江苏省淮安市五校2022-2023学年高二数学上学期期中联考试卷（Word版含解析）

2021级高二年级第一学期期中学情调查数学试题试卷满分：150分考试时长：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.点关于直线的对称点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设点关于直线的对称点的坐标为，利用垂直及中点在轴上这两个条件求出的值，可得结论．【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则由题意可得故答案为：B．2.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（）A.(－∞，－1)B.(3，＋∞)C.(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.【答案】A【解析】【分析】把圆方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用，解出k的取值范围.【详解】方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．故选：A. 3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，按直线是否过原点，结合直线截距式方程求解作答.【详解】依题意，直线过原点时，直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，所以所求直线方程为或.故选：C4.圆上的点到点的距离可能为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B【解析】【分析】求出圆心到点的距离，则距离在之间，选项一一比较即可.【详解】设圆心为，半径为，坐标为，则，所以距离范围为，即，而5在此范围内，故选：B.5.双曲线的渐近线方程是：，则双曲线的焦距为（）A.3B.6C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程是：，则求解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程是：，所以，，所以焦距为.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.6.在数列中，，.若为等差数列，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由数列是等差数列知，先求，，从而求等差数列通项公式，再求即可．【详解】解：，，且数列是等差数列，，，，.故选：A7.设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】求出点坐标，设点，利用余弦定理建立关系，结合椭圆范围求解作答.【详解】依题意，，设点，，，，中，由余弦定理得：，整理得，则，化简得：，即，于是得，即，而，解得，所以实数的取值范围为.故选：A8.已知抛物线在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得在点处的切线的斜率，进而得到双曲线的一条渐近线的斜率求解.【详解】解：因为， 所以时，，则，所以在点处的切线的斜率为，即双曲线的一条渐近线的斜率为，所以曲线C的离心率为，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】分别求出四个选项中数列对应的，再进行判断.【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；对，若，则，所以为递增数列，故错误；对，若，则，所以为递减数列，故正确；对，若，则， 由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.故选：.【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10.当时，方程表示的轨迹可以是（）A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】ACD【解析】【分析】将分为三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.【详解】当时，.方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆.当时，，方程化为，表示两条直线.当时，，.方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线.所以曲线不可能表示圆.故选ACD. 【点睛】本小题主要考查直线、圆、椭圆和双曲线轨迹方程的特征，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.11.关于圆锥曲线下列叙述中正确的有（）A.过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条B.设是两个定点，k是非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线的一支C.双曲线与椭圆有相同的焦点D.以过抛物线的焦点的一条弦为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切【答案】ACD【解析】【分析】求出双曲线的通径及实轴长判断A；利用双曲线定义判断B；求出双曲线、椭圆的焦点坐标判断C；利用抛物线的定义判断D作答.【详解】对于A，双曲线实轴长为10，则过该双曲线的右焦点与两支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线只有1条，双曲线的通径长为，则过该双曲线的右焦点与一支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线有2条，因此过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，A正确；对于B，当时，动点P的轨迹是一条射线，当时，动点P的轨迹是双曲线的一支，B不正确；对于C，双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，C正确；对于D，不妨令抛物线的焦点为F，准线为l，过点P，Q作准线l的垂线，垂足分别为，如图， 令线段的中点为M，过点M作于，因此线段是直角梯形的中位线，则，即以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，D正确.故选：ACD12.已知椭圆：的左，右两焦点分别是，，其中直线l：与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（）A.若，则的周长为B.若，则椭圆的离心率的取值范围是C.若的中点为，则D.弦AB长的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的条件，利用椭圆的定义判断A；利用数量积的坐标表示列式求解判断B；利用“点差法”计算判断C；利用弦AB的意义确定弦长范围判断D作答.【详解】对于A，由椭圆定义知，，则的周长为：，A正确；对于B，设，，则 ，即，因此，解得，即，B正确；对于C，由选项B知，，则，于是得，而直线OM的斜率，因此，C不正确；对于D，因过椭圆焦点的最短弦为椭圆的通径，其长为，过椭圆焦点的最长弦为椭圆的长轴，其长为，而弦AB不垂直于椭圆x轴，所以弦AB长的取值范围是.