山东省日照市2022-2023学年高二数学上学期期中校际联考试题（Word版含解析）

2021级高二上学期期中校际联合考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．2．圆和圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离3．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数等于（）A．1B．2C．3D．44．如图，在三棱锥中，，，点在OA上，且，为BC中点，则（）A．B．C．D．5．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（）A．B．C．D．6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下额的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以 眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份，如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为lcm，如图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A．1.8cmB．2.5cmC．3.2cmD．3.9cm7．如图，二面角的平面角为60°，线段，，与所成的角为30°，则AB与平面所成角的正弦值是（）A．B．C．D．8．已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比：当点在函数图象上时，点到直线的距离公式变为，根据该公式可求的最小值是（）A．B．4C．D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．复数，（为虚数单位），则正确的是（）A．，互为共轭复数B．C．D． 10．一个底面半径为4的圆柱被一个60°的二面角所截，其中一个截面为圆，另一个截面为椭圆，则正确的是（）A．椭圆的长轴长为8B．椭圆的离心率为C．椭圆的离心率为D．椭圆的一个方程可能为11．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（）A．B．C．D．12．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），则正确的是（）A．存在点，使得平面B．存在点，使得直线AM与直线所成的角为60°C．存在点，使得三棱锥的体积为 D．不存在点，使得，其中为二面角的平面角，为直线与AB所成的角三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且（为虚数单位），则复数______．14．已知圆，为圆上位于第一象限的一点，过点作圆的切线．当在两坐标轴上的截距相等时，的方程为______．15．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面的线段上一点．若的最小值为，则该正四棱台的高为______．16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线与交于A，B两点（A在第一象限），若，且，则椭圆的离心率的取值范围是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知是复数，（为虚数单位）为实数，且．（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．18．（12分）已知直线和直线的交点为．（1）求过点且与直线平行的直线方程；（2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程．19．（12分）如图，在直角中，，，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且．（1）求点到平面PAB的距离；（2）设直线与平面所成的角为，求的值． 20．（12分）已知直线与圆交于A，B两点，且（1）求的值；（2）当时，求过点的圆的切线方程．21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）求证：平面ACE；（2）若直线CE与平面ABC所成的角为45°，求二面角的余弦值．22．（12分）如图，已知椭圆的左、右顶点为A，B，又A，B与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为2．圆的圆心为椭圆的左顶点．（1）求椭圆的方程；（2）当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线AQ，BQ与直线分别交于G，H两点．求的最小值；（3）圆A与椭圆交于点M，N．点是椭圆上异于M，N的任意一点，且直线PM，PN分别与轴交于点R，S，O为坐标原点．求证：为定值． 2021级高二上学期期中校际联合考试数学参考答案2022．11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-4CBAA5-8ABCB1．C解析：因为，所以，即的共轭复数的虚部为．2．B解析：两个圆的半径为1和3，两个圆心距是，，所以两圆相交．3．A解析：因为，，三向量共面，所以，即，整理得，解得．4．A解析：，故选A．5．A解析：将点分别代入直线可得和，所以过点和点的直线方程是．6．B解析：如图所示：以鼻尖所在位置为原点，中庭下边界为轴，垂直中庭下边界为轴，建立平面直角坐标系， 则，，直线，整理得．原点到直线距离为．7．C解析：如图，作于，于，连接OB，OC，作于，于，连接OB，OC，则，则，，设AB与所成角为，则，由图得，8．B解析：，令，则，该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，依题意表示该半圆上的点到直线的距离，表示该半圆上的点到直线的距离，则表示半圆上的点到直线和的距离之和，设为，设半圆上点，，则到与的距离之和，因为，所以，所以，所以， 所以，所以的最小值为4．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．ABC10．BD11．BD12．ACD9．ABC解析：依据共轭复数的定义，故A选项正确；共轭复数，故B选项命题正确；；C选项命题正确；，，故D选项错误．10．BD解析：由题意可得椭圆的长轴长，短轴长，所以，所以可得离心率，所以BD正确，AC不正确，11．BD解析：是顶点在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，则，，，对于A，由勾股定理可得，故A错误；对于B，∵，∴，∴，∴，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．12．ACD解析：以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，，，，设，即点，其中． 对于A：假设存在点，使得平面，因为，，，则，解得，故当点为线段的中点时，平面，即选项A正确；对于B：假设存在点，使得直线AM与直线所成的角为60°，，，因为，即，所以不存在点，使得直线AM与直线所成的角为60°，即选项B错误；对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为，，且点到平面的距离为，则，解得，所以当点为线段的靠近的四等分点时，三棱锥的体积为，即选项C正确；对于D：，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，则，，，，因为，， 则，因为、，且余弦函数在上单调递减，则，即不存在点，使得，即选项D正确．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．解析：因为，复数，在复平面内对应的点关于轴对称，所以，因此14．15．解析：正四棱台以为原点，AB为轴，AD为轴，过点作垂直于平面ABCD的直线为轴建立如图空间直角坐标系：设正四棱台的高为，则，，，其中，所以，，所以， 令，显然是开口向上的二次函数，当时取得最小值，所以，解得．16．解析：∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即，，又∵，，∴四边形为矩形，∴则，易得在中，，∵，∴，∵，∴，∵在第一象限，∴，∴，∴．令，则有，∴，∴，，即．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解析：（1）根据题意，设复数，则为实数，即，解得，所以．又∵，∴，得，所以．（2）对应的点在第四象限， 所以所以解得．所以实数的取值范围是．18．解析：（1）联立，解得，可知交点设与直线平行的直线方程为把交点代入可得，∴，．∴所求的直线方程为：．（2）设与直线垂直的直线方程为，∵到的距离为，解得或，∴直线的方程为：或19．解析：（1）由题意知：，，，平面，平面，∴平面AOB，又，所以，，所以，设点到平面PAB的距离为，由得，解得；（2）以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，由题意知，则，所以，，．设平面PAB的法向量为，则，取，则，可得平面PAB的一个法向量为， 所以．20．解析：（1）圆可化为∵，∴圆心到直线的距离为，又∵圆心到直线的距离为，∴，∴或（2）由题意，∵，∴，∴点不在圆上．①当切线的斜率存在时，设切线方程为即．由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，所以所求切线的方程为．②当切线的斜率不存在时，切线方程为．综上，所求切线的方程为或．21．解析：（1）在中，由余弦定理得：，∴，∴，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面BCDE，又平面，∴∵，，，平面，∴平面（2）作于点，∵平面平面ABC，平面平面，平面BCDE， ∴平面，即为直线CE与平面ABC所成的角，∴，又，∴为等腰直角三角形，∴为BC中点，过作，交AB于，则为AB中点，∴，则EF，BF，FG两两互相垂直，则以为坐标原点，，，为x，y，z轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，∴，∵平面，∴是平面ABC的一个法向量；设平面ABE的法向量，则，令，解得：，，，∴由图形可知，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．22．解析：（1）由题意知解之得，，故椭圆方程为；（2）直线，由已知，，设直线AQ的斜率为，则AQ的方程为，得，由得，即， 所以，所以，将代入，得，即，所以直线BQ的方程为，所以，，当且仅当时等号成立．此时线段GH的最小值是．（3）设，，，则直线MP的方程为，令，得，同理，故，又点与点在椭圆上，故，，得，所以为定值．