湖北省武汉市部分重点中学（六校）2022-2023学年高三数学上学期第一次联考试卷（Word版附答案）

湖北省部分重点中学2023届高三第一次联考高三数学试卷考试时间：2023年11月16日下午14：00-16：00试卷满分：150分本试卷共4页，22题。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（）A.B.C.D.是等比数列4.恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕。某地区家庭2021年底恩格尔系数为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平，至少经过（）年（参考数据：，，， ）A.8年B.7年C.4年D.3年5.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（）A.56B.28C.24D.126.设，，若对，，则与的夹角等于（）A.30°B.60°C.120°D.150°7.设，，，，，则（）A.，B，C.，D.，8.已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（）个A.8个B.4个或6个C.6个或8个D.4个或8个二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列结论中，正确的有（）A.若随机变量，，则B.将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化C.已知经验回归方程为，且，，则D.在线性回归分析中相关指数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好10.过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，，则（）A.原点在以为直径的圆内B.线段的长度可以为C.圆上存在不同两点，，使D.四边形面积的最小值为 11.正方体的棱长为2，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（）A.与是异面直线B.平面平面C.存在点使得D.当为线段中点时，过，，三点的平面截此正方体所得截面的面积为12.已知函数，，下列判断中，正确的有（）A.存在，函数有4个零点B.存在常数，使为奇函数C.若在区间上最大值为，则的取值范围为或D.存在常数，使在上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，则展开式中不含的各项系数之和为_________.14.若函数满足，则实数_________.15.若双曲线的右支上存在两点，，使为正三角形（其中为双曲线右顶点），则离心率的取值范围为_________.16.平面四边形中，，，，，沿将向上翻折，进而得到四面体，①四面体体积的最大值为_________；②若二面角的大小为120°，则_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）中，，，，.（1）若，，求的长度；（2）若为角平分线，且，求的面积.18.（12分）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.（1）若点是的中点，证明：平面平面；（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.19.（12分）袋中有大小相同的6个球，其中1个白球，2个红球，3个黑球，今从中逐一取出一个球.（1）若每次取球后放回，记三次取球中取出红球的次数为，求的分布列、期望和方差；（2）若每次取球后不放回，直至取出3种颜色的球即停止取球，求取球次数恰好为4次的概率.20.（12分）记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列.（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21.（12分）已知，动点满足以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为.（1）求的方程； （2）设过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.22.（12分）已知函数.（1）求的极值点；（2）设函数，，若为的极小值，求的取值范围.湖北省部分重点中学2023届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准：选择题：题号123456789101112答案BDACBDCBACACDBDBC填空题：13.16114.15.16.①②解答题：17.（10分）解：（1）∵，，∴，又∵在中，，，，∴，∴，即：.（2）在中，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴.18.（12分）解：（1）证明：∵点在底面上的射影为点，∴平面， ∵四边形是边长为的正方形，∴，∵，∴，即：，∴，又∵，点是的中点，∴，同理可得：，又∵，且平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）解：如图，连接，易知，，两两互相垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，假设存在点使得直线与平面所成的角的正弦值为，∵点在棱上，不妨设，，又，∴，∴，设平面的法向量为，则∵，，∴令，则，∴，又，设直线与平面所成的角为，则，∴， 即，解得：或（不合题意，舍去），∴存在点符合题意，点为棱上靠近端点的三等分点.19.（12分）解：（1）易知，且的可能取值为0，1，2，3，，，，∴的分布列为：0123∴，（2）设取球次数恰好为4次是事件，∴∴20.（12分）解： （1）∵，，∴，，设，则，，又∵数列为等差数列，∴，∴，∴.当时，，∴∴，又∵，∴，即：，又∵，∴是以1为首项，为公比的等比数列，∴，即：.（2）∵，且，∴∴.∴.21.（12分）解： （1）设，又∵，∴线段的中点坐标为，又∵以为直径的圆与轴相切，∴，∴化简得：.∴动点的轨迹的方程为.（2）设，，易知斜率不为0，不妨设的方程为：，联立得：，则，.∵，∴，∴，∴，即：，∵，且，∴，又∵∴，∴，∴，∴直线的方程为：，即：或.22.（12分）解： （1）∵，∴，设，则，∴在上单调递增，又∵，∴时，，时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴有极小值点，无极大值点.（2）∵，∴，设，则，当时，，在上单调递减，又∵，∴时，，时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴是的极大值点，与题意矛盾.当时，在上单调递减，且，①当时，若，，∴在上单调递减，又∵∴时，，∴在上单调递减，与题意矛盾. ②当时，若，则，∴在上单调递增，又∵∴时，，∴在上单调递减，若，易证：，则，又∵，∴存在使得，且当时，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增，又∵在上单调递减，∴是的极小值点，符合题意.综上，实数的取值范围为.