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浙江省宁波市咸祥中学2022-2023学年高二数学上学期期中检测试题(Word版含解析)
浙江省宁波市咸祥中学2022-2023学年高二数学上学期期中检测试题(Word版含解析)
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宁波市咸祥中学2022学年第一学期高二数学学科期中考试姓名________班级________学号________一、单项选择题:本大题共8题,每题5分,共40分.1.已知直线的斜率为2,且过点,则直线的一般方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出直线的点斜式方程,再化为一般方程可得答案.【详解】因为直线的斜率为2,且过点,由直线的点斜式方程可得,则直线的一般方程是.故选:A.2.在空间直角坐标系中,,,,则,,三点所在平面的其中一个法向量的坐标是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】解:由题知,设平面的一个法向量为,所以,,即,令,则所以,.故选:B3.直线:在轴,轴上的截距之和是()A.7B.C.D.1 【答案】D【解析】【分析】把直线化为截距式,得到在两坐标轴的截距即可求解【详解】直线:化为截距式得,则直线:在轴,轴上的截距分别为:,所以直线:在轴,轴上的截距之和是,故选:D4.若方程:表示圆,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件,列出不等式,解之即可.【详解】因为方程:表示圆,则有,解得:,故选:B.5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵中,分别是的中点,是的中点,若,则()A.1B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】连接,由,即可求出答案.【详解】连接如下图:由于是的中点,.根据题意知..故选:C.6.已知圆:,则直线:被圆截得的弦长为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案.【详解】圆的圆心,半径为,圆心到直线的距离为,则直线被圆截得的弦长为. 故选:A.7.已知,,,若,,共面,则实数的值等于()A.B.C.D.0【答案】D【解析】【分析】根据向量共面的性质,得到,列方程求解即可.【详解】,,共面,可得,则,解得故选:D8.已知圆:,则动直线:所截得弦长的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得动直线过定点,再根据时,弦长最短和动直线过圆心时,弦长最长求解.【详解】解:由,解得,则动直线:过定点, 当时,弦长最短,此时,所以最短弦长,当动直线过圆心时,弦长最长,即为直径,所以所截得弦长的取值范围是,故选:D二、多项选择题:本大题共4题,每题5分,共20分.9.关于椭圆:,下列叙述正确的是()A.焦点在轴上B.长轴长为4C.离心率为D.过点【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆的标准方程,可判断A项;求出a,b,c的值,可判断B,C项;代入判断D项.【详解】由已知,椭圆的焦点在轴上,a=2,,c=1,则长轴长为2a=4,离心率为.将点代入椭圆方程左边得,不满足,即点不在椭圆上.故选:BC.10.已知,是两个不同的平面,,是两条不同的直线,则下列命题正确的是()A.,,则B.,,则C,,则D.,,则【答案】BD【解析】【分析】根据直线与直线、直线与平面,平面与平面位置关系,逐项进行检验即可求解.【详解】对于选项A,因为,,所以直线,可以相交或或与异面,故选项A错误; 对于选项B,因为,,所以,故选项B正确;对于选项C,因为,,所以或相交,故选项C错误;对于选项D,因为,,所以,故选项D正确,故选:BD.11.已知圆:,圆:,下列描述正确的是()A.,两圆内含B.两圆相切C.两圆相交D.两圆公共弦所在的直线过原点【答案】ABCD【解析】【分析】利用两圆的位置关系求解判断.【详解】解:已知圆:,圆:,若两圆内含,则,即或(舍去),解得,故A正确;若两圆相切,则或,解得或,故B正确;若两圆相交,则,解得,故C正确;当时,,两圆方程相减得,所以两圆公共弦所在的直线过原点,故D正确;故选:ABCD12.如图,已知正方体的棱长为2,点,在平面内,若,,则下述结论正确的是()A.到直线的最大距离为B.点的轨迹是一个圆 C.的最小值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】CD【解析】【分析】选项A:由,得,分析得的轨迹为圆,再求最值即可;选项B:由平面,而点在上,即的轨迹为线段;选项C:由E的轨迹为圆,的轨迹为线段,可分析得;选项D:建立空间直角坐标系,用向量法求最值.【详解】对于A:,即,所以,即点E在面内,以为圆心、半径为1的圆上,所以,当位于中点时,到直线的距离最大,为,故A错误;对于B:正方体中,,又,且,所以平面,所以点F在上,即的轨迹为线段,故B错误;对于C:在平面内,到直线的距离为当点,落在上时,;故C正确;对于D: 建立如图示的坐标系,则,由B选项的证明过程可知:的轨迹为线段,所以设,则,则,而设平面的法向量,则有,不妨令,则,设与平面所成角为,则:当时,有最大值,故D正确;故选:CD三、填空题:本大题共4题,每题5分,共20分.13.已知直线:,:,则两直线的距离是______.【答案】【解析】 【分析】由平行线间距离公式进行计算.【详解】由平行线间距离公式得:.故答案为:.14.已知,,且,则等于______.【答案】####4.5【解析】【分析】先利用空间向量线性运算法则计算出,,再由向量平行得到方程组,求出的值,求出.【详解】,,因为,所以存在非零实数,使得,故,解得:,故.