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广东省广州中学2022-2023学年高二数学上学期期中试卷(Word版含答案)

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广州中学2022学年第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题:每小题5分,共40分.1.直线的一个方向向量为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案.【详解】由直线方程知:直线方向向量有及它的平行向量均可作为其方向向量.故选:D2.如图,在四面体OABC中,,,.点M在OA上,且,为BC中点,则等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到.【详解】连接, 是的中点,,,.故选:B3.两平行直线和间的距离是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将方程变形,再根据两平行直线间的距离公式计算可得;【详解】解:直线即为,所以两平行直线和间的距离;故选:A4.已知直线:是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则A.2B.C.6D.【答案】C【解析】【详解】试题分析:直线l过圆心,所以,所以切线长,选C. 考点:切线长5.如图,已知棱长为的正方体,分别为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,求出和的坐标,利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】 如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,则、、、,所以,,设异面直线与所成角为,则,故选:A【点睛】方法点睛:求空间角的常用方法(1)定义法,由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,作出所求空间角,再结合题中条件,解对应三角形,即可求出结果;(2)向量法:建立适当的空间直角坐标系,通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量,平面法向量与平面法向量)余弦值,即可求出结果.6.如图,己知二面角的棱上有两个点A,B,线段与分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直与棱l.若,平面与平面的夹角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】过在面内作,过作,交于,进而确定平面与平面的夹角为,结合已知及题图确定二面角的大小.【详解】过在面内作,过作,交于, 由且,故且,又,,,所以平面与平面的夹角为,且为矩形,即,由,则,又,面,则面,面,故,又,则,在直角△中,在△中,,所以,如图,锐二面角的大小为.故选:C7.已知直线和以为端点的线段相交,则实数k的取值范围为()A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】先求出所过的定点,结合直线与线段相交,应用斜率两点式求出斜率k的范围.【详解】由题设,恒过点,则,, 又在y轴上,在y轴两侧,故直线的斜率.故选:D8.在正方体中,E是侧面内的动点,且平面,则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是  A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系利用向量法求出直线与直线AB所成角的正弦值的最小值.【详解】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系, 设正方体中棱长为1,设0,,,,1,,1,,0,,1,,,1,,1,,设平面的法向量y,,则,取,得,平面,,解得,,,设直线与直线AB所成角为,1,,,,, .直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是.故选B.【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法,空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,函数与方程思想,是中档题.二、多项选择题:每小题5分,共20分.9.下列说法正确的是()A.直线的倾斜角取值范围是B.若直线的斜率为,则该直线的倾斜角为C.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率D.直线的倾斜角越大,其斜率就越大【答案】AC【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误.【详解】A:直线倾斜角范围为,正确;B:当直线斜率为,则该直线的倾斜角为内正切值为的角,错误;C:平面内所有直线都有倾斜角,当倾斜角为90°时没有斜率,正确;D:倾斜角为锐角时斜率为正,倾斜角为钝角时斜率为负,错误.故选:AC10.