江苏省扬州市邗江区2022-2023学年高二数学上学期期中考试试卷（Word版含解析）

2022-2023学年度第一学期期中调研试题高二数学考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案.【详解】由直线，可得，斜率为直线的倾斜角为，则所以，则故选：B2.经过两点，的直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可得到答案；【详解】，直线的方程为，故选：D3.双曲线－＝1的渐近线方程是（） A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x【答案】C【解析】【分析】先判定双曲线的中心位置，焦点位置，然后由方程求得半实轴a，半虚轴b，进而利用公式得出渐近线方程.也可以将标准方程等号右边的1改成0，化简即得渐近线方程.【详解】解法一：双曲线－＝1是中心在原点，焦点在轴上的双曲线，其中半实轴a＝3，半虚轴b＝2，双曲线的渐近线方程为.解法二：双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，即为.故选：C.【点睛】本题考查由双曲线的方程求渐近线的方程，属基础题，一般的，求双曲线的渐近线方程，也可以将标准方程等号右边的1改成0，化简即得渐近线的方程.4.若两条直线与相互垂直，则（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.【详解】因为，则，解得或.故选：C.5.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6.作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与m的距离为（）A.4B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得的方程，根据平行求得，由此求得与的距离.【详解】圆的圆心为，是圆上一点，，所以切线的斜率为，直线的方程为，由于与平行，所以，即直线的方程为，所以直线与的距离为.故选：A 7.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大,则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.【点睛】本题考查了椭圆几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系,考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.8.已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】曲线右焦点为，周长要使周长最小，只需最小，如图： 当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（　　）A.x﹣y+1＝0B.x+y＝3C.2x﹣y＝0D.x+y+2＝0【答案】AC【解析】【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过坐标原点时，设直线，代入，所以，所以直线方程为；当直线不过坐标原点时，设直线，代入，所以，所以直线方程为，故选：AC10.若椭圆上的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（）A.B.的长轴长为C.的长轴长为4D.的离心率为 【答案】AB【解析】【分析】先根据焦点坐标求出，结合选项逐个验证.【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或（舍），所以椭圆方程为，长轴长为，离心率.故选：AB.11.已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为（）A.圆上恰有一个点到直线的距离为B.切线长的最小值为C.四边形面积的最小值为D.直线恒过定点【答案】BD【解析】【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，利用点到直线的距离可判断B；由题可得四边形的面积为,可判断C；由题可知点A,B,在以PC为直径的圆上,利用两圆方程可得直线AB的方程,即可判断D.【详解】由圆,可知圆心,半径.对于A：圆心到直线的距离为，所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为（当时，直线圆的两个交点分别取 等号）.而，所以圆上有两个点到直线的距离为.故A错误；对于B：由圆的性质可得切线长，所以当最小时（时）,最小.故B正确;对于C：四边形的面积为.而，所以四边形的面积的最小值为1.故C不正确；对于D：设.因为为过点作圆的切线，所以点在以为直径的圆上.又,所以以为直径圆为，即.与圆联立，相减，即为直线的方程为：.由得，即直线恒过定点.故D正确.故选：BD12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称C.曲线C关于坐标轴对称D.若点在曲线C上，则的面积不大于【答案】BCD【解析】【分析】动点坐标为，根据题意可得曲线的方程为 ，对各个选项逐一验证，即可得出结论．【详解】由题意设动点坐标为，则，即，若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被代换，y被代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则，，当且仅当时等号成立，故的面积不大于，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键，属于中档题型.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为_____．【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后求解过焦点且与对称轴垂直的弦长得到答案.【详解】抛物线的焦点(1,0)，当时，可得：，解得．所以过焦点且与对称轴垂直的弦的两个端点坐标为 所以过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦长为4．