江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版有答案）

南京师大附中2022-2023学年度第1学期高二年级期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.2.若将直线沿轴正方向平移3个单位，再沿轴负方向平移2个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（）A.B.C.D.3.若数据，，，…，的方差为7，则数据，，，…，的方差为（）A.7B.49C.8D.644.已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，顶点在椭圆上，则的值为（）A.4B.6C.8D.105.已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.6.已知矩形的长为2，宽为1，以为坐标原点，，边分别为轴正半轴，轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若将矩形折叠，使点落在线段上（包括端点），则折痕所在直线纵截距的最小值为（） A.B.C.2D.37.过坐标原点作直线：的垂线，若垂足在圆上，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知实数，，，满足，，，则的最大值是（）A.B.6C.D.12二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.若曲线：，下列结论正确的是（）A.若曲线是椭圆，则B.若曲线是双曲线，则C.若曲线是椭圆，则焦距为D.若曲线是双曲线，则焦距为10.为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分进行了统计，把得分数据按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A.B.得分在区间内的学生人数为200 C.该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80D.估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内11.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的可能取值有（）A.B.C.3D.412.已知点为双曲线：右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，，过点作交于点，过点作交于点.为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线过点，且在两坐标轴上截距互为相反数，则直线方程为_________.14.若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________.15.已知圆和直线相交于，两点，若射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转，角得到，则的值为_________.16.已知，为椭圆左、右焦点，过椭圆的右顶点点作垂直于轴的直线，若直线上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.已知直线经过两直线：和：的交点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若点，到直线的距离相等，求直线的方程.18.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一 种主流经济形式.某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图.（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流.如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示.（3）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；（4）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率.19.已知椭圆：的离心率为，点，分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于，两点，且点恰为的重心？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.20.如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与圆：交于点（与不同），过原点且垂直于的直线与圆：交于，两点. （1）记直线的倾斜角为，求的取值范围；（2）若线段的中点为，求面积的取值范围.21.已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上.南京师大附中2022-2023学年度第1学期高二年级期中数学参考答案一、单选题1.【答案】B【解析】，.2.【答案】C【解析】不妨设原直线上点，即.3.【答案】A【解析】数据离散程度不变.4.【答案】A【解析】，，即.5.【答案】B【解析】由正弦定理得，，由椭圆定义得，即.6.【答案】B【解析】设折痕所在真线斜率为，设点折叠后落在上点为，则与折痕垂直，即，即，所以中点，因此折痕所在直线方程为： ，其纵截距为.7.【答案】C【解析】，即直线过定点，要满足题意则点不能在圆内，即.8.【答案】D【解析】设，，则原题等价于点，是圆上两点，且，设中点，由垂径定理可得在圆上运动，所以本题等价于求到直线的距离倍的最大值.二、多选题9.【答案】BCD【解析】A.时，系数为负数，故错.B.若为双曲线，则，故对.C.若为椭圆，则，故对.D.若为双曲线，则，故对.10.【答案】ABD【解析】A.，故对.B.，故对.C.中位数，故错.D.平均数，故对.11.【答案】AC【解析】以为圆点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则由已知有：，，，，即在圆上， 所以有，则.12.【答案】ABD【解析】A.设，则，故对.B.由垂直可知，，一定在以为直径的圆上，故对.C.由已知两渐近线夹角，则，同理可得，故错.D.，故对.【注】当为双曲线右顶点时，易得，即，且为等边三角形，边长为，可知，故C错.三、填空题13.【答案】或【解析】（1）直线过原点时，即：；（2）直线不过原点时，直线斜率为1，即：.14.【答案】8【解析】由对称性可得四边形为矩形，即，即，由椭圆定义与勾股定理得，即.15.【答案】 【解析】，即，，所以，，设直线倾斜角为，其中，因此由题意，，即，或可利用三角函数的定义得.16.【答案】【解析】由“同弧所对圆周角为定角”可知即在两段优弧上运动，由圆的垂径定理可得两段优弧所对的圆心为，半径为，又因为在直线上，所以直线与圆弧有交点，即.四、解答题17.【解析】（1），设直线斜率为，则，所以：；（2）①，在同侧，则，即，所以：；②，在两侧，则中点在上，所以，综上所述，直线的方程为或.18.【解析】（1）抽取小吃类商家（家），抽取玩具类商家（家）；（2）由图可得，（i）该直播平台优秀商家个数约为（家）； （ii）由已知得：抽取的优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家.设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为，则.19.【解析】（1）由已知得：；（2）①直线斜率存在时，设，，：，，若存在直线使得为重心，则，即，所以有，即：；②直线斜率不存在时，由重心可知中点应在直线上，而此时明细不成立，综上所述，存在直线满足题意，其方程为：.20.【解析】（1）由题意即直线与圆相交，且直线与圆相交，①直线斜率存在时，设直线斜率为，即，由题意有，即；②直线斜率不存在时，易得：，：，即，， 满足题意，此时.综上所述，；（2）设到直线的距离为，到直线的距离为，则①直线斜率存在时，有，所以，②直线斜率不存在时，.综上所述，面积的取值范围是.21.【解析】（1）根据对称性，定在椭圆上，若也在则方程组无解，所以为椭圆上第三个点，即可知，所以椭圆的方程为：；（2）由（1）得：，，设，，：.要证明内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明的角平分线为定直线，即证，即，即证，只要证，由已知得，所以成立，即得证，即内切圆的圆心在定直线上.