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四川外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高一数学上学期期中试题(Word版含解析)
四川外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高一数学上学期期中试题(Word版含解析)
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重庆外国语学校2022-2023学年度(上)高2025届半期检测数学试题(满分150分,120分钟完成)一、单项选择题(共8个小题,每小题6分,共40分.每小周的四个地项中,只有一个符合题目要求)1.若集合,,则( ).A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解不等式,按定义求交集即可【详解】解得,,∴.故选:A2.设,则“”是“”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不必要也不充分条件【答案】B【解析】【分析】首先解不等式由|可得或,由可得或,再根据集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由可得或,由可得或,显然或Ü或,所以,“”是“”的充分不必要条件,故选:B.3.函数的单调递增区间是( ) A.B.[1,)C.[2,)D.[4,)【答案】C【解析】【分析】先求得函数的定义域为,再结合二次函数性质和复合函数单调性的判定方法,即可求解.【详解】令,解得或,即函数的定义域为,又函数表示开口向上,对称轴方程为的抛物线,且在上单调递增,又因为函数在上单调递增,所以函数的单调增区间是.故选:C.4.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先研究四个选项中图象的特征,再对照小明上学路上的运动特征,两者对应即可选出正确选项.【详解】考查四个选项,横坐标表示时间,纵坐标表示的是离开学校的距离,由此知,此函 数图象一定是下降的,由此排除A;再由小明骑车上学,开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型,又途中因交通堵塞停留了一段时间,故此时有一段函数图象与x轴平行,由此排除D,之后为了赶时间加快速度行驶,此一段时间段内函数图象下降的比较快,由此可确定C正确,B不正确.故选C.【点睛】本题考查函数的表示方法,关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征,属于基础题.5.已知不等式ax2+bx-a3<0的解集是{x|x>9或x<-1},则a+b的值为( )A.-27B.-21C.27D.21【答案】D【解析】【分析】依题意9和为方程的两根且,利用韦达定理得到方程组,解之即可.【详解】依题意9和为方程的两根且,所以,解得(舍去)或,所以;故选:D6.设函数f(x)=x-+1在[1,4]上的值域为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据单调性的性质可得在[1,4]上为增函数,代入端点值即可得解.【详解】由在[1,4]上单调递增,且在[1,4]上单调递减, 根据单调性的性质可得f(x)=x-+1在[1,4]上单调递增,所以由f(1)=0,f(4)=,故值域为,故选:C7.设正实数满是,则最小值为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据可得,利用“1”的用法,结合基本不等式计算即可求解.【详解】由,得,所以,因为,所以,则,即,当且仅当即时等号成立,所以的最小值为. 故选:A.8.已知函数,若对所有,都有成立,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得,由此可令,判断其单调性和奇偶性,进而将不等式化为得到,结合恒成立问题以及一次函数性质,即可求得答案.【详解】由可得,令,满足,即为奇函数,且为单调递减函数,由可得,即,即,对所有,都有成立,即对所有,都有成立,即,故需满足或,解得或,故实数的取值范围是, 故选:A.二、多项选解题(共4个小题,每小题5分,共20分.每小题的四个物项中,有多个符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.下列说法错误的是( )A.若,,则B.若,,则C.若,则D.若,则【答案】ABD【解析】【分析】用不等式的性质或使用特例排除法,逐一验证选项.【详解】和都无法比较与的大小,故选项A和选项B错误;由,则,由,则,所以时,有,选项C正确;当,时,满足,但不满足,选项D错误.故选:ABD10.