江苏省南京师范大学附属中学2023届高三数学上学期期中考试试卷（Word版有解析）

南京师范大学附属中学2022-2023学年度第一学期高三期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，集合B＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，则(CRA)∩B＝A．{x|x＞3或x＜－1}B．{x|0≤x≤3}C．{x|0≤x≤1}D．{x|－3≤x≤1}2．已知z＝(i是虚数单位)的共轭复数为，则的虚部为A．3B．－3C．1D．－13．函数f(x)＝的图象大致为4．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3＝64，且a5＋2a6＝8，则S6＝A．128B．127C．126D．1255．给出下列命题：①垂直于同一直线的两条直线相互平行；②如果两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；④如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．以上命题中真命题的序号是A．①②B．③④C．①③D．②④6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于A，B两点，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为M，∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q．若|AB|＝16，则|PQ|＝A．2B．4C．6D．87．如图，在正三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2，A1B1＝6，AA1＝4，则正三棱台ABC－A1B1C1的外接球体积为 A．B．πC．64D．64π8．已知正实数x，y满足，则x＋4y的最大值为A．B．1C．2D．9二、多项选择题：本题共4小题，每小颗5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．设a，b，c都是实数，下列说法正确的是A．ac2＞bc2是a＞b的充要条件B．lna＞lnb是a2＞b2的充分不必要条件C．△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，则sinA＞sinB是a＞b的充要条件D．tanθ＝是的必要不充分条件10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x)＝－f(x＋2)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则下列结论正确的有A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称B．函数f(x)是周期函数C．函数f(x)在[2020，2022]上单调递增D．函数f(x)有最小值－111．已知F1，F2分别为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有A．椭圆C的离心率为B．椭圆C的长轴长为2C．若点M是线段PQ的中点，则MO的斜率为－D．△OPQ的面积的最大值为12．已知函数f(x)＝lnx－ax2，则下列结论正确的有A．当a＜时，y＝f(x)有2个零点B．当a＞时，f(x)≤0恒成立 C．当a＝时，x＝1是y＝f(x)的极值点D．若x1，x2是关于x的方程f(x)＝0的2不等实数根，则x1x2＞e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知向量＝(2，3)，＝(－1，2)，＝k＋，则k＝．14．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x＞0时，f(x)＝2x－1，且函数y＝f(x＋1)关于点T(－1，0)对称，则满足f(2x－3)＋f(x2)≤0的取值范围是．15．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是．16．已知F1，F2分别为双曲线C：(a＞0，b＞0)的左，右焦点，过点F2且斜率为1的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，若△F1PQ是等腰三角形，则双曲线C的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}与正项等比数列{bn}，满足a1＝b1＝3，b3－a7＝12，a2＋b2＝14．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)在①cn＝；②cn＝anbn；③cn＝这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解．若，求数列{cn}的前n项和．(注：若多选，以选①评分)18．(本小题满分12分) 点D为△ABC边AB上一点，满足AD＝2，DB＝8，记∠ABC＝α，∠BAC＝β．(1)当CD⊥AB，且β＝2α时，求CD的值；(2)若α＋β＝，求△ACD的面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，AD＝4，点E为线段AD的中点，将△CDE沿着CE折起到△CPE位置，M为EC的中点．(1)求证：平面BPM⊥平面ABCE；(2)当平面CPE⊥平面ABCE时，求二面角B－PC－E的余弦值．20．(本小题满分12分) 史明理，学史增信，学史崇德，学史力行．近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表：成绩/分[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100)频数40902004001598040(1)求这1000份试卷成绩的平均数?(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(2)假设此次测试的成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，已知s的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)?(3)该市教育局准备从成绩在[90，100]内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记Y为抽取的3份试卷中测试成绩在[95，100]内的份数，求Y的分布列和数学期望．参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，p(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973． 21．(本小题满分12分)已知抛物线Γ：y＝x2的焦点为F．(1)求抛物线Γ的准线方程：(2)若过点F的直线l与抛物线Γ交于A，B两点，线段AB的中垂线与抛物线Γ的准线交于点C，请问是否存在直线l，使得tan∠ACB＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sinx－x＋x3．(1)若，求函数f′(x)在[0，＋∞)上的最小值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≥0，求m的取值范围．