湖北省部分高中联考协作体2022-2023学年高二数学上学期期中考试试卷（Word版含解析）

2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试高二数学试卷考试时间：2022年11月11日8:00—10:00试卷满分：150分第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若方程表示一条直线，则实数满足（）A．B．C．D．且2．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（）A．1B．2C．3D．43．设、、分别是的对边长，则直线与的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交4．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A．B．C．D．5．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值和最大值分别为（）A．4，7B．4，6C．5，7D．5，66．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（） A．B．C．D．7．已知圆，圆．若过点的直线与圆、都有公共点，则直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．8．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（多选）若直线与直线垂直，则实数的值可能为（）A．B．1C．D．310．已知圆与圆交于不同的两点，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（） A．B．C．向量与的夹角是60°D．与所成角的余弦值为12．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则下列结论正确的是（）A．的方程为B．当，，三点不共线时，射线是的平分线C．在上存在使得D．在轴上存在异于，的两个定点，，使得第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．试写出一个点的坐标：______，使之与点，三点共线．14．已知，则直线必过定点______．15．过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围______．16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．除17题为10分外，18~22题均为12分．）17．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于、两点，求所得弦长的值．18．已知空间三点、、，设，．（1）若向量与互相垂直，求实数的值；（2）若向量与共线，求实数的值．19．已知直线，直线过点，______．在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．（1）求的方程；（2）若与在轴上的截距相等，求在轴上的截距．20．在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值的绝对值；（3）求点到平面的距离． 21．如图，在长方体中，，，．（1）求与面所成角的正弦值；（2）如在上，在上，当，时，求的长度．22．已知圆经过，两点，圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）若圆与轴相交于，两点（在上方）．直线与圆交于，两点，直线，相交于点．请问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试高二数学试卷参考答案一．单选题1．B【分析】若表示一条直线，则，不能同时为0，即．【详解】当时，或；当时，或．要使方程表示一条直线，则，不能同时为0，所以，故选：B．2．D【分析】根据四点共面结论：若，，，四点共面，则且，【详解】若，，，四点共面，则，则．故选：D3．C【分析】利用正弦定理直接判断可知． 【详解】由正弦定理可知，，所以直线与重合．故选：C．4．A【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果．【详解】设在基底下的坐标为，则，所以，解得，故在基底下的坐标为．故选：A5．B【分析】由，知动点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交．由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出的取值范围，进而找到的最小值．【详解】如图解：∵，∴点的轨迹是以为直径的圆，又点在圆上，故点是圆与圆的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即，解得：，∴的最小值为4，最大值为6．故选：B．6．A【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值．【详解】如图设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系则，，，，则，又异面直线所成角的范围为故异面直线与所成角的余弦值为．故选：A7．D【分析】由题意可知，过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置，即直线介于图形中的两直线之间，用点线距离公式列式求出相切时的值，即可求解【详解】如图，由题意可知，过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置，即直线介于图形中的两直线之间，设直线的方程为，与相切时有，解得或，由图知舍去，与相切时有，解得或，由图知舍去，所以直线斜率的取值范围是．故选：D 8．C【分析】求出直线的方向向量，平面的法向量，再根据空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解．【详解】∵平面的方程为，∴平面的法向量可取平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，令，则，，所以，则直线与平面所成角的大小为，．故选：C．二．多选题9．BC【分析】解方程即得解．【详解】解：由题意得，即．解得或．故选：BC．10．ABD【分析】求得相交弦所在直线方程，由此对选项逐一分析，结合圆的性质确定正确选项．【详解】圆的方程为，两圆的方程相减，可得直线的方程为，即得，分别把，两点的坐标代入，可得， ，两式相减可得，即，所以选项A、B均正确；由圆的性质可得，线段与线段互相平分，所以，，所以选项C不正确，选项D正确．故选：ABD11．AB【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断．【详解】以顶点为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则而，所以A正确．，所以B正确．向量，显然为等边三角形，则，所以向量与的夹角是120°，向量与的夹角是120°，则C不正确．又，则，,，，所以D不正确．故选：AB12．ABD【分析】设点，根据题意可求出的方程可判断A，根据三角形内角平分线的性质可判断B，求出点的轨迹方程与的方程联立可判断C，设，的坐标结合的方程可判断D． 【详解】设点，则由可得，化简可得，故A正确；当，，三点不共线时，因为，，，所以，所以，射线是的平分线，故B正确；设存在，则，即，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，又因为不满足，所以不存在满足条件，故C错误；假设轴上存在异于，的两定点，，使得，可设，，可得，由的轨迹方程为，可得，，解得，或，（舍去），即存在，，故D正确．故选：ABD．三．填空题13．（答案不唯一）【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，，写出一个符合要求的即可．【详解】根据题意可得，设，则设，即 故，，不妨令，则，故．故答案为：14．【详解】解：因为，所以，又直线，所以直线必过；故答案为：15．【详解】因为过点可作圆的两条切线，所以点在圆外，∴∴故答案为：16．【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值作答．【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，因点在线段上，则，，，向量在向量上投影长为，而， 则点到直线的距离，当且仅当时取“=”，所以点到直线的距离的最小值为．故答案为：四．解答题17．（1）（2）【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长．（1）由题意可得，圆心为，半径为2．则圆的方程为；（2）由（1）可知：圆半径为，设圆心到的距离为，则，由垂径定理得：．18．（1）或2（2）或1【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可；（2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值．（1）解：由已知可得，，所以，，，由题意可知，即，解得或2．（2）解：，， 由题意，设，所以，，解得或．因此，．19．（1）（2）6【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可；（2）先求得直线在轴上的截距为，再代入求解可得直线方程，进而求得在轴上的截距即可．（1）选择①．由题意可设直线的方程为，因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，所以直线的方程为，即．选择②．由题意可设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得．所以直线的方程为，即．（2）由（1）可知直线的方程为，令，可得，所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为．故直线过点，代入，得．所以直线的方程为．因此直线在轴上的截距为6．20．（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证线面平行，（2）利用平面法向量的夹角求二面角，（3）利用空间向量即可求解点面距离．（1）因为平面，，平面，所以，，因为，所以，，两两垂直，所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为平面是边长为2的正方形，，且，为的中点，所以，，，，，，，所以，因为平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；（2）因为，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，，，平面，所以平面，所以平面的法向量可以为，设二面角为，则，所以二面角的余弦值为；（3）由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离；21．【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，，，，，， ，，，设面法向量，，，令，则，，∴，∴（2）设，，，，∴，∴，即，∴，，，∴，∴，∴22．（1）（2）是，【分析】（1）由已知设出圆心，再由圆心到，的距离都为半径列出方程解出答案即可；（2）联立直线与圆的方程并化简，然后求出直线和的方程，进而结合根与系数的关系得出答案． （1）依题意可设圆心，则半径，解，，故，即圆的标准方程为．（2）设，，由（1）可知，，，联立方程组，消去并化简得，容易判断直线所过定点在圆内，即直线与圆一定有两个交点，所以，，直线的方程为①，直线的方程为②，由①②可得：，由，化简得，故点在定直线上．