已知直线,动直线,则下列结论正确的是()A.不存在,使得的倾斜角为90°B.对任意的,与都有公共点C.对任意的,与都不重合 D.对任意的,与都不垂直【答案】BD【解析】【分析】A令即可判断正误;B由过定点,再由定点与的关系判断正误;C令即可判断正误;D利用直线垂直的判定判断值的存在性即可.【详解】A:当时,,符合倾斜角为90°,错误;B:过定点,而也在上,对任意的,与都有公共点,正确;C:当时,,显然与重合,错误;D:要使与都垂直则,显然不存在这样的值,正确.故选:BD11.已知,圆,则以下选项正确的有()A.圆C上到B的距离为2的点有两个B.若过A的直线被圆C所截得的弦为,则的最小值为C.若过A的直线被圆C所截得的弦为,则弦的中点的轨迹方程是D.若点D满足过D作圆C两条切线互相垂直,则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】A由定点到圆心距离及圆的半径判断;B首先判断在圆内,再根据所截弦长最短知直线与垂直,写出直线方程,进而求最小弦长;C由题意的轨迹是以为直径的圆,即可得圆的方程;D根据切线性质判断、和两个切点所成的四边形为正方形,进而可知的轨迹是以为圆心,为半径的圆,最后求定点到圆上点的最小值即可. 【详解】由题设,圆心为且半径,则,故,所以圆C上到B的距离为2的点有一个,A错误;由,即在圆内,故过A的直线被圆C所截得的弦长最小,只需直线与垂直,故直线为,此时,B正确;若过A的直线被圆C所截得的弦的中点为,则,故的轨迹是以为直径的圆,所以轨迹方程为,C正确;若D满足过D作圆C的两条切线互相垂直,结合切线的性质知:、和两个切点所成的四边形为正方形,所以的轨迹是以为圆心,为半径的圆,即,而,故该圆上点到的最小值为,D正确.故选:BCD12.如图,正方体的棱长为4,动点P,Q分别在线段,上,则下列命题正确的是()A.直线与平面所成的角等于B.点C到平面的距离为C.异面直线和所成的角为D.线段长度的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】利用正方体的性质,结合线面垂直的判定证面,进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离,由,异面直线和所成角即为与所成角求大小,过作于,再过作于 ,利用线面垂直及勾股定理求的最小值.详解】正方体中面,面,故,又,由,面,故面,而面,故直线与平面所成的角,A正确;C到平面的距离为,B正确;因为,故异面直线和所成角即为与所成角,而△为等边三角形,故,C错误;过作于,再过作于,面面,面面,面,故面,面,则,又,面,所以面,易知:即为异面直线,上两点的距离,令,则,,所以,当时,,D正确.故选:ABD 三、填空题:每小题5分,共20分.13.若平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,且,则______.【答案】【解析】【分析】由,得,利用向量坐标平行计算公式代入计算.【详解】由,得,所以,解得,,∴.故答案为:14.已知直线,直线,若,则实数______.【答案】【解析】【分析】由由有,即可求,然后验证、是否重合.【详解】∵,有,∴,解得或,当时,,,即、为同一条直线;当时,,,即;∴,故答案为:15.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,高为1,则点D到平面ACD1的距离是_____. 【答案】##【解析】【分析】利用等体积法,根据可得.【详解】因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱,,,所以,记AC中点为O,则,所以,记三棱锥的高为h,因为,所以,解得.故答案为:.16.数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线,已知的顶点、,其欧拉线的方程为,则的外接圆方程为______. 【答案】【解析】【分析】求出线段的垂直平分线方程,与欧拉线方程联立,求出的外接圆圆心坐标,并求出外接圆的半径,由此可得出的外接圆方程.【详解】直线的斜率为,线段的中点为,所以,线段的垂直平分线的斜率为,则线段的垂直平分线方程为,即,联立,解得,即的外心为,所以,的外接圆的半径为,因此,的外接圆方程为.故答案为:.【点睛】方法点睛:求圆的方程,主要有两种方法:(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线;(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.四、解答题:本题包括6小题.共70分.17.三角形的三个顶点是,,.(1)求边上的高所在直线的方程;(2)求边上的中线所在直线的方程.【答案】(1);(2).【解析】 【分析】(1)先根据斜率公式得,由于边上的高与所在直线垂直且过,故根据点斜式求解即可;(2)由题知中点为,故再根据点斜式求解即可.【详解】(1)边所在直线的斜率因为所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为,所以高线的斜率为,又因为高线所在的直线过所以高线所在的直线方程为,即(2)设中点为,则中点,又所以边上的中线所在的直线方程为:,即:【点睛】本题考查直线的方程的求解,解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在,则斜率乘积为,考查运算求解能力,是基础题.18.