2023高考数学新教材数列十大微专题2-数列求和的七大视角（Word版附解析）

数列求和的七大视角一．倒序相加法倒序相加法是计算等差数列前项和的重要方法，数学王子高斯利用它很快的计算出来了1到100相加之和.实质上，倒序将加法的核心点即在于“等距配对，其和相等”，倘若能够把握住这个点，我们会发现该方法不仅适合等差数列求和公式推导，还可以与中心对称的函数完美搭配，命制出一些综合性较强的函数与数列综合问题，其往往以压轴题出现，颇具挑战性！1.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.（公众号：凌晨讲数学）用代数式表示：(1).；(2).一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.注：由中心对称的定义可知，距离对称点距离相等的点与，它们的函数值之和是相等的，这就符合“等距配对，其和相等”的特点！2.常见的一些中心对称函数.此处近列举奇函数的情形，因为中心对称的函数皆可由奇函数平移产生.同时，对于一些较常见的奇函数：正弦函数等不再单独列举.假设且.①.为奇函数②.为奇函数③.可转化为②或③④.都是奇函数.注意：个人觉得，要想把倒序相加法这类题目做好，上面这些函数一定要非常面熟才行，否则，往往不知道真实的命题意图.只有熟悉上述函数的对称性，才可通过平移找到对称中心. 例1．若，满足，则A．2022B．2023C．4044D．4046解析：由于，故．另一方面，由于，则．令，则，两式相加得，．故选:A其实下面这道高考压轴试题本质上也是倒序相加法的体现，两个函数图像均关于同一个点中心对称.（公众号：凌晨讲数学）例2.（2016年全国卷理科）已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则A.B.C.D.解析：选B.例3．设，设，．（1）计算的值．（2）求数列的通项公式．（3）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．解析：（1）.（2）由题知，当时，，又，两式相加得， 所以.又不符合，所以.（3）由（2）知，，因为，所以，，由，得，，当时，，，，，由，得，因为对勾函数在上单调递增，又，所以，，所以，综上，由，得.小结：若函数的对称中心是.，..2．公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.例4.(2018年全国2卷)记为等差数列的前n项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值.解析：（1）设的公差为，由题意得，由，得，所以的通项公式为.（2）代入等差数列求和公式，得，所以当时，取到最小值，且最小值为. 例5.（2020新高考2卷）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.解析：（1）设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得：，，数列的通项公式为：.（2）由于：，故：.类型3．裂项相消求和1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则：.2.有理化后求和：.3.指对式裂相求和：，一般地，指数型：对数型：三类应用：①裂相求和；②证明不等式；③求范围.例6.(2015年全国2卷)为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解析：（1）与已知作差得：，，当时，，.（2），.例7（2018年天津）．设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（1）求和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.解析：（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以. 类型4：错位相减法型如的数列求和，其基本解题步骤如下：Step1：由题可得：Step2：故①，②Step3：由①－②得：Step4：化简：.例8.(2020年新课标全国卷I17)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和.解析：（1）设公比为，得即，得（舍去），.（2）设为的前n项和，由（1）及题设可得，，所以①，②，用①-②可得：故.类型5.分组求和适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.例如：型，可分别单独求出的前项和再求和.或者分段型，具体见下面的2021新高考1卷. 例9.（2021新高考1卷）.已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.解析：（1）由题设可得又，，故即即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，进一步分组可得：因为，所以.除上例之外，分组求和还适用于出现摆动数列型中，具体解法见下例.例10.（2014年湖南文科）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解析：（1）当时，；当时，，故数列的通向公式为：.（2）由（1）知，，记数列的前项和为，则,进一步，若记，，分别求和可得： ，，故数列的前项和为.注：此处是一个分段形式：，分组求和是处理分段形式的数列求和的一把利器！类型6.并项求和在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系（相邻两项等），将其看成一个小组来计算，例如型，分奇偶后相邻两项之差就是一个公差，即常数列求和.再例如下面例9中，我们将相邻两项合并，就可以得到一个相邻两项和成等比的结构来处理.例11．已知数列的前n项和公式为．（1）求证：数列是等比数列；（2）令，求数列的前n项和.解析：（1）数列的前n项和，，则当时，，即，当时，，解得，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，，，当n为偶数时，，于是得，当n为奇数时，，所以.例12．已知数列满足：，，（）． （1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．解析：（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．（2）由（1）知，，当时，，当n=1时，满足上式．例13．已知数列的前项和为，，，，则（  ）A．B．C．D．解析：因为，所以，又，所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，则数列也是等比数列，公比为，首项为3．所以．故选：A．类型7.定积分方法定积分的定义：一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：.2.定积分的几何意义：当时，由前述可知，定积分 在几何上表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积.例14（2014陕西）设函数，其中是的导函数.（1），求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.解：由题设得，（2）的取值范围是（3）是由曲线及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和.所以，结论得证. 习题（2020全国1卷）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．解析：（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设前项和为，，，①，②①②得，，.