浙江省台州山海协作体2022-2023学年高二数学上学期期中联考试题（Word版含解析）

绝密★考试结束前2022学年第一学期台州山海协作体期中联考高二年级数学学科试题命题：黄岩第二高级中学天台平桥中学考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在直角坐标系中，直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．圆的圆心坐标和半径分别是（）A．，3B．，3C．，D．，3．从0，1，2，3，4这5个数字中，任取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的数是奇数的概率为（）A．B．C．D．4．已知实数m，则“”是“曲线表示椭圆”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在正方体中，P为的中点，则直线PC与所成的角余弦值为（）A．B．C．D．6．已知，，圆C：，若圆C上存在点M，使，则圆C的半径R的取值范围是（）A．B．C．D． 7．已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的最大值为（）A．B．C．1D．8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于第一象限内的点，F为右焦点．延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知直线l经过点和，则下列说法正确的是（）A．直线l在两坐标轴上的截距相等B．直线l的斜率为1C．原点到直线l的距离为D．直线l的一个方向向量为10．设A，B为两个随机事件，若，下列命题中，正确的是（）A．若A，B为互斥事件，B．C．若，则A，B为相互独立事件D．若A，B为相互独立事件，则11．设椭圆的右焦点为F，直线l：与椭圆交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A．为定值B．△ABF的周长的取值范围是C．当时，△ABF为直角三角形 D．当时，则椭圆上到直线l的距离等于的点有三个12．如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（）A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为C．三棱锥的体积最大值为D．若点M在上运动，则到直线PM的距离的最小值为非选择题部分三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．设空间向量，，若，则________．14．已知点，圆C：，若过点M的直线l与圆C相切，则直线l的方程为________．15．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，且，N是CM的三等分点（靠近M点），则BN的长为________．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，N为 圆E：上任意一点，则的取值范围为________．四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知直线：与：相交于点P．（1）若直线l过点P并且与直线：垂直，求直线l方程；（2）若直线l过点P并且与直线：平行，求直线l方程．18．如图，在边长为2的正方体中，E为的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．19．甲、乙两人组成“星队”参加猜谜游戏，每轮活动由甲乙各猜一次，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲乙猜对与否互不影响，每轮结果也互不影响．（1）求“星队”第一轮活动中只有1人猜对的概率；（2）求“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次的概率．20．已知直线l：与圆C：交于A、B两点．（1）若时，求弦AB的长度；（2）设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q．试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由．21．如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，若，，． （1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．22．已知椭圆C：离心率为，焦距为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，且，求△OAB面积的取值范围．2022学年第一学期台州山海协作体高一期中联考高二年级数学学科参考答案选择题部分一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12345678BDBADACB二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9101112BCDACABDABC非选择题部分三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．514．或15．16．四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．解方程组得（1）因为，直线l与垂直，所以，l的方程为（2）因为，直线l与平行，所以，l的方程为18．【详解】（1）方法一：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，∴且，所以，四边形为平行四边形，则，∵平面，平面，∴平面；（2）以点A为坐标原点，AD、AB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，求得平面平面的法向量，又∵，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为．19．设甲猜对为事件A，乙猜对为事件B，（1）事件，则∴（2）20．【解析】（I）点C到直线的距离∴（2）设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，与圆C的方程C：联立，消去二次项得：，即为直线l的方程，因为直线l：过定点， 所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上．21．【解析】（I）在梯形中，过点B作于M，过点作于N设，则，由得，解得，∴，即∵，∴平面（2）由底面ABCD是正方形，则，由（1）知：面面ABCD，面面，而面ABCD，所以面，过D作于G，连接AG，则面ADG，故面面，面面，面，所以面ADG，又面ADG，则，因此∠AGD为二面角的一个平面角，在直角△ADG中，，，则，所以，即平面与平面夹角的余弦值，．方法二：建系写出相应坐标平面的法向量为，平面的法向量为，22．【答案】（1）∵，，∴ ∴，∴椭圆方程为：（2）由题意得，设直线方程为（，），，，消y得则，，∵，∴∴，∵，∴又∵∴且设原点到直线的距离为∴