已知圆:与圆:.(1)若圆与圆外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l过点(2,1),且与圆的相交弦长为,求直线l的方程.【答案】(1)m=5(2)或【解析】【分析】(1)根据两圆外切,两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得;(2)先根据弦长求出圆心到直线的距离,然后分斜率存在和不存在两种情况讨论,利用点到直线的距离公式可得.【小问1详解】圆:,则,半径r1=1,由圆:,得,则,半径.∵圆与圆外切,∴,∴,解得m=5. 【小问2详解】由(1)得m=5,圆的方程为,则,r2=2.由题意可得圆心到直线l的距离,当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;当直线l斜率为k时,则直线方程为,化为一般形式为,则圆心(3,0)到直线l的距离,解得k=0,得直线方程为y=1.综上,直线l的方程为或.19.如图,在棱长为4的正方体中,E,F分别是AB,BC上的动点,且.(1)求证:;(2)当三棱锥的体积取得最大值时,求平面与平面的夹角的正切值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)构建空间直角坐标系,令且,应用向量法求证垂直即可;(2)由三棱锥体积最大,只需△面积最大求出参数a,再标出相关点的坐标,求平面与平面的法向量,进而求它们夹角的余弦值,即可得正切值.小问1详解】 如下图,构建空间直角坐标系,令且,所以,,,,则,,故,所以,即.【小问2详解】由(1),三棱锥体积取最大,即△面积最大,所以,当时,故为AB,BC上的中点,所以,,,故,若为面的法向量,则,令,故,又面的法向量为,所以,由图,平面与平面的夹角正切值为.20.(1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程;(2)设直线l的方程为,若,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求面积取最小值时,直线l的方程.【答案】(1)x+y-1=0或3x+4y=0;(2)x+y-2=0 【解析】【分析】(1)分直线过原点和不过原点,当直线不过原点时设截距式方程,代入点可得;(2)求出M,N两点坐标,利用坐标表示出面积,分离常数后使用基本不等式可得.【详解】(1)当直线不过原点时,设l的方程为+=1,∵点在直线上,∴+=1,解得,所以直线方程为x+y-1=0;当直线过原点时,直线斜率,∴直线的方程为,即3x+4y=0.综上知,所求直线方程为x+y-1=0或3x+4y=0.(2)∵,∴M,,∴==≥2,当且仅当a+1=,即a=0时等号成立.故所求直线l的方程为x+y-2=0.21.已知直三棱柱中,侧面为正方形,,分别为和的中点,为棱上的点,.(1)证明:(2)当为何值时,面与面所成的二面角的余弦值最大?【答案】(1)证明见解析 (2)时,面与面所成的二面角的余弦值最大【解析】【分析】(1)利用线面垂直性质可知,结合可证得平面,由和线面垂直性质可证得结论;(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,利用面面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】三棱柱为直三棱柱,平面,又平面,,又,平面,,平面,又平面,;四边形为正方形,,.【小问2详解】以为坐标原点,为轴可建立如图所示的空间直角坐标系,则,,设,则,则,,设平面的法向量,则,令,解得:,,;又平面的一个法向量, ,则当时,,即当时,面与面所成的二面角的余弦值最大.22.已知圆的圆心在射线上,截直线所得的弦长为6,且与直线相切.(1)求圆的方程;(2)已知点,在直线上是否存在点(异于点),使得对圆上的任一点,都有为定值?若存在,请求出点的坐标及的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,为,【解析】【分析】(1)由题,设圆心为,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出,进而得到圆的方程;(2)假设存在满足条件的点和定值,设为,为,利用两点间距离公式得到,再根据在圆上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可【详解】(1)圆的圆心在射线上,设圆心为,圆心到直线的距离为,又圆与直线相切,,圆截直线所得的弦长为6,,则,即, ,解得或(舍),圆心为,圆为(2)存在,为,,假设存在直线上点(异于点),使得对圆上的任一点,都有为定值,由题,设为,且,,设为,则,,则,整理可得,圆上,,即,,,解得,此时为【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-09 08:21:03 页数:21
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文章作者:随遇而安

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