江苏省灌南高级中学2022-2023学年高一数学上学期期中模拟试卷（Word版有解析）

江苏省灌南高级中学2022-2023上学期期中考试数学模拟试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，8题共40分）1.已知集合，，且，则a＝（）A.0或B.0或1C.1或D.0【答案】A【解析】【分析】根据集合元素相等列方程求解，注意集合元素的互异性对集合元素的限制.【详解】∵，∴或，∴或a=，又由于集合元素的互异性，应舍去1，∴或a=.故选：A．2.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由“，”为假命题，可得“”，，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.【详解】若“，”为假命题，所以“”，，为真命题，所以A，B，D不正确，排除A，B，D．故选：C．3.若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用判别式即可得到结果.【详解】∵“，使”是真命题，∴，解得.故选：C4.南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意得，则，当且仅当，即时取等号，所以三角形面积的最大值为.故选:B5.已知集合，则（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合和取交集即可.详解】，，所以.故选：A6.若“x>1或x<-2”是“x<a”的必要条件，则a的最大值是（　　）A.2B.-2C.-1D.1【答案】B【解析】【分析】由必要不充分条件的定义结合数轴即可求解【详解】∵“x>1或x<-2”是“x<a”的必要不充分条件，∴x<a⇒x>1或x<-2，但x>1或x<-2x<a.如图所示，∴，∴a的最大值为-2.故选：B7.设集合，，且，则（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】 【分析】分类讨论解不等式，确定集合，根据，确定，求得答案.【详解】解，即，当即时，，此时，不合题意；故，即，则，由于，，所以，解得，故选：C8.已知，则的最小值为（）A.50B.49C.25D.7【答案】B【解析】【分析】由结合基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为49.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选）下列说法中不正确的是（）A.集合为无限集B.方程的解构成的集合的所有子集共4个 C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题设条件利用无限集的定义、集合元素的性质、子集的意义、集合相等的定义逐一判断即可得解.【详解】集合，不是无限集，故A中说法不正确；方程的解构成的集合为，其所有子集为，，，，共4个，故B中说法正确；集合的元素为直线上的点，，故，故C中说法不正确；因为，，所以，故D中说法不正确．故选：ACD．10.（多选）下列命题为真命题的是（）A.，B.“”是“”的必要而不充分条件C.若x，y是无理数，则是无理数D.设全集为R，若，则【答案】ABD【解析】【分析】对A，有实数解，举例即可判断；对B，分别判断必要性和充分性；对C，x，y的无理数部分互为相反数时，不是无理数；对D，由补集概念即可判断 【详解】对A，当时，成立，故A正确；对B，当时，成立，但当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故B正确；对C，当，时，，不是无理数，故C错误；对D，全集为R，若，则，故D正确.故选：ABD.11.已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则关于x的不等式的解集也为MC.若，则关于x的不等式的解集为或D.若{为常数}，且，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用二次函数的图象可知A正确；对于B，令，当时，不等式的解集不为M，B不正确；对于C，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；对于D，根据得到且，将代入，然后换元，利用基本不等式可求出最小值，可知D正确.详解】对于A，若，即一元二次不等式无解，所以，故A正确；对于B，令，则，，， 所以可化为，当时，可化为，其解集为；当时，可化为，其解集不等于，所以B不正确；对于C，若，则且和是一元二次方程的两根，所以，，所以，，所以关于x的不等式可化为，可化为，因为，所以，所以或，即不等式的解集为或，故C正确；对于D，因为{为常数}，所以且，所以，因，所以，令，则，所以，当且仅当，则时，等号成立.所以的最小值为，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项中，根据得到且，将代入，然后换元，利用基本不等式求解是解题关键.12.已知a，b为正实数，且，则（） A.ab的最大值为8B.的最小值为8C.的最小值为D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.【详解】因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；由得，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；，当且仅当，即时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已如集合，则______【答案】【解析】【分析】由交集的定义求解即可【详解】因为集合， ，所以，故答案为：14.已知集合，，设全集为R，若，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】解不等式求得，根据，分类讨论m的取值，确定集合B，从而求得m的取值范围.【详解】解不等式，得，所以或，，因为，当时，，满足题意；当时，，满足题意．当时，，由，得，所以．综上，m的取值范围为．故答案为：15.已知，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)①若，则②若，则;③若，则;④若，则.【答案】②③【解析】【分析】①取检验即可；②和③利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改 变；④取检验即可【详解】①若，当时，则，故①错误；②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确；③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确；④若，当时，则，故④错误；故答案为：②③16.，，且恒成立，则的最大值为__．【答案】4【解析】【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．【详解】解：由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案为：4．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知全集，集合，．（1）若且，求实数的值；（2）设集合，若真子集共有个，求实数的值． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得和，进而求得，再根据求解即可；（2）分情况讨论与分析即可.【小问1详解】因为，，因此，．若，则或，解得或．又，所以．【小问2详解】，，当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，综上所述，．18.若正数，，满足．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对直接利用基本不等式，即可得出的最大值；（2）将看作一个整体，由，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.【小问1详解】 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以当，时，．小问2详解】，当且仅当时等号成立，∴当，时，．19.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解；（2）由“”是“”的必要不充分条件，可得B是A的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.【小问1详解】解：若，则，所以；【小问2详解】解：，因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以，解得，所以实数a的取值范围是． 20.黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．（1）求的值；（2）当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【答案】（1）（2）汛期的第9天会有危险，理由见解析【解析】【分析】（1）根据条件可建立方程，解出即可；（2）设第天发生危险，由题意得，解出此不等式，然后可得答案.【小问1详解】由题意得：，即【小问2详解】由（1）得设第天发生危险，由题意得，即，得．所以汛期的第9天会有危险21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m 万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.【小问1详解】由题意知，当时，（万件），则，解得，∴．所以每件产品的销售价格为（元），∴2020年的利润．【小问2详解】∵当时，，∴，当且仅当即时等号成立．∴，即万元时，（万元）．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．22.不等式的解集为，关于的不等式的解集为． （1）求集合，集合；（2）若集合中有2021个元素，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析.（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法和含参二次不等式的解法求解即可；（2）由题知中包含2021个正整数，进而当，才能满足题意，再求解范围即可.【小问1详解】解：由，解得或，所以，当，即，；当时，不等式解集为；当，即时，；所以，当时，，当时，；当时，.【小问2详解】解：若集合中有2021个元素，则中包含2021个非负整数；又，所以，要使则中包含2021个正整数，则，,, 所以中的正整数为1，2，…，2021，所以，解得.所以．