江苏省连云港市2023届高三上学期期中调研考试数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年第一学期期中调研考试高三数学试题注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3，请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤1}，则A∪B＝A．{x|x＞0}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．R2．已知复数z满足(z－2)i＝1＋i，则复数z的模为A．2B．5C．10D．233．设x，y∈R，则“xy＋1≠x＋y”的充要条件是A．x，y不都为1B．x，y都不为1C．x，y都不为0D．x，y中至多有一个是14．已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是A．1B．2C．3D．4高三数学第1页共13页 5．已知|a|＝1，|b|＝3，a＋b＝(3，1)，则a＋b与a－b的夹角为A．60°B．120°C．45°D．135°πkπtan(α－β)6．已知sin(2α－β)＝－3sinβ，且α－β≠＋kπ，α≠，其中k∈Z，则＝22tanαA．1B．2C．3D．47．当把一个任意正实数N表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)的时候，就可以得出正实数N的位数是n＋1，如：235＝2.35×102，则235是一个3位数．利用上述方法，判断1850的位数是(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A．61B．62C．63D．64高三数学第2页共13页 118．已知a＝sin，b＝，c＝ln1.1，则1111A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。139．已知复数z＝＋i，则22――A．z2＋z＝0B．zz＝1C．z2＋z＋1＝0D．z3＋1＝010．已知α和β都是锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(sinβ，cosβ)，c＝(1，0)，则A．存在α和β，使得a⊥bB．存在α和β，使得a∥bC．对于任意的α和β，都有|a－b|＜2D．对于任意的α和β，都有a·b＜a·c＋b·c高三数学第3页共13页 因为α和β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，则sin(α＋β)≠0，13211．已知曲线f(x)＝x＋x－ax在点P(x1，f(x1))处的切线为l1，则34A．当a＝0时，f(x)的极大值为3B．若x1＝1，l1的斜率为2，则a＝1C．若f(x)在R上单调递增，则a≥－1D．若存在过点P的直线l2与曲线f(x)相切于点Q(x2，f(x2))，则x1＋2x2＝3f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，则4＋4a≤0，解得a≤1，故选项C错误；高三数学第4页共13页 12．已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x)是偶函数，f(2x－1)＋1是奇函数，则A．f(0)＝－1B．f(1)＝－1C．4是函数f(x)的一个周期D．函数f(x)的图象关于直线x＝9对称x＝1不是函数f(x)的对称轴，则直线x＝9也不是函数f(x)的对称轴，D错误，答案选BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1b13．已知a＞0，b＞0，且a＋＝1，则的最小值是．ba高三数学第5页共13页 ππ14．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，且关于x的方程f(x)＝a(a∈R)在区间[0，]上有两个不同的62解，则a的取值范围是．15．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn，对于n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝．16．10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A，B两地同时观测到一颗卫星S，仰角分别为∠SAM和∠SBM(MA，MB表示当地的水平线，即为地球表面的切线)，设π地球半径为R，弧AB的长度为R，∠SAM＝30°，∠SBM＝45°，则卫星S到地面的高度3为．高三数学第6页共13页 【解析】高三数学第7页共13页 四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(10分)在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．问：是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用?未感冒感冒使用血清13070未使用血清11090n(ad－bc)2附：K2＝．P(K2≥k)0.100.0100.001(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)k2.7066.63510.828【解析】2×2列联表为：未感冒感冒总计使用血清13070200未使用血清11090200总计240160400n(ad－bc)2400(130×90－70×110)2K2＝＝≈4.167＞2.706，(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)200×200×240×160所以有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用．18．(12分)在△ABC中，AB＝4，AC＝3．1(1)若cosC＝－，求△ABC的面积；4(2)若A＝2B，求BC的长．【解析】高三数学第8页共13页 19．(12分)b已知数列{an}和{bn}满足a1a2…an＝(2)n，{an}为等比数列，且a2＝4，b4－b3＝8．(1)求an与bn；ab(2)设cnnn＝，求数列{cn}的前n项和Sn．n【解析】高三数学第9页共13页 20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC∥AD，AD＝2，PA＝BC＝1．(1)证明：平面PAC⊥平面PCD；(2)若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离．【解析】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，高三数学第10页共13页 →设平面ABM的一个法向量为n＝(x，y，z)，21．(12分)x2y233已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P(－3，)，Q(1，)．a2b222(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，k＋k13QB的斜率分别为k1，k2，k3，若k2≠0，证明：为定值．k2【解析】33(1)因为椭圆C经过点P(－3，)，Q(1，)，22高三数学第11页共13页 (2)设直线AB的方程为x＝my＋1，m≠0，22．(12分)1已知函数f(x)＝alnx＋，其中a∈R．x(1)若函数f(x)的最小值为a2，求a的值；高三数学第12页共13页 (2)若存在0＜x1＜x2，且x1＋x2＝2，使得f(x1)＝f(x2)，求a的取值范围．【解析】所以f(x)无最小值，故舍去；高三数学第13页共13页