹣1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝9时，w最小，即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．①求证：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．【分析】（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG与△GAH的两组对应角相等，从而证明△CDG ∽△GAH；②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC＝，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tan∠GHC即∠GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG与△GAH的一组对应边的比，由此可求出tan∠GHC的值；（2）△GCF与△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC＝可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断△GCF与△AEF不全等．【解答】（1）如图1，①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠GAH＝90°，∴∠DCG+∠DGC＝90°，∵∠FGC＝90°，∴∠AGH+∠DGC＝90°，∴∠DCG＝∠AGH，∴△CDG∽△GAH．②由翻折得∠EGF＝∠EAF，∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，∵CD＝AB＝2，AD＝4，∴＝tan∠DAC＝＝，∴DG＝CD＝×2＝1，∴GA＝4﹣1＝3，∵△CDG∽△GAH，∴，∴tan∠GHC＝＝．（2）不全等，理由如下：∵AD＝4，CD＝2，∴AC＝＝，∵∠GCF＝90°， ∴＝tan∠DAC＝，∴CG＝AC＝×2＝，∴AG＝＝5，∴EA＝AG＝，∴EF＝EA•tan∠DAC＝＝，∴AF＝＝，∴CF＝2＝，∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，∴△GCF与△AEF不全等．24．（12分）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式． 【分析】（1）证明△OAC≌△OBE（SAS），则∠OBE＝∠OAC＝45°，进而求解；（2）∠EBH＝45°，则BH＝EH＝BE＝t，即可求解；（3）由△POA的面积＝×AO×yP＝×1×yP＝＝，求出yP＝1＝c﹣，而抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0，进而求解．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，1），则∠OBA＝∠OAB＝45°，∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOE＝90°，∴∠AOC＝∠BOE，∵AO＝BO，OC＝OE，∴△OAC≌△OBE（SAS），∴∠OBE＝∠OAC＝45°，AC＝BE＝t，∴∠EBA＝∠EBO+∠OBA＝∠OAC+∠OBA＝45°+45°＝90°，∴BE⊥AB；（2）过点E作EH⊥OB于点H，∵∠EBH＝45°，∴BH＝EH＝BE＝t， 故点E的坐标为（﹣t，1﹣t）；（3）如上图，过点C作CN⊥OA于点N，当t＝时，即AC＝t＝，则CN＝AN＝t＝，则ON＝OA﹣NA＝1﹣＝CN，故tan∠AOC＝＝1＝k，∵△POA的面积＝×AO×yP＝×1×yP＝＝，解得yP＝1＝c﹣①，∵抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0②，而6a+3b+2c＝0③，联立①②③并解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3．