天津市五校2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版含答案）

2022～2023学年度第一学期期中五校联考高二数学出题学校：芦台一中杨村一中一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1．直线的倾斜角是A．B．C．D．2．已知直线与平行，则的值是A．B．或C．D．或3．已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，则椭圆C的方程为A．B．C．D．4．在正方体中，M为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是A．B．C．D．5．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为A．B．C．或D．或6．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是A．B．C．D．7．圆的圆心在轴的负半轴上，与轴相交于点，且直线被圆截得的弦长为.则圆的方程为 A．B．C．D．8．设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为A．B．C．D．9．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是___________.11．设，向量，且，则___________.12．正方体的棱长为，、分别是、、的中点，则直线到平面的距离为___________.13．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为___________.14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，动点满足，若动点在圆上，则的取值范围为___________.15．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则 直线的斜率为___________.三、解答题（共5题，共75分）16．（本小题满分14分）已知圆：及直线：，（1）求直线被圆所截得的弦长度的最小值及此时直线的方程．（2）求过点并与相切的直线方程．17．（本小题满分15分）如图，已知在棱长为2的正方体中，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：直线平面.18．（本小题满分15分）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长；（3）过点的直线与椭圆相交于,两点，若，求直线的方程.19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．（1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.20.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上有一点且点在第一象限，交轴于点，交轴于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值．2022～2023学年度第一学期期中五校联考高二数学参考答案一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1—5DCCDD6—9ACBD二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）10．11．12．13．14．15．三．解答题（共5题，共75分）16．（本小题满分14分）解：由已知：圆..............................1分 直线恒过定点............................2分由∴点在圆内，当时，弦最短，....................5分,则此时直线：,即.......................7分（2）由圆，又在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，∴切线方程为，..................11分②当切线方程的斜率不存在，易知直线与圆相切，...................12分综合①②可知切线方程为或..............................14分17．（本小题满分15分）（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).........3分由正方体的性质，知AD⊥平面，所以＝(2，0，0)为平面的一个法向量..........................4分由于＝(0，1，－1)，则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥........................6分又MN⊄平面，..........................7分所以MN∥平面...........................8分 （2）证明：因为＝(2，0，0)为平面的一个法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，..........................10分则，又∩.........................14分所以直线平面........................15分18．（本小题满分15分）解：（1）由题意可得，则为正三角形，所以所以椭圆的标准方程为：..........................4分（2）设，由题意，过点，斜率为的直线方程为由，得.........................5分则所以.....................7分（3）当直线的斜率为0时，，显然不符合题意.....9分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，由，得所以.........................10分 由,可得，..........................11分代入上面的韦达定理中可得由此消去可得，解得，即,则...........13分所以直线的方程为：或.....15分19．（本小题满分15分）（1）平面，平面，.底面是矩形，，又，平面，平面，...........................5分（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，设平面的法向量，则，即，令，则，.设直线与平面所成的角为，则.所以与平面所成角的正弦值为...........................10分（3）.设平面的法向量，则 ，即，令，则..........................12分又平面的法向量.........................14分所以平面与平面夹角的余弦值为................15分20.（本小题满分16分）解：（1）由题意得：得，故椭圆C的标准方程为：.........................4分（2）由题意知，，设直线AP：，因为点在第一象限，所以，所以，由消y得，...................6分所以，由得，故，所以，.........................7分 设，因，，，三点共线，所以，故，解得，得，...............9分所以因为，所以，.........................13分令，则，所以，所以当且仅当时取等号，此时，所以面积的最大值为..........................16分