2023高考数学新教材数列十大微专题7-数列中的二进制（Word版附解析）

数列中的进制问题一．重要结论1.定义：设整数，则每个正整数可唯一表示为，其中满足，，则称为正整数的进制表示中的数码.特别地，当时就可得到正整数的二进制表示.2.二进制的运算性质.（1）若，则称为正整数的进制表示中的数码和，显然.证明：由于，则，显然可得.（公众号：凌晨讲数学）（2）二进制的加法运算：“逢二进一”.待会通过例题予以分析.（3），其中正整数的二进制展开式中最高次数小于.证明：由于，则，另一方面，令，则.例如：写出的二进制表示.解析：由于，故.注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以为底的幂级数展开的系数.二．典例分析.例1.（2021新高考2卷）设正整数，其中，记，则（）A.B. C.D.解析：由上述性质（1），A正确.（公众号：凌晨讲数学）由于，则，故，则B错误.同理可证，C正确.最后，由于，故，D正确.下来再给出两道高考中的二进制问题，毫无疑问它们都是选填压轴题，特别是12年湖南卷这道题目，第二个空也很有趣.例2．（2008陕西卷）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011解析：选C.例3．设正整数，其中，记，则以下命题正确的个数是（    ）①；②；③；④.A．4B．3C．2D．1解析：对于①，，，所以，，①正确；对于②，取，，，而，则，即，②错误；对于③，， 所以，，，所以，，因此，，③正确；对于④，，故，④正确.故选：B例4．设正整数，其中，记，则（    ）A．B．C．D．解析：对于A选项，由题，则，所以，因此A选项正确；对于B选项，取，则，即，而，即，所以，因此B选项错误；对于C选项，，故，因此C选项正确；对于D选项，，所以，，所以，故，因此D选项错误.故选：AC下面看一道其他进制的问题，其实质与二进制相同，逢进一.例5．设正整数，其中，记，当时，___________ （用含的代数式表示）.解析：，又，所以，同理，，所以，，所以，，所以.，所以，又，所以.故答案为：三．习题演练习题1．设正整数，其中，记，则（    ）A．B．C．D．解析：对于选项A，，，选项A正确；对于选项B，，，所以，选项B正确；对于选项C，取，，所以，而，则，即，选项C错误；对于选项D，，所以，所以，因此 ．选项D正确.故选：ABD习题2．设正整数，其中，记.例如，那么.则下列说法正确的有_______.①；②；③；④.解析：由，那么，①正确；由则所以，②正确；由所以，故，③不正确；由所以，故，④正确．故答案为：①②④