2023高考数学新教材数列十大微专题8-数列中的高斯取整函数研究（Word版附解析）

数列中的高斯取整函数研究一．基本性质.1.高斯取整函数：表示实数的整数部分，即是不大于实数的最大整数.，常称为的“小数部分”或“尾数部分”.2.高斯函数图像及小数部分图像.取整函数的图象.小数函数：的图象性质：①定义域：；性质：①定义域：；②值域：；②值域：；③图象：台阶型线段.③周期性：.3.函数性质：显然三者之间的关系：且（1）高斯函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有（2），（3）（4）若，则，，其中（5），有（6） （7）若整数满足（，，是整数且），则（8）是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个.注：上述结论中，第（7）条结论非常重要，它刻画了高斯取整函数与带余除法的基本练习，因此，我们就可通过带余除法和同余的基本关系，通过分组求和去掉从而计算出结果，这是强基和联赛一试中一类常见问题.4.补充知识.同余的概念与性质.（1）设，若、的差被整除，即.我们就说、关于模同余（同余于模），或简称同余，记作：.否则，称关于模不同余，记作：.（2）同余的性质：（1）自反性：；（2）对称性：若，则；（3）传递性：若且，则；（4）若，，则；（5）若，，则.特别地，若，则二．高考试题中的应用.例1.(2010陕西高考)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数(表示不大于的最大整数)可以表示为() A.B.C.D.例2.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（1）求；（2）求数列的前1000项和．解：（1）设的公差为，据已知有，解得．所以数列的通项公式为．，，．（2）因为所以数列的前项和为．例3．已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则（    ）A．1B．2C．3D．4解析：因为，所以，即，所以，由，可得，，，，则数列是递增数列，，则，则.故选：B.例4．函数称为高斯函数，表示不超过，x的最大整数，如，. 已知数列满足，且，若，则数列的2022项和为___________.解析：，，当时，时，；当时，时，；当时，时，；当时，时，；所以故答案为：4959例5．在①；②公差为，且成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，______.(1)求数列的通项公式；(2)令，其中表示不超过的最大整数，求的值.解析：（1）依题意，数列是公差不为零的等差数列，设其首项为，公差为.若选①，则，解得，所以.若选②，则，解得，所以.若选③，则，所以.（2）若选①，，则当时，有：，所以.若选②，，则当时，有： ，所以.若选③，,则当时，有：，所以.例6．为等差数列的前项和，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，.(1)求，，；(2)求数列的前项和.解析：(1)由题意得可得：，所以，所以，所以，所以，，.(2)由（1）知：，时，，当时，，，当时，，，当时，，，所以