浙江省91高中联盟2022-2023学年高二数学上学期期中考试试题（Word版含答案）

2022年学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设集合，，则等于（）A．B．C．D．2．若，，则“复数为纯虚数（㖷虚数单位）”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（）A．12B．14C．16D．184．已知定义域为的奇函数，满足，且当时，，则的值为（）A．B．0C．1D．25．若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（）A．圆锥的母线长为1B．圆锥的底面半径为2C．圆锥的体积为D．圆锥的侧面积为6．在三棱锥中，，且，，分别是棱CD，AB的中点，则EF和AC所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知，，，则（）A．B．C．D．8．在正方体中，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则 的最大值是（）A．B．C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A．若，，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则10．已知，对于，，下述结论正确的是（）A．B．C．D．11．已知，双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（）A．B．C．双曲线的离心率为D．双曲线的渐近线方程为12．在正三棱锥中，，，，，分别为BC，PC的中点，若点是此三棱锥表面上一动点，且，记动点围成的平面区域的面积为，三棱锥的体积为，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当 时，三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．将函数的图象向右平移个单位长度后的图象过原点，则的最小值______．14．若点在幂函数的图象上，则的值为______．15．已知四面体ABCD中，，平面，平面ABD，则四面体ABCD外接球的半径是______．16．已知，分别是椭圆的左石焦点，是椭圆上一点，若线段上有且中点满足（其中是坐标原点），则椭圆的离心率是______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知圆的圆心在轴上，且经过点，．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆相交于M，N两点，且，求直线的方程．18．（本题满分12分）已知函数．（1）求函数的值域；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．19．（本题满分12分）某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数；（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率．20．（本题满分12分）已知四棱锥中，，，，，，．（1）求证：；（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．21．（本题满分12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，______．（1）若，求；（2）求的最大值．22．（本题满分12分）已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段PQ，Q为垂足，动点满足．（1）求动点的轨迹方程； （2）过点的动直线与曲线交于A，B两点，与圆交于C，D两点．（i）求的最大值；（ii）是否存在定点T，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．2022年学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二数学参考答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）题号1234567৪答案DBBACBAC二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BDACBCACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．415．116．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）设圆的标准方程为，其中，半径为，记线段AB中点为，则，又直线AB的斜率为1，由条件得线段AB中垂线CD方程为，由圆的性质，圆心在直线CD上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为．（2）设为MN中点，则，得，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，的方程，此时，不符合题意，舍去． 当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得，解得或，故直线的方程为或，即或，综上直线的方程为或．18．解：（1）因为定义域为，则，设，，所以值域为．（2）因为，所以，设，则原问题化为对任意，，即，因为，当且仅当，时，取到最小值，所以．19．解：（1）由，可得．样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，在130分以下所占比例为，因此，第80百分位数一定位于内，由，所以样本数据的第80百分位数约为115．（2）由题意可知，分数段的人数为（人），分数段的人数为（人）．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在内抽取2人，分别记为 ，，内抽取3人，分別记为x，y，z，设“从样本中抽取2人，至少有1人分数在内”为事件，则样本空间为共包含10个样本点，而事件，包含7个样本点，所以，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为．20．解：（1）在梯形ABCD中，，，，，可算得，所以，在中，，，满足，所以，所以面PBD，所以．（2）由（1）证明可知，面面ABCD，取BD中点，连OP，OC，因为，所以，面PBD，所以就是PC与平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，计算可得，所以，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．解法2：由（1）证明可知，面面ABCD，通过计算可得，建立以，为轴，轴的正方向，以过与平面ABCD垂直的向量为轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，，所以，，， 设平面PBD的法向量为，则，即，取，设直线PC与平面PBD所成角为，则，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．21．解：（1）若选①，由正弦定理可得，当时，代入得，，整理可得，，在中，，所以，所以，所以，所以．若选②，当时，代入得，，，，又因为，，所以，所以． （2）若选①，因为，所以，，，在中，，，所以．选②，因为，所以，，，在中，，所以，，由，及在上递减，可得，进一步得，所以，所以，设，则，，当时，最大值为．22．解：（1）设点，，因为，所以，所以，即动点的轨迹的方程为 （2）（i）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，可得，则恒成立，且，，，，所以，设，则，则，得，当且仅当时取到，此时最大值是16．②当直线的斜率不存在时，则直线为，可得，，此时，综上，最大值是16．（ii）当直线的斜率存在时，设，，，可得，要使得上式为定值，即与无关，则满足且，解得，，即点，此时，当直线的斜率不存在时，直线为，解得，，所以，综上可得，存在定点，使得．