故答案为:.15.点到两定点,的距离之和为6,则点的轨迹方程是______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的定义求解即可【详解】因为,由椭圆的定义可知, 动点点的轨迹是以,为焦点,长轴长为6的椭圆,所以,,所以点的轨迹方程是,故答案为:16.若直线:始终平分圆:的周长,则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件,直线过圆心,得到a,b的关系式,代入式子可得到二次式,求二次函数的最小值即可.【详解】圆:,圆心为(-2,-1),半径为2,由已知可得,直线:过圆心,即有,即,则代入故答案为:20.四、解答题:本大题共6题,第17题10分,18至22题每题12分,共70分.17.已知点,,直线:.(1)直线过点,,求直线的一般方式;(2)求过中点且与直线垂直的直线方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先求得斜率,再利用点斜式求解;(2)先求得AB的中点坐标,再根据垂直得到斜率求解.【小问1详解】解:因为点,, 所以所以直线方程为:,化为一般式方程为:;【小问2详解】因为点,,由中点公式得AB的中点坐标为,又所求直线斜率为,所以直线方程为:.18.在正方体中,是的中点.(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据已知条件及三角形的中位线定理,结合线面平行的判定定理即可求解;(2)建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出平面法向量,结合点到面的距离公式即可求解.【小问1详解】连接,交于,连接,在正方体中,平面为正方形,所以是的中点,又因为是的中点,所以为的中位线, 所以,又平面,平面,所以平面;【小问2详解】以坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示设不妨设正方体棱长为2,则,所以,,设平面的法向量为,则,即,令,则,所以平面的法向量,所以点到平面的距离为.19.已知椭圆的焦点在轴上,长轴长为4,离心率.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线:与椭圆有两个交点,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用椭圆的离心率公式及短轴长,结合椭圆中的关系即可求解;(2)利用直线与椭圆的位置关系及一元二次不等式的解法即可求解. 【小问1详解】由题意可知,,解得,故椭圆标准方程为.【小问2详解】由,消去,得,因为直线与椭圆有两个交点,所以,即,解得,所以实数的取值范围为.20.如图:在多面体中,四边形是正方形,平面,,,点为棱的中点.(1)求证:平面平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由三角形中位线的平行性证得MN平面EFC,由平行四边形的平行性证得BD平面EFC,从而证出平面BMD平面EFC.(2)以D为原点建系后,利用线面角公式计算 即可.【小问1详解】连接,交于N,则N为的中点.∵M为AE的中点,∴∵MN平面EFC,EC平面EFC,∴MN平面EFC∵∴四边形BDEF为平行四边形,∴∵BD平面EFC,EF平面EFC,∴BD平面EFC又∵,MN、BD平面BDM∴平面BMD平面EFC【小问2详解】∵,BF⊥平面ABCD∴DE⊥平面ABCD又∵四边形ABCD是正方形∴DA、DC、DE两两垂直∴以D为原点,分别以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=2,则DE=4,则,,,∴,, 设平面BDM的一个法向量由得令x=2,得y=-2,z=-1,∴设AE与平面BDM所成的角为,∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.21.已知平面,,是正三角形,.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)取中点为,通过证明面,即可由线面垂直证明面面垂直;(2)根据(1)中所证,先找到二面角的平面角,再解三角形即可.【小问1详解】取中点分别为,连接,如下所示: 因为面面,故;又△为等边三角形,故;又面,故面;又在△中,分别为的中点,故//;因为面面,故//,又;故//,则四边形为平行四边形,则//,故面,又面,故面面.【小问2详解】连接,过作,连接,如下所示:在△中,因为为中点,故,又由(1)可得:平面面,又面面,面,故面,故即为所求二面角的平面角;设,易知,,,,故在△中,由余弦定理可得,则, 则在△中,,解得;又在△中,,,故,故二面角的余弦值为.22.平面直角坐标系中,圆M经过点,,.(1)求圆M的方程;(2)设,过点D作直线,交圆M于PQ两点,PQ不在y轴上,过点D作与直线垂直的直线,交圆M于E、F两点,记四边形EPFQ的面积为S,求S的最大值.【答案】(1)(2)7【解析】【分析】(1)设圆M的方程为,利用待定系数法求解;(2)设直线的方程为,分k=0和k≠0两种情况讨论,利用圆的弦长公式分别求出,,再根据,结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】设圆M的方程为,则,解得,所以圆M的标准方程为;【小问2详解】设直线的方程为,即,则圆心到直线的距离,所以, (i)若,则直线斜率不存在,则,,则,(ii)若,则直线得方程为,即,则圆心到直线的距离,所以,则,当且仅当,即时,等号成立,综上所述,因为,所以S的最大值为7.
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发布时间:2023-02-09 08:29:10
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