陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三文科数学上学期10月教学质量试卷（Word版附解析）

2023届高三教学质量检测试题文科数学注意事项：1.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.2.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合绝对值不等式化简集合，由交集运算即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以.故选：B2.已知，其中，是实数，是虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数相等的定义求解参数、的值即可.【详解】由题意得， 所以，得.故选：B3.已知向量的夹角为，若，，则＝（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据数量积的定义计算即可.【详解】，故选：B．4.某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（）A.样本中层次的女生比相应层次的男生人数多B.估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大C.层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等 D.样本中层次的学生数和层次的学生数一样多【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图性质可求，由此确定男生各层频率，再由扇形统计图确定女生中各层频率，由此判断选项A，D，再通过求D层次的女生和层次的男生在整个样本中频率判断选项C，再估计男生身高的中位数和女生身高的中位数判断选项B.【详解】设样本中女生有人，则男生有人，设女生身高频率分布直方图中的组距为由频率分布直方图的性质可得，所以，所以女生身高频率分布直方图中层次频率为20%，层次频率为30%，层次频率为25%，层次频率为15%，层次频率为10%所以样本中层次的女生人数为，男生人数为，由于的取值未知，所以无法比较层次中男，女生人数，A错误；层次女生在女生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，层次男生在男生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，由于的取值未知，所以无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率，C错误；样本中层次的学生数为，样本中层次的学生数为，由于的取值未知，所以无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，D错，女生中，两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为，层次的分界点，而男生，两个层次的频率之和为35%，，，两个层次的频率之和为65%，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B正确；故选：B5.在约束条件下，则目标函数的最大值为（） A.B.C.5D.7【答案】C【解析】【分析】画出可行域，将目标函数变形为，由几何意义可求的最大值.【详解】如图所示，设直线与的交点为点，目标函数可变形为，显然当直线向下平移交于点时，目标函数取到最大值，联立，得，即，代入得，故.故选：C6.已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】将代入，求出点、的坐标，利用弦长求出，进而求得结果.【详解】将代入，解得，则、，所以，解得， 则.故选：C.7.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（）A.25B.45C.55D.75【答案】A【解析】【分析】根据程序框图依次计算可得.【详解】；；；；；．所以故选：A8.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可.【详解】由图可知，在上的图象关于轴对称，所以在上为偶函数，故应先判断各选项中函数的奇偶性.对A，，为偶函数，故A选项的函数为其定义域内的偶函数.同理：对C、D选项的均为其定义域内的偶函数，只有选项的为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.又，对A选项：，所以排除A.而由图可知，对C选项：，，故排除C.故选：D9.在正方体中，则下列判断错误的是（）A.平面B.平面∥平面C.直线过的垂心D.平面与平面夹角为【答案】D【解析】 【分析】由题意可得，，进而得平面，从而判断A正确；由∥∥，进而得平面∥平面，从而判断B；由三棱锥为正三棱锥，可得直线过的垂心，从而判断C；连接交于O点，连接，则可得为平面与平面的夹角，在中计算的值，从而判断D.【详解】解：由，得平面,所以，同理可得，所以平面，故A正确；由∥∥，得平面∥平面，故B正确；因为三棱锥为正三棱锥（或由两两垂直）得直线过的垂心，故C正确；连接交于O点，连接，由，得为平面与平面的夹角，因为，故D错误．故选：D.10.已知等比数列的公比，前n项和为，，，则（）A.2B.3C.6D.10【答案】B【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与的定义，联立方程解得和，进而求得.【详解】设等比数列的首项为，公比为q，由题意可得，即，整理得，解得或（舍去），，所以.故选：B.11.记函数的极大值从大到小依次为、、、、，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极大值点，利用极值的单调性可求出、，即可得解.【详解】因为，其中，则，令可得，且不是函数的极值点，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，函数的极小值点为，极大值点为， 所以，函数的极大值为，因为函数单调递减，故，，因此，.故选：C.12.半径为的球面上有四点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球体积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，，，则有，以、、为邻边可构造一个长方体，此时可知，然后由可得答案.【详解】解：设，，，因为直线两两垂直，若，，的面积之和为72，所以，有，以、、为邻边可构造一个长方体，则该长方体为此球的内接长方体，所以，．因为所以，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，此球体积的最小值为．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.14.有一批产品，其中有2件正品和3件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_______．【答案】##0.7【解析】【分析】结合古典概型公式和组合公式，分两种情况讨论即可求解.【详解】总的取法数有种，当取两件次品时，取法有种；当取三件次品时，只有1种取法，故从中任取3件，至少有2件次品概率为故答案为：15.