2023高考数学新教材数列十大微专题6-数列中的不定方程（Word版附解析）

数列中的不定方程问题数列中的子列存在性问题常常转化成一个不定方程问题来求解，此时把握住不定方程中数的离散性特征，通常配合一定的方法即可有效解决，本文梳理了几类常见的求解方法，供大家参考.1.因式分解法通过对所求不定方程进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，利用整数的离散性，进而解出变量.例1.设是各项均不为零的项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：求证：对于给定的正整数,存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.证明：假设对于某个正整数，存在一个公差为的项等差数列，其中为成等比数列的三项，则，即，化简得.①由知，与同时为或同时不为；当与同时为时，有，与题设矛盾.故与同时不为，所以由①得因为，且为整数，于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列.例2已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的前项和；（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由.解析（1），过程略. （1）假设存在正整数，，使得成等比数列，则，即，所以，即，即.因为，所以，所以.因为是整数，所以等式不成立，故不存在正整数，使得成等比数列.例3．已知等差数列的公差，设的前项和为，，．（1）求及；（2）求，的值，使得．解：（1）由，得，，即，化为，解得或，又公差，则，所以．（2）由（1）得，，由得，，即，又，，则，或，下面分类求解：当时，，解得，；当时，，解得，，故舍去；当时，，解得，故舍去；当时，，解得，，故舍去；综上得，，．2.不等式分析法很多存在性问题，其中的项数均有范围，此时将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值.例4．已知等差数列的前n项和为． （1）求的通项公式；（2）数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2），，，若，则，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在满足题意．例5．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，．（1）求数列、的通项公式及其前项和；（2）在数列中，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）：时，，解得．时，，，解得或．时，，舍去．．，由，（2）由（1）知，，，，若，，依次成等比数列， 则，整理可得，，解得，又，且，所以，此时．故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．例6．已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且．（1）求数列，的通项公式；（2）数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由．解析：（1），．（2）由（1）知是以3为首项，以3为公比的等比数列，．假设数列中存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列，．即．．即．，，，互不相同，不妨设，则，，与矛盾，数列中不存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列．存在或，使得，，成等差数列．3.奇偶分析法奇偶分析对于某些不定方程，可从不定方程等式两边的符号和奇偶性角度分析，寻求矛盾来否定存在性，或构造等量关系来肯定存在性.例7.已知数列的前项和为，满足，数列满足，且.（1）求数列和的通项公式；（2）是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的 ；若不存在，请说明理由.解析：（1）（2）假设存在正整数，使成等差数列，则，即.若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立.若为奇数，设，则，于是，即.当时，，此时与矛盾；当时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.综上所述，满足条件的正整数不存在.例8．在数列中，，．（1）设，求数列的通项公式；（2）中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，说明理由．解析：（1），又，所以，数列是首项为2、公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得．假设中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列，不妨设，则，于是，所以．因，，，且，所以是奇数，是偶数，不可能成立，所以不存在不同的三项，，成等差数列．4.函数值域法可将所求不定方程转化为一个是自变量，一个是因变量的函数形式，利用函数求值域的方法找到可能的结果.例9.设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 解析：（1）设的公比为，则有，解得，或（舍．则，，．即数列和的通项公式为，．（2），令，所以，如果是数列中的项，设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以，，1，．当或时，，不合题意；当或时，，符合题意．所以，当或时，即或时，是数列中的项.