浙江省衢温“5 1”联盟2022-2023学年高二数学上学期期中联考试卷（PDF版含答案）

绝密★考试结束前衢温“5+1”联盟2022学年第一学期高二年级期中联考数学试题命题：浙江省开化中学程有弟李承法张小臣审题：衢州三中陈旭考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=xx+20,B=xx(−2)(x+3)0，则AB=（▲）A.[2,2)−B.(3,2)−C.[2,−+)D.(3,2]−−3i−2.复数在复平面内对应的点所在的象限为（▲）12i+A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限22223.已知圆C1:(x−2)m+(y−2)m=9(m−2)与圆C2:x+y−8x−8y+34−m=0，则“m=4”是“圆C与圆C外切”的（▲）12A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，四面体OABC中，点E为OA中点，F为BE中点，G为CF中点，设OAa=，OBb=，OC=c，若OG可用abc，，表示为（▲）111111A.a++bcB.a++bc442842111111C.a++bcD.a++bc84488215.设a=log2,b=log3,c=,则（▲）782A.abcB.bacC.acbD.cba6.已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的表面积为（▲）816A．πB．πC．8πD．16π337.超市举行回馈顾客有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后可参加抽奖活动，抽奖原则是：从装有4个红球、6个黄球的甲箱和装有5个红球、5个黄球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，得奖金20元；若只有1个红球，则获二等奖，得奖金10元；若没有红球，则不获奖．现某顾客有3次摸奖机会，则该顾客3次摸奖共获得40元奖励的概率为（▲）933319A.B.C.D.50020500250高二数学学科试题第1页共4页 8.已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2MB+MD的最小值为（▲）1517A.B.15C.D.1722二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.2229.已知直线l:(12)+x+(1−)y−−33=0(R)，圆C:(x−2)+(y−1)=aa(0)，下列说法正确的是（▲）A.圆C的圆心为C(2,1)−−，半径ra=B.直线l与圆相交且平分圆C的面积与周长πC.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则=0D.若直线l的倾斜角为，则=122π10.关于函数fx()=2cosx−3cos2x+−1的描述正确的是（▲）22πA.函数fx()图象的一条对称轴为直线x=3ππB.函数fx()在,上单调递增62C.函数fx()在[0,π]上有2个零点πD.将fx()的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称611.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点,且ACaBCba=,=(0,b0),O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线，交半圆于D，连接ODADBD,,,过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则该图形可以完成的所有无字证明为（▲）ab+22A.abB.a+b2ab2222a++babC.abD.1122+ab12.如图，若正方体的梭长为2，点P是正方体ABCDABCD−的底面ABCD上的一个动点（含11111111边界），Q是棱CC的中点，则下列结论正确的是（▲）1A.若保持=PQC60，则点P在底面ABCD内运动路径的111113π长度为24B.三棱锥D−PBQ体积的最大值为1315C.若PQ⊥BD，则二面角B−−PQC的余弦值的最大值为1152D.若PQ⊥BD，则AB与PQ所成角的余弦值的最大值为3高二数学学科试题第2页共4页 非选择题部分三、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.13.已知平面上三点A(1,1),(5,4),(4,1)−−BC,则AB在AC上的投影向量的坐标为▲.14.如图长方体ABCDABCD−中，AA==5,AB12，上底11111面ABCD的中心O到平面ABCD的距离是▲.11111115.设fx()是定义在R上的奇函数,且f(2−=x)fx(),19若f−=2，则f=▲.2222xy16.已知FF、为椭圆+=1(ab0)的左、右焦点，1222ab点P为该椭圆上一点，且满足=FPF60，若△PFF的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，1212则该椭圆的离心率为▲.四、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步诹.17.（10分）在△ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,.已知2ca=+2cosbA.（1）求角B的值；13（2）若ca−=1，且cosC=，求△ABC的面积.1318.（12分）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村．民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康．为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表：收入千元[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18]频数151035201010（1）估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数和平均数；（2）用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在[6,8)和[8,10)的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在[8,10)千元的概率；11719.