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.以双曲线的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为____.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的下焦点坐标，即为抛物线的焦点，则，代入即可.【详解】由双曲线得：，因为双曲线的下焦点为抛物线的焦点，抛物线的焦点坐标为，设抛物线方程为，所以 故答案为：.14.设点，分别为椭圆C：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_______.【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，则有，解出其范围即可.【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点,,即.设，,由,可得,又因为在椭圆上,即,所以,要使得成立的点恰好是4个,则,解得,所以的值可以是任意一个值，故答案为：0(答案不唯一)15.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，则数列的第10项是数列的第______项.【答案】28 【解析】【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作答.【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，即有，则，因此，即，有，于是得数列的通项为，，由得：，所以数列的第10项是数列的第28项.故答案为：2816.已知P为上的点，过点P作圆O：的切线，切点为M、N，若使得的点P有8个，则m的取值范围是_______.【答案】.【解析】【分析】根据给定条件，结合圆的切线的性质求出，再借助对称性将问题转化为线段与以点O为圆心，为半径的圆有两个公共点（除线段端点外）求解作答.【详解】因过点P的圆O：的切线（M、N为切点），满足，因此有，则有，点P在以点O为圆心，2为半径的圆上，而点P在上，曲线是以点为顶点的正方形，圆与曲线都关于x轴、y轴成轴对称， 要符合条件的点P有8个，则线段与圆有两个公共点（除线段端点外），于是得点都在圆外，且直线与圆相交，因此，而，解得，所以m的取值范围是.故答案为：【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.过点作直线，使它被两直线和所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程.【答案】x＋4y－4＝0.【解析】【详解】(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组xA＝，xB＝，∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，即有＋＝0，解得k＝－.故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)． 故所求直线方程为x＋4y－4＝0.18.已知数列满足，设．（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（2）若是数列的前项和，求的通项公式．【答案】（1）数列是等差数列,理由见解析（2）【解析】【分析】（1）根据条件可得，即，即可作出判断；（2）利用（1）的结论，可求得的表达式，继而利用求得答案.【小问1详解】由可得：，故由可知，，故数列为等差数列；【小问2详解】由（1）知，数列为首项，公差为2的等差数列，故，即，由于是数列的前项和，故，当时，，适合上式，故.19.已知圆C：.（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；（2）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程. 【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先由配方法求得圆C的标准方程，得到圆心，半径为，再由题设条件设得直线l为，再利用相切得到关于的方程，从而求得直线l的一般式方程；（2）利用圆的切线长的性质及，得到，再利用两点距离公式代入化简，即可求得点P的轨迹方程.【小问1详解】由配方得，所以圆C的圆心，半径为，因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为，即，则由直线l与圆C相切得，解得或，∴直线l的方程为或.【小问2详解】由圆上切点的性质知，又因为，所以，所以，整理得，故点P的轨迹方程为.20.给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有 ？请说明理由.【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析【解析】【分析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.【详解】解：（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线的准线方程为：，所以条件④不适合题意，当选择条件③时，，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；（2）假设总有，由题意得直线的斜率不为，设直线的方程为，由得设，所以恒成立，，，则，所以， 所以，综上所述，无论如何变化，总有.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.21.已知双曲线:,直线:,,为双曲线的两个焦点,与双曲线的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线方程;（2）设与的交点为,求的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依题意,双曲线的渐近线方程为,焦点坐标为,,即可求双曲线的方程;(2)设与的交点为,求出的坐标,利用夹角公式,即可求的角平分线所在直线的方程．【详解】(1)与双曲线的一条渐近线平行且过其中一个焦点双曲线的渐近线方程为,焦点坐标为,,双曲线方程为；(2)联立双曲线和直线得:解得:故显然的角平分线所在直线斜率存在,且,,,根据角分线性质可得: ,解得为所求．即:【点睛】本题考查了求双曲线方程和角平分线所在直线的方程.解题关键掌握双曲线方程几何性质和角分线性质,考查了分析能力和计算能力.22.已知椭圆（）右焦点为，是C上一点，点B与A关于原点O对称，的面积为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线，且交椭圆C于点D，E，证明：直线AD与BE的斜率乘积为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据椭圆的对称性可知，据此算出c，再根据椭圆的几何性质即可算出a，b；(2)根据条件设定直线DE的方程，，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出D，E坐标之间的关系，再根据斜率公式计算即可.【小问1详解】设其中，则，即，又点在曲线C上，所以，将代入，整理得，解得，或（舍），所以，所以椭圆的标准方程为：；【小问2详解】 由题意，，，设，，直线方程为：，，联立直线DE与椭圆方程，消去y得，，当，即且时，，，，所以，即是定值；综上，椭圆方程为：.