安徽省池州市、铜陵市等5地2022-2023学年高三数学上学期11月质量检测（Word版附解析）

2022-2023学年安徽省九师联盟高三11月质量检测一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数满足䁕ൌ1䁕ͳ，则在复平面内对应的点位于()1䁕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合ሼൌሼ1ͳൌ2ሼͳͳሻ，ሼሼ1ሻ，则ൌͳ()A.121ሻB.12C.112ሻD.12ሻh13.若thǡǡ2cosൌ2ሼͳሼሻ，t，则是的32h2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为3，则该圆锥的表面积为()A.2B.23C.12D.15.用一个平面截正方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是()A.锐角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形.若函数ǡsinൌሼͳൌͳ的图象与直线ǡ1的两相邻公共点的距离为，要3得到ǡsinൌሼͳ的图象，只需将函数ǡcosሼ的图象向左平移3511A.个单位长度B.个单位长度C.个单位长度D.个12121212单位长度.如图，在正三棱柱䁜11䁜1中，13，2，则异面直线1与1䁜所成角的余弦值为()512A.B.C.D.13131313.已知函数ൌሼͳ是定义域为的偶函数，ൌሼ1ͳ为奇函数，当ሼ1时，ൌሼͳ䱣2ሼ，若ൌͳൌ3ͳ，则ൌlog2ͳ() A.2B.C.3D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知，ͳͳ，则A.B.ͳC.ͳD.10.已知数列ሻ的前项和为，则()A.若22，则ሻ是等差数列B.若211，则ሻ是等比数列C.若ሻ是等差数列，则223223112ሻ是等比数列，且，，则2D.若12121211.已知函数ൌሼͳ，̵ൌሼͳ是其导函数，ሼൌͳ，̵ൌሼͳcosሼൌሼͳsinሼlnሼ恒成立，2则()5A.ൌͳ3ൌͳcos13ൌ1ͳB.ൌ31ͳൌͳͳ2ൌͳ3312C.2ൌͳͳ3ൌͳD.2ൌͳൌ31ͳൌͳ412412.如图，正四棱锥䁜晦的底面边长与侧棱长均为，正三棱锥晦的棱长均为，则A.䁜2B.正四棱锥䁜晦的内切球半径为ൌ1ͳ2C.，，，四点共面D.平面晦ܦܦ平面䁜三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量ൌ31ͳ，ൌ2ͳ，且ൌ2ͳ，则．1414.已知，若3是与3的等比中项，则的最小值为．15.已知函数ൌሼͳlnൌሼ1ͳൌሼͳ，将ൌሼͳ的图象绕原点逆时针旋转ൌൌͳ角后得到曲线䁜，若曲线䁜仍是某个函数的图象，则的最大值为．16.如图，在几何体䁜晦中，四边形䁜晦为正方形，ܦܦ平面䁜晦，12，晦2 䁜23，则该几何体的外接球的表面积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.ൌ本小题1.分ͳ在各项均为正数的等比数列ሻ中，为其前项和，11，3，22，4成等差数列．ൌ1ͳ求ሻ的通项公式231ൌ2ͳ若log2ൌ1ͳ，数列ሻ的前项和为，证明：ͳ2．1218.ൌ本小题12.分ͳ产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位，好的宣传对产品打开市场，提高销售额有着重要的作用.