江苏省盐城市滨海县2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版含解析）

2022～2023学年江苏省盐城市滨海县高二年级秋学期数学期中考试一、单选题1.准线方程为的抛物线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的准线方程为可求解.【详解】因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线的标准方程为故选：D2.401是等差数列5，9，，的第项．（）A.98B.99C.100D.101【答案】C【解析】【分析】根据等差数列定义和通项公式即可.【详解】等差数列5，9，13，…中，首项，公差，，，故401是等差数列5，9，13…的第100项．故选：C.3.两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（　）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.【详解】因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6x+8y+11=0，即，由两平行线间的距离公式可得：两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.故选：B.4.已知点在圆内，则直线与圆O的位置关系为（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定【答案】A【解析】【分析】由题可得，再利用点到直线的距离即可判断.【详解】因为点P在圆O内，所以，又圆心O到l的距离，所以，所以直线l与圆O的位置关系为相离．故选：A．5.已知是等差数列，且，则（）A.1B.3C.5D.7【答案】B【解析】【分析】结合等差数列通项公式即可解决.【详解】设等差数列的公差为，由得，，则故选：B. 6.直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（）A.2B.6C.8D.10【答案】C【解析】【分析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解.【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，所以，，又或，或（舍去），故选：C7.过圆C:外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（）A.1B.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】求出点P的轨迹为圆，再由圆心到直线的距离减去半径即可得出最小值.【详解】∵过圆C:外一点向圆C引两条切线，切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以，所以点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，为半径的圆，圆心到直线的距离，所以点P到直线的最短距离为， 故选：B8.已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得出以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，从而可得到，然后结合及椭圆的离心率即可求出答案.【详解】因为存在过原点的直线与的交点，满足，故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，所以，即，又因为，所以，即，所以，即.故选：D.二、多选题9.设点A（-2，3），B（3，2），则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是（　　）A.-2B.-1C.3D.4【答案】ACD【解析】【分析】先分析直线方程可得直线恒过点C（0，-2），斜率为-a，转化为过点C（0，-2）的直线与线段有交点，数形结合即得解【详解】如图，直线ax+y+2=0，恒过点C（0，-2），斜率-a. kAC=-，kBC=.由于当-a≥或-a≤-，即a≤-或a≥时，直线与线段AB有交点，故A，C，D符合，B不符合.故选：ACD10.已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】讨论、写出对应双曲线的焦点坐标，再结合各选项椭圆方程写出其焦点坐标，即可判断.【详解】由题设，当时双曲线的焦点坐标为，当时双曲线的焦点坐标为，A：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，符合要求；B：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，不合要求；C：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，不合要求；D：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，符合要求； 故选：AD.11.已知圆，则下列命题正确的是（）A.若，则圆不可能过点B.若圆与两坐标轴均相切，则C.若点在圆上，则圆心到原点的距离的最小值为4D.若圆上有两点到原点的距离为1，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，将点代入圆的方程，进而通过判别式法判断答案；对B，根据题意得到a,b间的关系，进而判断答案；对C，由题意得到，，将其视为圆的方程，进而根据圆的性质判断答案；对D，根据题意得到圆与圆C总有两个交点，进而根据圆与圆的位置关系求得答案.【详解】对A，若，将点代入方程得：，方程无解.A正确；对B，若圆与两坐标轴均相切，则，则可以有.B错误；对C，由题意，，则到原点的距离的最小值为：.C正确；对D，由题意，圆与圆C总有两个交点，圆心距，所以.D正确.故选：ACD.12.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线：，若某直线上存在点，使得点P到点的距离比到直线的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论不正确的是（） A.点的轨迹曲线是一条线段B.点的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点C.不是“最远距离直线”D.是“最远距离直线”【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线方程，运用联立方程消去的代数运算即可解决.