下列函数中,既具有奇偶性,又在(0,)上单调递减的是()A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义以及常见函数的单调性,可得答案.【详解】对于A,的定义域为,由,则函数为奇函数,根据反比例函数的性质,易知函数在上单调递减,故A正确;对于B,,任意取,设,易知,故,则函数在上单调递增,故B错误; 对于C,由,则其定义域为,因为,所以函数为偶函数,当时,,易知函数在上单调递减,故C正确;对于D,当时,,则函数不具备奇偶性,故D错误.故选:AC.11.设函数,存在最小值时,实数的值可能是()A.2B.-1C.0D.1【答案】BC【解析】【分析】分,和三种情况讨论,结合二次函数的性质,从而可得出答案.【详解】解:当时,,所以当时,,若,则,所以此时,即存在最小值,若,则当时,,无最小值,若,则当时,减函数,则要使存在最小值时,则,解得,综上或.故选:BC.12.德国数学家黎曼(Ricmann)提出的黎曼函数r(x)在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数 r(x)的定义为,(p∈N*,q∈Z,q≠0且p,q互素),下列命题中,正确的有()A.存在常数T>0,使得对任意的x∈R,都有B.对任意的x∈R,有C.存在a,b,a+b∈[0,1],使得D.给定正整数t,记S=,则S有个元素【答案】ABC【解析】【分析】本题中的,(p∈N*,q∈Z,q≠0且p,q互素)即取值为非零有理数,要考查新定义函数的周期性,对称性,根据函数解析式,分三段分别讨论,C选项可以取满足条件的来验证.D选项主要考查对定义的理解,取进行验证即可判断.【详解】对选项A,考查函数的周期性,取,若,则,,所以满足,若为无理数,则也是无理数,满足.若为非零有理数,即,,互质,则与也互质,,满足,故A选项正确.对选项B,若为无理数,则也是无理数,所以.若,满足.若为非零有理数,,,互质,则 与互质,也与互质,满足.B选项正确对于选项C,因为存在a,b,a+b∈[0,1],取,因为为无理数,,又,故,故有.故选项C正确.对于选项D,取,即,则或1,当时,,当时,,当时,,当时,,则,有7个元素,不满足=8个元素,故D错误故选:ABC三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-1,则f(0)+f(-2)=_________.【答案】-3【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求解.【详解】由题意:当时,,根据奇函数的定义有:当时,,,;,,;故答案为:.14.已知函数的定义域为,则函数的定义域为_________. 【答案】【解析】【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法,即可求解.【详解】由条件可知,函数的定义域需满足,解得:,所以函数的定义域是.故答案为:15.若函数在R上单调递增,则实数a的取值范围是_________【答案】【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立条件关系即可得到结论.【详解】当时,为增函数,此时最小值,要使在R上单调递增,,即,即.故答案为:16.已知在上既有最大值,又有最小值,则的取值范围为_________.【答案】【解析】 【分析】根据题意将函数解析式化为,分类讨论当、、、时函数的单调性,结合图形和二次函数的性质得出函数的值域即可求解.【详解】由,得,当时,函数在上单调递增,所以在上单调递增,如图所示,由图可知,函数在上只存在最大值,不符合题意;当时,函数在上单调递增,在上单调递减,如图所示,由图可知,函数在上只存在最大值,不符合题意;当时,,函数在上单调递增,在上单调递减,如图所示, 由图可知,函数在上存在最大值,最小值,符合题意;当时,,函数在上单调递增,只存在最大值,不符合题意;综上,实数a的取值范围为.故答案为:.四、解答题(共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程邮城演算步骤.)17.已知集合,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)利用并集的定义求解即可;(2)利用交集定义求解即可.【小问1详解】当时,,所以.【小问2详解】 由得或,解得或.18.已知函数.(1)求的定义域和值域;(2)判断与的关系,并证明.【答案】(1)定义域为,值域为;(2),证明见解析.【解析】【分析】(1)根据分式的意义可得,解之即可得出函数的定义域;若,则,若,则,将分别求出当、时函数的值域,进而得出结果;(2)根据函数解析式,分别求出的解析式,即可判断.【小问1详解】由,解得,所以函数的定义域为;若,;若,,当时,,则, 所以;当时,,则,所以,综上,函数的值域为;【小问2详解】,证明如下:因为,所以,,所以.19.