（12分）已知在梯形ABCD中，AD=BC，A(1,1)−−，B(3,1)，C(−,)，E为AD中点.55（1）求直线CD的方程；（2）求△ABE的外接圆的方程及该圆上一点到点C的距离的最小值.高二数学学科试题第3页共4页 2xx−+1220.（12分）函数fx()=,()gx=x+ax+3.x−1（1）当x[1,4]时，总有gx()a成立，求实数a的取值范围；（2）若a−3，对xx[2,+),[2,+)，使得fx()=gx()，求实数a的取值范围.121221.（12分）如图1，等腰梯形AECD是由三个全等的等边三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至3△BCP，使得PD=AB，如图2所示.2（1）求证：PD⊥BC;10（2）在直线PD上是否存在点M,使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？若存在，4PM求出的值；若不存在，说明理由.DM22xy122.（12分）已知椭圆C：22+=1(ab0)的离心率为，其左、右焦点为FF12、，过F2作不与xab2轴重合的直线l交椭圆C于MN、两点，△FMN的周长为8.1（1）求椭圆C的方程；（2）设线段MN的垂直平分线l1交x轴于点P，是否存在实数，使得MN=PF2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）以F1为圆心4为半径作圆，过F2作直线ll21//交圆F1于A、B两点，求四边形AMBN的面积的最小值及取得最小值时直线l的方程.高二数学学科试题第4页共4页 衢温“5+1”联盟2022学年第一学期高二年级期中联考数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678选项ADCBCBAD二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9101112BDACACDABD三、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分)30413．(4,0)−14．15．−216．135四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.解：（1）2ca=+2cosbA，2sinC=sinA+2sincosBA…………….2分ABC++=，2sin(AB+)sin=A+2sincosBA…………………………..3分12cossinBA=sinA，cosB=，=B…………………………………….5分2313239(2)cosCC=，sin=………………………………………………..6分1313339sinA=sin(BC+)=………………………………………………………….7分26ac由==,得4ac3……………………………………………………………8分sinACsin又ca−=1，所以解得ac==34，……………………………………………………...9分1S=acsinB=33…………………………………………………………10分ABC21012+18.解：（1）众数为=11；…………………………………………………2分2由于前三组的频率之和为0.150.100.350.60++=，前四组的频率之和为0.050.300.350.100.80+++=，第75百分位数在第4组中,t−−120.750.60设第75百分位数为，则有：=，解得：t=13.5,20.2即第75百分位数为13.5；………………………………………………………………4分平均数为70.1590.1110.35130.2150.1170.111.6+++++=；…………6分 （2）由分层抽样比例为100:205:1=，所以这在[6,8)和[8,10)的贫困户两组中所抽取的人数分别为3，2.………………………………………………………………8分记年收入在[6,8)的3名贫困户分别为ABC,,，年收入在[8,10)的名贫困户分别为ab,，则从中随机抽取2户的所有可能结果为：ABACBCAaAb,,,,，BaBbCaCbab,,,,共10种，其中抽到至少有一名在[8,10)的贫困户的可能结果：AaAb,，BaBbCaCbab,,,,，有7种，…………………………………………………………………………10分7故年收入在[8,10)的贫困户至少有人被抽到的概率：P=………………12分1019.解：（1）因为梯形ABCD，AD=BC，故AB//DC，1所以kk==，…………………………………………………………………………2分CDAB2117又直线CD过点C(−,)，551711所以直线CD的方程为：yx−=()+，即xy−2+=70…………………………4分525（2）设点Dmn(,)，则mn−2+=70①22又由AD=BC，得(mn+1)+(+1)=4②21m=−m=−15联立①②，解得或（舍,此时四边形ABCD为平行四边形）……7分n=37n=5即D(1,3)−，从而AD中点E(1,1)−，又B(3,1)，所以BE⊥AE，即ABE为直角三角形，1所以ABE的外接圆圆心为AB的中点F(1,0)，半径r==AB5，222所以ABE外接圆方程为(xy−1)+=5……………………………………………….10分12217由CF=(−−1)+(−0)=13，55得ABE的外接圆的方程及该圆上一点到点C的最小值为13−5…………………12分2−D−E+F=0D=−222（设ABE的外接圆方程为x+y+DxEyF++=0，则103+D+E+F=0E=0，2−D+E+F=0F=−422所以ABE的外接圆方程为x+y−2x−=40.求圆方程这部分给3分）220.解：（1）方法一：由gx()a得ax(−1)−(x+3)，……………………………….2分当x=1时，此时aR；…………………………………………………………………..3分 2x+34当14x时，ax−=−(−+1+2)，xx−−114414x，−x10，xx−+1+22(−1)+=26，xx−−114当且仅当x−=1时等号成立，即x=3时等号成立，x−1−a6……………………………………………………………………………………6分2方法二：gx()ax对[1,4]恒成立x+ax+−3a0对x[1,4]恒成立，2a设hx()=x+ax+−3ax,[1,4]，对称轴为x=−，……………………………………2分2a①当−1，即a−2时，只需hx()=h(1)40=，符合题意；min22aaa②当14−，即−−82a时，只需hx()=h(−)=−−+−a306a2，min224故−−62a；a19③当−4，即a−8时，只需hx()=h(4)193=+a−0a，min23又a−8，无解.………………………………………………………………………5分综上所述，a−6.