某生产企业通过市场调研发现，年销售量ǡൌ万件ͳ与宣传费用2ሼൌ万元ͳ的关系为ǡ4ൌሼ2ͳ.已知生产该产品ǡ万件除宣传费用外还要投ሼ12入ൌ112ǡͳ万元，产品的销售单价定为ൌ4ͳ元，假设生产的产品能全部售出．ǡൌ1ͳ求产品的年利润ൌሼͳ的解析式ൌ2ͳ当宣传费用为多少万元时，生产该产品获得的年利润最大19.ൌ本小题12.分ͳ在䁜中，角，，䁜的对边分别为，，，22ൌ14cos2ͳ，且2cosB.ൌ1ͳ求ൌ2ͳ若䁜的周长为423，求䁜边上中线的长．20.ൌ本小题12.分ͳ如图，，分别为正方形䁜晦的边，晦的中点，䁜平面䁜晦，平面䁜晦，䁜与交于点，4，2，䁜32．ൌ1ͳ证明：平面䁜 ൌ2ͳ求点到平面的距离ൌ3ͳ求二面角的大小．21.ൌ本小题12.分ͳ11如图所示的几何体是由等高的个圆柱和半个圆柱组合而成，点为晦的中点，晦为44圆柱上底面的圆心，晦为半个圆柱上底面的直径，，分别为晦，的中点，点，晦，，四点共面，，为母线．ൌ1ͳ证明：ܦܦ平面晦15ൌ2ͳ若平面晦与平面䁜所成的较小的二面角的余弦值为，求直线与平面5䁜所成角的正弦值．22.ൌ本小题12.分ͳ已知函数ൌሼͳ2ሼlnሼൌͳ．ൌ1ͳ讨论函数ൌሼͳ的单调性ൌ2ͳ设ൌሼͳൌሼͳsinሼ，若ሼ1，ሼ2ൌͳ且ሼ1ሼ2，使得ൌሼ1ͳൌሼ2ͳ，证明：ሼ1ሼ2ͳ2． 答案和解析1.【答案】晦【解析】【分析】本题考查复数的四则运算、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．【解答】解：因为䁕ൌ1䁕ͳ，1䁕所以䁕ൌ1䁕ͳൌ1䁕ͳൌ1䁕ͳ，即䁕12，所以1䁕，故在复平面内对应的点为ൌ11ͳ，位于第四象限．2.【答案】䁜【解析】【分析】本题考查了集合的基本运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础题．【解答】解：由ൌሼ1ͳൌ2ሼͳͳ，得ሼͳ1或ሼ2，所以12，由ሼ1，得ሼ1或ሼ1，所以ሼሼ1或ሼ1ሻ，从而ൌͳ112ሻ．3.【答案】【解析】【分析】本题考查条件关系的判断，余弦型函数的值域，分式不等式的求解，属于中等题．【解答】2h1解：由ሼ，得2ሼ，所以ǡ12，即1h2由，得12333h2hͳ2，因为12ͳ1，2，故是的必要不充分条件．4.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，表面积计算，属于基础题．【解答】 解：设圆锥底面半径为，母线长为，则2，所以2，所以圆锥的高为223，12所以33，解得3，3故其表面积212．5.【答案】晦【解析】【分析】本题主要考查正方体的结构特征，截面的形状，属于基础题．【解答】解：易知过不相邻的三个顶点的截面是等边三角形，故A，，䁜都是可能的．故选D．6.【答案】晦【解析】【分析】本题考查正弦型函数的周期、图象变换，属于中档题．【解答】2解：由题意，得，解得2，所以ǡcos2ሼsinൌ2ሼͳ，其图象向左平移hൌhͳ2个单位长度，可得ǡsinൌ2ሼ2hͳ的图象，即为ǡsinൌ2ሼͳ的图象，所以2h2321132䱣ൌ䱣ͳ，解得h12䱣ൌ䱣ͳ，又h，则hmin12.故选D．7.【答案】【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，属于基础题．【解答】解：取1䁜1的中点晦，连接䁜1交1䁜于点，连接晦，1则晦ܦܦ1，且晦1，2则晦1为异面直线1与1䁜所成的角或其补角．13易求11䁜13，1晦3，则晦12， 1313晦2121晦2443所以cos晦1．2晦12131313228.