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x2+x.(1)当x>0,求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)+ax在x∈(0,1]上的最大值为2,求实数a的值.【答案】(1)(2)2【解析】【分析】(1)设,则,根据题意求出,再利用函数的奇偶性即可求出;(2)根据题意,将问题等价转化为在上的最大值为2,根据二次函数的对称轴所在的区间进行分类讨论即可求解.【小问1详解】设,则,因为当时,, 所以,又因为函数为上的奇函数,所以,所以当时,函数的解析式为.【小问2详解】因为在上的最大值为2,由(1)可知:也即在上的最大值为2,因为函数开口向下,且对称轴为,又因为,要使在上的最大值为2,则对称轴大于零,当,也即时,,解得:不存在;当,也即时,,解得:,综上可知:当在上的最大值为2时,实数的值为。20.网红城市重庆现已成为许多外地游客必经之地,在游玩结束后许多旅客会乘坐大巴离开.已知某重庆长途汽车候车厅,候车人数与时间相关,时间(单位:小时)满足,.经测算,当时,候车人数为候车厅满厅状态,满厅人数人,当时,候车人数会减少,减少人数与成正比,且时间为6点时,候车人数为人,记候车厅候车人数为.(1)求的表达式;(2)考虑到群众的身体健康,每时需要提供的免费矿泉水瓶数为P=,则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?【答案】(1);(2),理由见解析.【解析】【分析】(1)根据已知条件,分段求解,即可求得的表达式; (2)根据(1)中所求,分段讨论的最小值,即可求得结果.【小问1详解】由题可知:时,;当时,设,又,即,解得,故此时;综上所述:.【小问2详解】根据(1)中所求,可得,当时,,当且仅当,即时取得最小值;当时,单调递减,故当时,取得最小值;又,故当时,取得最小值,也即时需要提供的矿泉水瓶数最少.21.已知定义在上的函数满足:①对任意的,都有;②当且仅当时,成立.(1)求(2)类比以下比较与的大小关系,尝试判断的单调性,并用定义证明;,所以. (3)若存在,使得不等式成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)0(2)函数在上单调递减,证明见解析(3)【解析】分析】(1)令,代入恒等式中求解即可;(2)利用函数单调性的定义以及恒等式判断并证明即可;(3)利用函数的单调性,得到存在,使得不等式成立,利用换元法,令,则存在,使得不等式成立,利用函数单调性求解即可.【小问1详解】由,令,则,解得;【小问2详解】函数在上单调递减,证明如下:设,则,所以,因为,所以,则,故,所以函数在上单调递减.【小问3详解】由(2)可知,在上单调递减,存在,使得不等式成立, 即存在,使得不等式成立,,由基本不等式,,当,即时等号成立,令,有,所以存在,使得不等式成立,即存在,使得不等式成立,设,,,,,,,∴在上单调递增,,∴,实数m的取值范围为.22.设函数的定义域为,如果存在,使得在上的值域也为,则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数.(1)求函数的解析式:(2)是否为“A佳”函数.若是,请指出所在区间;若不是,请说明理由.(3)若函数,且是“A佳”函数,试求出实数的取值范围.【答案】(1);(2)是“A佳”函数,区间为;(3).【解析】【分析】(1)由幂函数的定义及性质即可求解的值; (2)求得,,根据函数的值域为判断为“A佳”函数,利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组,解之即可;(3),则在上单调递减,由“A佳”函数的概念可得,利用换元法可求得,再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围.【小问1详解】因为幂函数在内是单调增函数,所以,解得,所以函数的解析式为.【小问2详解】由(1)知,,函数的定义域为,又,所以函数的值域为,则存在,使得在上的值域为,故函数为“A佳”函数.因为在上单调递增,所以函数在上单调递增,有,解得或,或,故“A佳”函数的区间为;【小问3详解】,,则在上单调递减, 因为是“A佳”函数,所以,令,,则,,所以,有,即,因为,所以,所以,得,所以,代入,得,因为,所以,得,令,,所以,又该函数在上单调递减,所以,所以实数的取值范围是.【点睛】关于函数新定义问题,一般需要理解定义的内容,根据定义直接处理比较简单问题,加深对新定义的理解,本题中,需要根据是“A佳”函数,及函数的单调性转化为,换元后求出的关系,利用函数值域求解.
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