经过四个点，，，中三个点的圆的方程为______________.【答案】或或【解析】【分析】数形结合根据题目中点的特殊性直接求出圆方程【详解】如图所说，不妨设， 由三点组成的圆，圆心为，半径为，故圆的方程为：；由三点组成的圆，圆心为，半径为，故圆的方程为：；由三点组成的圆，圆心为，半径为，故圆的方程为：.故答案为：或或16.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．【详解】由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=lne﹣3x=﹣3x，∴2ax＝－3x，∴a＝－故答案为：－【点睛】本题主要考查函数奇偶性应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f（x）是解决本题的关键，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角对边分别为，，，已知，且 ，（1）若，求；（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由余弦定理公式，将代换为，即可求解；（2）结合正弦定理先求出，再将代换出来，结合变形即可求证.【小问1详解】若,由余弦定理可得：，，解得；【小问2详解】因为，，所以，根据正弦定理得，，又，所以，即18.如图，在三棱锥中，，，，D为棱AB上一点，，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上. （1）证明：平面PDE；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，根据线段长度可得，然后根据勾股定理逆定理可知，依据题意可知，最后根据线面垂直判定定理可知结果.（2）使用等体积法，计算出，即可得到结果.【详解】取的中点，如图由，，所以且又，所以，//，且，因为为的中点，所以，则，则，即，又E在平面PAB上的射影F在线段PD上，则平面，所以由,平面PDE，所以平面PDE由（1）可知平面，所以，又，为的中点 所以，,平面，所以平面又平面，所以，由，所以所以，由所以，所以由【点睛】思路点睛：第（1）问利用线段长度得到，熟练线面垂直判定定理即可；第（2）问掌握等体积法的使用.19.应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平总书记向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”.近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车宝鸡地区销售在2022年5月至2022年9月这5个月的销售量（单位：辆）的数据如下表：月份2022年5月2022年6月2022年7月2022年8月2022年9月月份代码：12345销售量：4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车宝鸡地区销售量（单位：辆）是否具有较高的线性相关程度?（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01.）（2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程，并预测2022年11月份宝鸡地区的销售量（单位：辆）.（结果保留整数）参考数据：，，， 参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.【答案】（1）具有较高的线性相关程度（2），87辆【解析】【分析】（1）根据所给数据算出相关系数即可；（2）根据所给数据和公式算出答案即可.【小问1详解】由表中数据可得，所以,又，，所以.所以月份代码与销售量（单位:辆）具有较高的线性相关程度，可用线性回归模型拟合销售量与月份代码之间的关系；【小问2详解】由表中数据可得，则，所以，令，可得(辆)， 故可预测2022年10月该品牌的新能源汽车该区域的销售量为辆.20.已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，,,中恰有两点在上.（1）求C的方程；（2）两点在上，且直线,的斜率互为相反数，直线,分别与直线交于,两点，证明：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论并利用待定系数法可求出结果；（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，通过联立方程组求出的坐标，然后利用两点间的距离公式可证等式成立.【小问1详解】因为圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，所以椭圆方程为标准方程，设为，若两点在上，则有，不合题意；若两点在椭圆上，则无解；若两点在椭圆上，则，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】直线， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，设，，联立消去并整理得，则，即，同理可得，所以，，所以，，联立，得，则，联立，得，则，所以，， ，，所以，所以，所以.【点睛】关键点点睛：第（2）问中，联立方程组求出的坐标，再根据两点间的距离公式证明是解题关键.21.设.（1）证明：；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，，根据函数的单调性证明结论成立；（2）通过讨论的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定的取值范围即可．【详解】（1）由题意可设，有，所以在（0，1）单减，所以，即，设，，，则有，单调递增，得，所以 得证；（2）由（1）可知时，成立，则当时，设，则，，单调递增，则，①若，，单调递减，则有，此时不符合题意；②若，，，所以有唯一零点，可记为，则，，此时单调递减，有，则不符合题意；综上可知，即的取值范围为.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为．（1）求曲线C的普通方程；（2）若曲线C与直线l交于A，B两点，且，求直线l的斜率．【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）消元，得到普通方程；（2）先求出直线l的参数方程，再联立曲线方程，利用韦达定理及直线参数方程中的几何意义求解.【小问1详解】由得：，由得：，则曲线C的普通方程为.【小问2详解】由可得，直线l的参数方程为，将其代入中得：，由韦达定理得：，，由可得：，所以，则，，直线l的斜率为.[选修4-5：不等式选讲]23.已知，，，且.（1）求证：；（2）若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）对应用基本不等式可证；（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解． 【小问1详解】，所以，当且仅当时等号成立【小问2详解】由（1）可知对一切实数，，恒成立，等价于，令，当时，，当时，，舍去，当时，，即或.综上所述，取值范围为.