【答案】䁜【解析】【分析】本题考查函数奇偶性及周期性的综合应用，考查了函数值的求解，属中档题．【解答】解：因为ൌሼ1ͳ为奇函数，所以ൌሼ1ͳൌሼ1ͳ，又ൌሼͳ为偶函数，所以ൌሼ1ͳൌሼ1ͳ，所以ൌሼ1ͳൌሼ1ͳ，即ൌሼͳൌሼ2ͳ，所以ൌሼ4ͳൌሼ2ͳൌሼͳ，故ൌሼͳ是以4为周期的周期函数．由ൌሼ1ͳൌሼ1ͳ，易得ൌ1ͳ，ൌ3ͳൌ1ͳൌ1ͳ，所以ൌͳ，所以䱣，2䱣，解得䱣，12，3所以ൌlog2ͳൌ5log23ͳൌ1log23ͳൌlog231ͳൌlog22ͳൌ32log2212ͳ3．9.【答案】䁜【解析】【分析】本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．【解答】1111解：因为ͳͳ，所以，所以ͳͳ，所以，又，所以，所以ͳ，故A错误，B正确因为，，所以，所以ͳ.故D错误，C正确.故选BC．10.【答案】䁜 【解析】【分析】本题考查数列的性质的应用，属于中档题．直接利用数列的定义和性质求出结果．【解答】解：对于，若22，则11，当2时143，显然1时也满足43，故43，故ሻ为等差数列，故A正确对于，若211，则13，2214，332，23显然，所以ሻ不是等比数列，故B错误12223ൌ1223ͳ对于䁜，因为ሻ为等差数列，则2232223112，故C正确对于晦，，故D错误．故选AC．11.【答案】晦【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，涉及函数的构造，利用导数判断函数的单调性，属于较难题．【解答】ൌሼͳ̵ൌሼͳcosሼൌሼͳsinሼlnሼ解：设ൌሼͳthሼൌͳሼͳ2ͳ，则̵ൌሼͳcos2ሼcos2ሼ，当ͳሼͳ1时，̵ൌሼͳͳ；当1ͳሼͳ时，̵ൌሼͳ，2所以ൌሼͳ在ൌ1ͳ上单调递减，在ൌ1ͳ上单调递增，2所以ൌͳൌ1ͳ，ൌͳൌ1ͳ，3所以ൌͳൌͳ2ൌ1ͳ，即2ൌͳ2ൌ1ͳ；32ൌ3ͳcos13所以ൌͳ3ൌͳcos13ൌ1ͳ，故A正确；355因为1ͳͳͳ，所以ൌͳͳൌͳ，3122312525又coscosൌͳ，所以ൌ31ͳൌͳͳ2ൌͳ，故B正确；1244312因为ͳͳͳͳ1，所以ൌͳൌͳ，，ൌͳൌͳ，1244124即ൌͳcosൌͳcos，ൌͳcosൌͳcos，44124412 2因为cos，所以2ൌͳ3ൌͳ，2ൌͳൌ31ͳൌͳ，故C错误，D正1244124确．12.【答案】䁜晦【解析】【分析】本题考查空间组合体的线线、面面的位置关系，球的切接问题，属于综合题．【解答】解：对于，取晦的中点，连接，，则晦，晦，又，平面，，所以晦平面，因为平面，所以晦，又晦ܦܦ䁜，所以䁜，故A正确12对于，设内切球半径为，易求得四棱锥䁜晦的一个侧面的面积为sin2332，所以12212132ൌ2ͳ，故B错误；4，解得4323344对于䁜，取的中点，连接晦，，，晦，易知，晦，，所以晦，晦分别是二面角晦，二面角晦的平面角，易求得晦3晦22晦21晦22晦21，所以cos晦，cos晦，22晦32晦3又晦，晦，所以晦与晦互补，所以，，，共面，故C正确因为，，，共面，又，所以四边形为平行四边形，所以ܦܦ，平面䁜，ᦙ平面䁜，所以ܦܦ平面䁜，同理晦ܦܦ平面䁜，又晦，平面晦，晦，所以平面晦ܦܦ平面䁜，故D正确．513.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的四则运算与数量积，考查模长的求法，属于基础题．【解答】 解：2ൌ31ͳ2ൌ2ͳൌ235ͳ，由ൌ2ͳ，得ൌ2ͳൌ31ͳൌ235ͳ5，解得．32则ൌ31ͳൌ2ͳൌ3ͳ，3325故ൌͳ232．