【详解】由题意可得，点到点的距离比到直线的距离小1，即等价于“点到点的距离等于到直线：的距离”，故点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误;点的轨迹方程是抛物线，它与直线没有交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确;要满足“最远距离直线”，则必须满足与抛物线有交点，把代入抛物线，消去并整理得，因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；把代入抛物线，消去并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD.三、填空题13.直线的倾斜角为_______________.【答案】【解析】【分析】由直线的斜率为，得到，即可求解. 【详解】由题意，可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，即换线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________.【答案】，【解析】【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式.【详解】设数列的公差为由题意可知，，，于是因为，所以，所以所以故答案为：，15.已知圆，圆相交于A，B两点，则______．【答案】120°【解析】【分析】两圆方程相减得出直线AB的方程，进而得出A，B两点坐标，根据余弦定理得出. 【详解】两圆方程相减得直线AB的方程为，由得出，即，，，，则.故答案为：120°16.已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线E的两条渐近线的交点M､N位于y轴左侧，满足，，为坐标原点，则双曲线E的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】先根据余弦定理求出，推出，在利用正切函数的二倍角公式列等量关系求解.【详解】由上图可知，，于是结合可求出，在中，由余弦定理，于是 ，于是注意到，则，又，则，下记，显然，于是，，由三角公式可得，，又，于是，解得，即，于是渐近线方程为.故答案为：.四、解答题17.已知圆C过点A（6，0），B（1，5）.（1）求线段AB的垂直平分线所在的直线方程；（2）若圆C的圆心在直线2x-7y+8=0上，求圆C的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由斜率的两点式求的斜率，并写出中点坐标，再根据两线垂直求中垂线斜率，应用点斜式写出直线方程即可.（2）由（1）所得直线方程，联立题设直线求圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，进而写出圆的方程即可.【详解】（1）∵线段的斜率，∴的垂直平分线的斜率，∵中点，即为点，∴的垂直平分线的方程为，整理得.（2）∵圆心一定在的垂直平分线上，又在直线上，联立直线，解出，即圆心， ，∴圆的方程为.18.已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．【答案】（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.【详解】（1）数列是等差数列，证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，所以，又因为，故，而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列，而，，所以.19.已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为的直线满足题意，斜率存在时，利用直线与圆相切，即到直线的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：解得：则圆的方程为：【小问2详解】当直线斜率不存在时，则有：故此时直线与圆相切，满足题意当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为直线的方程为：则有：解得：，此时直线的方程为：综上可得，直线的方程为：或20.（1）已知曲线的方程为，判断曲线是什么曲线，并求其标准方程；（2）已知抛物线的焦点为，设过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，求线段的长．【答案】（1）答案见解析（2）.【解析】【分析】（1）设、、，分析可知点的轨迹是以、 为焦点，实轴长为的双曲线右支，设曲线的方程为，求出、的值，即可得出曲线的标准方程；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得的值.【详解】解：（1）设、、，因为，则，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为的双曲线的右支．设曲线的方程为，则，，则，曲线的标准方程为；（2）抛物线的焦点为，直线的斜率为，则直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，因此，.21.已知双曲线经过点（，1）（1）求双曲线C的离心率；（2）若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）（2）证明见解析,定点为 【解析】【分析】(1)根据双曲线经过点（，1）即可求解;(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可求解.【小问1详解】因为双曲线经过点（，1），所以，解得或(舍)，所以，所以双曲线的离心率.【小问2详解】设，由（1）知，双曲线，联立，消整理得，因为直线与双曲线C有两个交点，所以，即，由韦达定理得，，由题可知双曲线C的左顶点,因为以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D， 所以即，所以，即，整理得，即，解得，或，即，，当时，直线方程为，当时，即此时直线过定点为左顶点，不满足题意;当时，直线方程为，当时，即此时直线过定点，满足题意;所以直线l过定点，该定点的坐标为．22.已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，且的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）若B为椭圆C的上顶点，过的直线与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线BP与x轴交于点M，直线BQ与x轴交于点N，判断是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可得，而离心率，解方程组，即可得解；（2）设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，由，，三点的坐标写出直线，的方程，进而知点，的坐标，再结合韦达定理，进行化简，即可得解．【小问1详解】解：因为的周长为，所以，即，又离心率，所以，，所以，故椭圆的方程为．【小问2详解】解：由题意知，直线的斜率一定不可能为0，设其方程为，，，，，联立，得，所以，，因为点为，所以直线的方程为，所以点，， 直线的方程为，所以点，，所以，即为定值．