…………………………………………………………………………6分（2）记A=yy=fxx(),2,+),B=yy=gxx(),2,+),由题意得AB…….8分1又fx()=(x−1)++13,当x=2时，等号成立，A=yy3……………………9分x−1a−3,gx()在2+，)上单调递增gx()g(2)72,=+a=Byy+72a……………………………………………..10分AB,72+a3,即a−2又aa−−−3,(3,2………………………………………………………………..12分21.证明：（1）在图1连接DE交BC于O点，则在图2中，∵△BCD、△BCP都是等边三角形，∴DO⊥⊥BCPO,BC,..2分∵DOPOO=,∴直线BC⊥平面POD,..4分∵直线PD平面POD，∴PD⊥BC………….………………………………………………………………………………………………………….5分（2）解法一假设存在点M，符合题意. 设AB=2,则PD=3，则在△POD中，由ODOP==3,PD=3,由余弦定理得=POD120，………………………………………………………………6分由（1）得直线BC⊥平面POD，又AD//BC,∴直线AD⊥平面POD,∵AD平面ADP，∴平面ADP⊥平面POD作OQ⊥PD,垂足为Q，则OQ⊥平面ADP,在△POD，由ODOP==3,DP=3,=POD1203所以OQ=………………………………7分211如图3，取AP中点N，连接BN，QN，由QN//AD，OB//AD得四边形BNQO为平=2=2行四边形，因为OQ⊥平面ADP,所以BN⊥平面ADP，3则直线BM与平面APD所成角为BMN，且BN==OQ…………………………………..9分21026由已知cos=，∴sin=1cos−=,443由BN=BMsinBMN=，得BM=222222222+−32在△BDM中，设DM=t，由余弦定理得(2)=2+tt−222232即tt−3+=20，解得t=1或t=2………………………………………………………..11分10所以存在点M,使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为，4PM1此时=2或………………………………………………………………………….12分DM2解法二（等体积法）：设AB=2,则PD=3,则在△POD中，由ODOP==3,PD=3,由余弦定理得=POD120，……………6分3作PH⊥DO,垂足为H,连接OH,得=POH60,∴PH==POsin60，2由（1）得直线BC⊥平面POD，又AD//BC,∴直线AD⊥平面POD,11∴AD⊥PD,所以ADP是直角三角形，所以ADP的面积为ADPD==233，22设点B到平面ADP的距离为h，111333由VV=得=23h4，得h=，…………………………….9分PABD−−BADP3234221026设直线BM与平面APD所成角为，则cos=，所以sin=1cos−=443所以h==BMsin，得BM=2,2 2222222+−32在△BDM中，设DM=t，由余弦定理得(2)=2+tt−222232即tt−3+=20，解得t=1或t=2…………………………………………………….11分10所以存在点M,使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为，4PM1此时=2或………………………………………………………………………12分DM23解法三（向量法）由解法一知PH=,如图3，以BC的中点O为原点，OBDBOZ,,分别为2xyz,,轴正方向，建立空间直角坐标系，33则BA(1,0,0),(2,−3,0),D(0,−3,0),所以P(0,,)，2233因此，AD=−(2,0,0),PD=(0,−3,−),……..7分22设平面ADP的法向量为n=(,,)xyz，则−=20xnAD=0由得333，nPD=0−yz−=022取法向量n=−(0,1,3)，…………………………………………………….……………..9分设存在存在点M,DM=DP(01),满足题意,333333则DM==(0,,)(0,,)，2222333所以BM=+BDDM=−(1,−3,),221026设直线BM与平面APD所成角为，则cos=，所以sin=1cos−=44BMn所以sin=cosBMn,=BMn3621==，解得==,，…………………………………………11分12292−+9443310所以存在点M,使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为，4PM1此时=2或…………………………………………………………………………12分DM222.【解析】（1）根据椭圆定义知FMN1周长为4a，c1=a=2依题意有a2，c=148a= 222从而b=a−c=3，22xy故椭圆C的方程为+=1………………………………………………………….3分43（2）设lxmy:1=+，Mxy(,),(,11Nxy22)，22xy+=122由43(3m+4)y+6my−=90，x=+my169m−则y1+y2=−22，yy12=，…………………………………………………4分3mm++4342222236m36所以MN=1+my1−y2=1+m(y1+y2)−4yy12=1+m22+2(3mm++4)34212(m+1)=，……………………………………………………………………………5分234m+y12+−y3m4设线段MN中点坐标为(,xy00)，则y0==2，x00=my+=12，234m+34m+43−m即设线段MN中点坐标为(,)，223mm++43434m所以线段MN的垂直平分线l1方程为：y+22=−mx()−，……………6分3mm++434令y=0，当m=0时，l与x轴重合，不合题意；111当m0时，得x=，即点P(,0)，2234m+34m+213(m+1)所以PF2=−122=，……………………………………………………7分3mm++434所以MN=4PF2，即存在=4满足题设……………………………………………8分（3）直线l2:y=−mx(−1)，即mx+−ym=0，2m圆心F1(1,0)−到直线l2的距离为d=，…………………………………………9分2m+122224mm3+4则弦AB的长：AB=2r−d=216−=4，……………………10分22mm++11222113m+412(m+1)m+1所以S=ABMN=4=24，………11分四边形AMBN2221324324m+m+m+22设mt+=1，则mt=−1，且t1，2mt+11所以S=24=24=24，四边形AMBN342311m+t+3+t1易知ft()=24在[1,+)单调递增，13+t所以当t=1，即m=0时，(S)=12，此时直线lx:1=………………12分四边形AMBNmin