3314.【答案】322【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，指数幂的运算以及等比中项的概念，属于基础题．【解答】141212解：由题意得323，即，所以1，又，所以，，122所以ൌͳൌͳ3322，2当且仅当，即21，22时等号成立．故的最小值为322．15.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用导数求曲线上一点的切线方程，判断图象是否为函数，属于中档题．【解答】1解：̵ൌሼͳ，所以̵ൌͳ1，故函数ൌሼͳ的图象在ൌൌͳͳ处的切线为ǡሼ，其向上ሼ1部分与ǡ轴正向的夹角为，函数ൌሼͳ的图象绕原点旋转不超过时，仍为某函数图象，若44超过，ǡ轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故的最大值为．4416.【答案】32【解析】【分析】本题考查了几何体的外接球问题，属于中档题．【解答】 解：取晦，䁜中点，，正方形䁜晦中心，中点2，连接，，，2，如图，依题意，2平面䁜晦，ܦܦܦܦ，点是的中点，4，等腰晦中，晦，2222，同理22，所以等腰梯形的高22ൌͳ2，2由几何体的结构特征知，几何体的外接球的球心1在直线2上，连接1，1，，正方形䁜晦的外接圆半径22，222111则有222而11，221，1221当点1在线段2的延长线ൌ含点ͳ时，视1为非负数，若点1在线段2ൌ不含点ͳ上，视1为负数，即有21211，即ൌ22ͳ221ൌͳ2，解得，111所以该几何体的外接球的球心为，半径为22，所以该几何体的外接球的表面积4ൌ22ͳ232．17.【答案】ൌ1ͳ解：设数列ሻ的公比为，由题意知4234，11，即412412321因为，，所以，所以2，所以21．12ൌ2ͳ证明：由ൌ1ͳ得21，所以log22，122211所以ൌ1ͳ212ൌ1ͳ21，12111111所以1212222223232ൌ1ͳ21112ൌ1ͳ21． 3显然ሻ单调递增，所以1，1131因为ൌ1ͳ21，所以ͳ2，所以ͳ2．【解析】本题考查了等比数列的通项公式以及前项和公式，以及裂项相消法求和和数列的单调性的于应用，属于中档题．218.【答案】解：ൌ1ͳൌሼͳൌ4ͳǡሼൌ112ǡͳǡ22ǡሼ2ൌ4ͳሼሼ141ሼൌሼ2ͳ．ሼ14ൌ2ͳ由ൌ1ͳ知ൌሼͳ1ሼ，ሼ144所以ൌሼͳ1ൌሼ1ͳ12ൌሼ1ͳ14，ሼ1ሼ14当且仅当ሼ1，即ሼ1时等号成立．ሼ1所以当宣传费用为1万元时，生产该产品获得的年利润最大．【解析】本题考查函数模型的实际应用，属于基础题．19.【答案】解：ൌ1ͳ因为2242cos2又2cos，所以222，2221由余弦定理，得cos䁜．2222又䁜ൌͳ，所以䁜，33由2cos及正弦定理，得sin䁜2sincos，所以sin2，22由ൌͳ，得2ൌͳ，33所以2，解得．322ൌ2ͳ由ൌ1ͳ可知，䁜，所以，33所以，由2cos，得3.因为䁜的周长为423，所以3423，解得2．1设䁜的中点为晦，则䁜晦䁜1．2 21由余弦定理，得晦䁜2䁜晦22䁜䁜晦cos41221ൌͳ，32所以䁜边上中线的长为【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，考查正弦定理，属于中档题．20.【答案】ൌ1ͳ证明：连接晦，因为，分别为，晦的中点，所以ܦܦ晦．因为䁜平面䁜晦，晦平面䁜晦，所以䁜晦，所以䁜．因为四边形䁜晦为正方形，所以䁜晦，又ܦܦ晦，所以䁜，又䁜，䁜平面䁜，䁜䁜䁜，所以平面䁜．