故答案为：4．14.若曲线上存在不同的两点关于直线对称，则________．【答案】-4【解析】【分析】曲线上存在不同的两点关于直线对称，因此直线过圆心，代入即得解.【详解】为圆的一般方程，且圆心为：，曲线上存在不同的两点关于直线对称，因此直线过圆心，即：故答案为：-4【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及圆的对称性，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15.已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则PM的最小值是________【答案】【解析】【分析】设圆的圆心为,由题意可知，利用勾股定理可知，进而问题转化为求得最小值，当点到椭圆的右顶点时最小，进而求得PM最小值.【详解】设圆圆心为,由题意可知，，，越小，越小，而为椭圆的右焦点， 最小是5-3=2，最小是.故答案为：.16.如图，已知点在以，为焦点的双曲线（，）上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【详解】由题意得，所以四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知顶点，边上的高为且垂足为E.（1）求边上中线所在的直线方程；（2）求点E的坐标．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、（2）根据求得点的坐标.【小问1详解】，即，所以直线的方程为.【小问2详解】直线的方程为，设，依题意，所以，，即.18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过点A（1，2），B（7，－6），且圆心在直线x＋y－2＝0上.（1）求圆M的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于C，D两点，且CD=2OA，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）联立线段AB的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M的标准方程；（2）设出直线l的方程，由CD=2OA可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB的垂直平分线所在的方程为：y+2=(x－4)，即，因为圆心在直线x＋y－2＝0上，且圆M过点A（1，2），B（7，－6），则圆心为直线与直线x＋y－2＝0的交点，联立，解得，即圆心M为（4，－2），半径为MA=，所以圆M的标准方程为.（2）由直线l平行于OA，可设直线l方程为：，则圆心M到直线l的距离为，因为CD=2OA=，所以，所以，则解得m=－20或m=0（舍去），则直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题．19.已知圆和圆相交于两点．⑴求直线的方程，并求出；⑵在直线上取点，过作圆的切线（为切点），使得，求点的坐标．【答案】（1），；（2）或.【解析】【分析】（1）将两圆方程相减即可得直线AB的方程，利用点到弦的距离，半径即可求出弦长即的长. （2）点P在直线上，设出P点坐标，利用圆的切线长公式：切线长的平方等于点到圆心距离的平方与半径的平方的差，即可求得.【详解】两圆方程相减得即,此即为直线AB的方程,由题意知:圆圆心到直线的距离是,.(2)设,整理得,解得从而【点睛】本题考查圆的弦长与切线长的求解，了解相关公式即可求得，是基础题．20.已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点.（1）求抛物线方程；（2）若为坐标原点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出双曲线的右顶点坐标，抛物线的焦点坐标，求出的值即可求解；（2）设，，直线的方程：与抛物线方程联立，求出、，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得三角形的高，再由三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由双曲线的右顶点为，由抛物线可得抛物线的焦点， 所以，，所以抛物线的方程为：.【小问2详解】由题意可得：直线的方程：，将直线与抛物线联立，整理可得，设，，所以，，所以，原点到直线的距离，所以.21.已知双曲线，点在上.（1）求的方程；（2）过点的直线交于不同的两点（均异于点），求直线的斜率之和.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程中可求出，从而可得双曲线方程，（2）设的方程为：，，，将的方程代入双曲线的方程并整理，利用根与系数和关系，再求，化简可得答案【小问1详解】 ∵点在上，∴，得.∴双曲线的方程为.【小问2详解】过点的直线斜率显然存在，设的方程为：，，，将的方程代入双曲线的方程并整理得依题意，且，所以且，又，因此，可得，.22.已知椭圆的右顶点为，焦距是，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线（均为常数）与椭圆相交于不同的两点（均异于点），若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，试判断直线能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由． 【答案】（1）（2）直线过定点，该定点为【解析】【分析】(1)由题意可得，可得，再由离心率可得答案.(2)将直线的方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由条件可得，将韦达定理代入，可得的关系，从而得到答案.【小问1详解】由题意得：，解得∴椭圆的方程为：；【小问2详解】设，，由得：∵直线与椭圆相交于两点，∴得：（）由韦达定理：，；∵以为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，由于，所以 从而即，即∴或，均符合（）当时，直线，即，所以恒过定点，当时，直线，过定点，舍去．综上可知：直线过定点，该定点为．