河南省商丘名校联盟2022-2023学年高二数学上学期期中联考试卷（Word版含解析）

2022-2023学年上期期中联考高二数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线的方向向量，则直线的斜率是（）A.B.C.3D.2.椭圆的离心率是（）A.B.C.D.3.若曲线表示圆，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.4.如图，在平行六面体中，（）A.B.C.D.5.已知，两点到直线的距离相等，则（）A.2B.C.2或D.2或6.设为实数，若直线与圆相交于，两点，且，则（）A.3B.C.3或D.或17.直三棱柱中，为等边三角形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（） A.B.C.D.8.“直线与直线相互垂直”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（）A.B.C.D.10.已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.11.过圆内一点作直线交圆于，两点，过，分别作圆的切线交于点，则点的坐标满足方程（）A.B.C.D.12.如图，四棱雉中，底面为平行四边形，且，，，若二面角为60°，则与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设直线与圆相交于A，B两点，且圆上存在一点使得 ，则实数的值为______.14.若，，，则的外接圆面积为______.15.已知点，，M是椭圆上的动点，则最大值是______.16.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，若是曲线上任意一点，则的最小值是______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知直线经过点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若的方程是，直线与相切，求直线的方程.18.（本题满分12分）如图，在四棱雉中，底面，底面为梯形，，，且，.（1）若点F为上一点，且，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（本题满分12分）一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点.（1）求点的坐标；（2）求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程.20.（本题满分12分）圆. （1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）已知，圆与轴相交于两点M，N（点在点的左侧）.过点任作一条直线与圆相交于两点A，B.问：是否存在实数，使得.若存在，求出实数，若不存在，请说明理由.21.如图，在长方体中，点E，F分别在棱，上，且，.（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值.22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，如图，过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，设直线和的斜率为，，证明：为定值，并求出该定值. 2022-2023学年上期期中联考高二数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D【解析】因为，所以.故选D.2.B【解析】，故选B.3.B【解析】由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选B.4.B【解析】连接、，可得，又，所以.故选B.5.D【解析】因为，，两点到直线的距离相等，所以有，或，故选D.6.C.【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，直线的一般方程为，则由已知得，解得或，故选C.7.B【解析】如图所示，取的中点D，以D为原点，，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则,, ,所以，平面的一个法向量为，设与平面.所成角为，向量与所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为.故选B.8.B【解析】因为直线与直线相互垂直，所以，所以.当时，直线与直线相互垂直，而当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要而不充分条件，故选B.9.【解析】因为，，所以，则,，由点到直线的距离公式得，故选A.10.D【解析】如下图所示，设，则，，所以，，所以，由椭圆定义可得，∴，∴，所以，，所以，为等腰直角三角形，可得，∴，所以，该椭圆的离心率为.故选D. 11.A【解析】设，则以为直径的圆，即①，因为，是圆O的切线，所以，，所以A，B在圆M上，所以AB是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②，所以由①②得直线的方程为：，又点满足直线方程，所以，即.故选A.12.B【解析】取中点，连接，，如图，则由已知得，，所以为二面角的平面角，所以，又，，中，，，所以，由，，平面，得平面，又平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以，，所以，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，平面的一个法向量是，，所以与平面所成角的正弦值为.故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.2 13.【解析】∵点M在圆上，且，∴直线过圆心，∴，解得.14.【解析】如图，计算斜率得，即，所以是直角三角形.又，故面积：.15.【解析】椭圆，所以A为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当不在直线与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是，而当M在直线BF与椭圆交点上时，若在第一象限交点时，有，在第三象限交点时，有.显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.16.【解析】当，时，曲线C的方程可化为；当，时，曲线C的方程可化为；当，时，曲线C的方程可化为；当，时，曲线C的方程可化为；由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形， 因为到直线的距离为，所以，当d最小时，易知在曲线C的第一象限内的图象上，因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而.即.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【解析】（1）因为直线l与直线垂直，设直线l的方程为，因为直线l过点，所以，解得.所以直线l的方程为.……4分（2）的方程化为标准形式是，圆心，半径，……5分当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；……6分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，由直线l与相切，得，解得，……8分所以直线l的方程是，即.……9分综上所述，直线l的方程是或.……10分 18.【解析】（1）作交于，连接.∵，∴，又且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面……6分（2）∵平面，平面，∴又，，∴则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，∴，，设平面的法向量，则，令，则，，∴设直线与平面所成角为∴.……12分19.【解析】（1）设关于的对称点为，（由反射的性质，可知点F，P，三点共线）则且，解得，，即，易得直线方程为， 由，解得.……6分（2）因为，根据椭圆定义，得，所以.又，所以.所以椭圆C的方程为.……12分20.【解析】（1）由得，……2分因为圆与y轴相切，所以，解得或4，……3分故所求圆C的方程为或.……4分（2）令得，解得或，而，即，.……5分假设存在实数a，设，，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，由得，……6分根据韦达定理有，……7分 又，即、的斜率互为相反数，……8分∴，即，即，所以，解得.……10分当直线AB与x轴垂直时，仍然满足，即NA、NB的斜率互为相反数.……11分综上所述，存在，使得.……12分21.【解析】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.在长方体中，，，所以四边形为平行四边形，则，，而，，所以，，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，∴，∴，因此点在平面内.……6分（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.则、、、，，，，，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，则，设平面的一个法向量为， 由，得，取，得，，则，设二面角的平面角为，则，∴.因此，二面角的正弦值为.22.【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c，因为C的短轴的一个端点的坐标为，所以，，因为，所以.得，所以，所以椭圆C的方程为.……4分（2）设直线MN的方程为，，，……5分联立，消去y整理得：.则，，……7分所以 ……9分将，，代入上式分子中得：，……10分即，……11分所以为定值，且.……12分