ൌ2ͳ解：由ൌ1ͳ知ܦܦ晦，又平面，晦平面，所以晦ܦܦ平面．设䁜与晦的交点为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，由ൌ1ͳ知平面䁜，又平面，所以平面平面䁜，作，为垂足，因为平面平面䁜，平面䁜，所以平面，因为4，䁜32，，为，晦的中点，所以䁜32，，2，䁜由∽䁜得，得1，䁜即点到平面的距离为1．ൌ3ͳ解：由平面䁜可得，同理可证，所以为二面角的一个平面角，因为䁜平面䁜晦，平面䁜晦，所以䁜，同理，又䁜䁜，，所以䁜45，所以， 即二面角的大小为．【解析】本题考查线面垂直的证明、点到平面的距离的几何求法及二面角的求解，考查学生的推理论证能力、逻辑思维能力以及运算求解能力，属中档题．21【.答案】解：ൌ1ͳ证明：取的中点，连接，，又为晦的中点，所以ܦܦ晦，又晦平面晦，平面晦，所以ܦܦ平面晦，因为ܦܦ，，，分别为，的中点，所以ܦܦ，且，所以四边形为平行四边形，所以ܦܦ，又平面晦，平面晦，所以ܦܦ平面晦，又，平面，，所以平面ܦܦ平面晦，因为平面，所以ܦܦ平面晦．ൌ2ͳ解：由题意知䁜，䁜，䁜晦两两垂直，故以点䁜为原点，直线䁜，䁜，䁜晦分别为ሼ轴，ǡ轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．1设圆柱的底面半径为，高为，则䁜ൌͳ，ൌͳ，ൌͳ，晦ൌͳ，ൌͳ，422ൌͳ，ൌͳ，22所以ൌͳ，晦ൌͳ，䁜ൌͳ，䁜ൌͳ，ൌͳ.2222ሼǡ设平面晦的一个法向量ൌሼǡͳ，则，即晦ǡ令ሼ，解得ǡ，，所以ൌͳ 䁜设平面䁜的一个法向量ൌͳ，则䁜即22令2，解得，，所以ൌ2ͳ，22222215所以cosͳ，，2224224225化简，得2222，所以，所以ൌ2ͳ，ൌͳ.22设与平面䁜所成的角为，221232所以sincosͳ，．512【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量解决平面与平面所成的角，直线与平面所成的角，属于综合题．2ሼ22.【答案】解：ൌ1ͳൌሼͳ2ሼlnሼ的定义域为ൌͳ，̵ൌሼͳ2，ሼሼ当时，̵ൌሼͳ在ൌͳ上恒成立，所以ൌሼͳ在ൌͳ上单调递增当时，令̵ൌሼͳͳ，得ͳሼͳ令̵ൌሼͳ，得ሼ，22所以ൌሼͳ在ൌͳ上单调递减，在ൌͳ上单调递增．22ൌ2ͳ证明：ൌሼͳൌሼͳsinሼ2ሼsinሼlnሼ， 由题意知ሼ1，ሼ2ൌͳ，ሼ1ሼ2，不妨设ሼ1ͳሼ2，使得ൌሼ1ͳൌሼ2ͳ.所以2ሼ1sinሼ1lnሼ12ሼ2sinሼ2lnሼ2，整理为ൌlnሼ2lnሼ1ͳ2ൌሼ2ሼ1ͳൌsinሼ2sinሼ1ͳ，令ൌሼͳሼsinሼ，ሼ，则̵ൌሼͳ1cosሼ，所以ൌሼͳሼsinሼ在ൌͳ上单调递增，又ሼ1ͳሼ2，所以ሼ1sinሼ1ͳሼ2sinሼ2，所以ሼ2ሼ1sinሼ2sinሼ1，所以ൌlnሼ2lnሼ1ͳ2ൌሼ2ሼ1ͳൌsinሼ2sinሼ1ͳ2ൌሼ2ሼ1ͳൌሼ2ሼ1ͳሼ2ሼ1，因为ሼ1ͳሼ2，所以lnሼ1ͳlnሼ2，即lnሼ2lnሼ1，ሼ2ሼ1所以．lnሼ2lnሼ1ሼ2ሼ2ሼ1ሼ1ሼ2下面证明ሼ1ሼ2，即证明1，lnሼ2lnሼ1lnሼ2ሼ1ሼ1ሼ2h1h1设hൌh1ͳ，即证明h，只要证明lnh．ሼ1lnhhh1ൌh1ͳ2设ൌhͳlnhൌh1ͳ，则̵ൌhͳ，h2hh11所以ൌhͳ在ൌ1ͳ上单调递增，所以ൌhͳൌ1ͳln11ሼ2ሼ1ሼሼ2所以lnሼ2lnሼ112，所以ሼ1ሼ2，所以ሼ1ሼ2ͳ．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，属于较难题．