江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一数学上学期期中试卷（Word版有解析）

南京师大附中2022-2023学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合且，集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合包含的元素特征，结合的结果可得结果.【详解】，.故选：D.2.已知为实数，使“”为真命题一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】依题意，全称量词命题：为真命题，区间上恒成立，所以，所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.故选：B3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A.若a＜b，则B.若a＞b＞0，则C若a＞b，则D.若，则a＞b 【答案】D【解析】【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确.【详解】当时，，选项A错误；，所以，所以选项B错误；时，，所以选项C错误；时，，所以选项D正确.故选：D4.设，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】观察所求结构知把放到对数的真数部分作指数即可求解．【详解】解：，故选：C．5.设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，要使二次函数在区间上有且仅有一个零点，则需， 所以的取值范围是.故选：C6.世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得.【详解】，，.故选：C.7.已知奇函数的定义域为，且对任意两个不相等的正实数，都有，在下列不等式中，一定成立的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用题意得到在单调递增，可得到，结合奇函数即可得到答案【详解】对任意两个不相等的正实数，可得 ，即在单调递增，所以，因为是定义域为的奇函数，且，所以即，故选：A8.已知函数是定义域为区间，且图象关于点中心对称．当时，，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的条件，可得，再与已知联立结合函数单调性及定义域解不等式作答.【详解】因函数的图象关于点中心对称，则有，而，于是得，即，又当时，，有在上单调递增，则在上单调递增，而，因此函数在上单调递增，于是得，解得，所以满足的x的取值范围是.故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分． 9.若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据两个命题的真假，判断出集合中元素的范围，确定合适的答案.【详解】由题意，且，，即集合中一定要有小于0的元素，且任何元素都小于3，故，满足.故选：AD.10.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“”的否定是“”C.“”是“”的既不充分也不必要条件D.设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】ACD【解析】【分析】对于ACD，化简不等式即可判断；对于B，利用全称命题的否定即可判断【详解】对于A，由可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于B，命题“”的否定是“”，故不正确；对于C，由解得或，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确；对于D，由解得且，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确，故选：ACD11.设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（） A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，A选项正确.B选项，时，，但，B选项错误.C选项，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，C选项正确.D选项，时，，但，D选项错误.故选：AC12.已知函数，则（）A.是奇函数B.在上单调递增C.方程有两个实数根D.函数的值域是【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的定义域，不关于原点对称可判断A，分离常数后可得函数的单调性可判断B，解方程可判断C，分离常数求解函数值域可判断D.【详解】A．函数的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；B．时，，函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，故在上单调递增，B正确；C．由题可得是方程的一个根，时，(舍去)，时，，故C正确；D．时，，时，，当时，，所以函数的值域为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.命题“，或”的否定是____________．【答案】，【解析】【分析】由特称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.故答案为：，.14.已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．【答案】3【解析】【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 【详解】由不等式性质，得；；．故可组成3个真命题．故答案为：3.15.的值为____________【答案】##【解析】【分析】将和配凑成完全平方的形式，代入所求式子中，结合对数运算可求得结果.【详解】，，.故答案为：.16.已知函数的图象关于直线对称．若，则____________，若，函数的最小值记为，则的最大值为____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据函数的对称性，利用特殊值得到方程组，求出、、的关系，从而求出，得到，根据对称性仅研究时函数最小值，，令，，根据二次函数的性质求出，再根据的取值范围计算可得. 【详解】解：当时，，因为其图象关于对称，所以，即；当时，因为其图象关于对称，所以，此时，由对称性仅研究时函数最小值，令，则，令，，因为，所以，，则，即，所以；故答案为：；四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.化简求值（需要写出计算过程）（1）若，，求的值；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先取对数将表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.【小问1详解】 ，，得【小问2详解】原式18.已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合．（1）设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C⊆（A∩B），求a的取值范围：（2）设m为实数，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根据解绝对值不等式的公式，结合分式的性质、交集的定义、子集的性质进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】，所以，，所以，（1）由已知得，①时，，此时满足题意；②时，，要满足题意需 综上所述，a的取值范围是；【小问2详解】由已知得，由题意得D是的真子集，所以，要满足题意需（等号不同时成立）答：满足条件的m存在，取值范围是．19.设a，b，c为实数，且，已知二次函数，满足，．（1）求函数的解析式：（2）设，当x∈[t，t＋2]时，求函数f（x）的最大值g（t）（用t表示）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，根据多项式相等的条件，建立方程组，可得答案；（2）根据二次函数的性质，由给定区间与对称轴之间的位置关系，利用分类讨论，可得答案.【小问1详解】由，解得，所以，，可得，则，解得，即； 【小问2详解】由可知其对称轴为轴，开口向下，①当，即时，在上单调递增，所以；②当时，在上单调递减，所以；③当，时，在上单调递增，在上单调递减，所以综上所述，．20.某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．（1）写出总成本（百元）关于日产量的关系式（2）当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．【答案】（1）（2）当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元【解析】【分析】（1）根据生产天数要求，可确定的取值范围；计算可得日产量不足和大于等于时，氦气的平均成本，由此可得关系式； （2）分别在、的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.【小问1详解】若每天生产氦气，则需生产天，，则；若氦气日产量不足，则氦气的平均成本为百元；若氦气日产量大于等于，则氦气的平均成本为百元；.【小问2详解】当时，（当且仅当，即时取等号），当时，取得最小值；当时，，令，则，，则当，即时，取得最小值；综上所述：当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元.21.设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，．（1）判断的奇偶性，并加以说明；（2）判断的单调性，并加以证明；（3）设为实数，若，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）是奇函数；证明见解析（2）为减函数；证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令可求得，令可得，由此可得奇偶性；（2）设，由可得，由此可得单调性；（3）利用单调性可将恒成立的不等式化为，利用二次函数性质可求得，由此可得的取值范围.【小问1详解】令，则；令，则，即，为定义在上的奇函数.【小问2详解】设，则，，又，，为定义在上的减函数.【小问3详解】由得：，在上单调递减，；当时，取得最大值，最大值为，，即实数的取值范围为. 22.设a为实数，已知函数为偶函数．（1）求a的值；（2）判断在区间上的单调性，并加以证明；（3）已知为实数，存在实数m，n满足，当函数的定义域为时，函数的值域恰好为，求所有符合条件的的取值集合．【答案】（1）；（2）在上单调递增；证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，利用偶函数的定义计算作答.（2）单调递增，再利用函数单调性定义推理作答.（3）利用（2）的结论，探讨函数的最值，转化为一元二次方程有两个正实根求解作答.【小问1详解】函数的定义域为，因是偶函数，即，因此，整理得，即，于是得，所以.【小问2详解】由（1）知，，显然函数在上单调递增，，则， 因，则，，即，因此在上单调递增.【小问3详解】由（2）知，在上单调递增，又函数在上的值域恰好为，于是得，有，即关于x方程在上有两个不等的正根，，则，解得，所以取值集合是.【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.