银川一中2023届高三数学（文）上学期第二次月考试题（Word版有解析）

银川一中2023届高三年级第二次月考文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（）A.无症状感染者B.发病者C.未感染者D.轻症感染者2.已知，则（）A.B.C.D.3.如图所示的程序框图，输入3个数，，，，则输出的为（） A.0B.C.D.4.已知是等差数列，，，则的公差等于（）A.3B.4C.-3D.-45.设，，，…，，，则（）AB.C.D.6.若，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.7.若x，y满足约束条件，则的最大值为（）．A.6B.10C.14D.188.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的取值范围是（）A.B.C.D. 9.函数的图像大致是（）AB.C.D.10.已知实数，且，则的最小值是（）A.6B.C.D.11.已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.B.C.D.12.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（）A.B.C.D.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）13.已知函数，若f[f(-1)]=4，且a>-1，则a=______.14.若，使成立是假命题，则实数的取值范围是___________. 15.数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.16.已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．三､解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17.如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为5米和8米，设休闲区的长为米．（1）求矩形所占面积（单位：平方米）关于函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？18.已知函数，在处切线的斜率为-2.（1）求的值及的极小值；（2）讨论方程的实数解的个数.19.已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.对于数列、，把和叫做数列与的前项泛和，记作为.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列与数列的前项的泛和为，且恒成立，求实数的取值范围；21.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若关于x的方程在无实数解，求实数a的取值范围.（二）选考题（共10分.请考生在第22､23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(α为参数)，直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.[选修4—5：不等式选讲]23.设函数.（1）求的最小值m；（2）设正数x，y，z满足，证明：. 银川一中2023届高三年级第二次月考文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（）A.无症状感染者B.发病者C.未感染者D.轻症感染者【答案】A【解析】【分析】由即可判断S的含义.【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，故选：A.2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知，先根据给的复数，写出其共轭复数，然后带入要求的式子直接计算即可.【详解】由已知，，， 所以.故选：D.3.如图所示的程序框图，输入3个数，，，，则输出的为（）A.0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件结构的程序框图，依次执行，即得解【详解】由题意，输入，，第一步，判定是否成立，由于因此赋值，第二步，判定是否成立，由于因此赋值 输出故选：D4.已知是等差数列，，，则的公差等于（）A3B.4C.-3D.-4【答案】C【解析】【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差．【详解】，，则的公差，故选：C5.设，，，…，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别求解，归纳可得，即得解【详解】，，，，，所以（）．故．故选：A6.若，则下列不等式成立的是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用列举法排除A，B；利用作差法排除选项C，进而得出正确选项．【详解】取，，则，排除A，B；因为，则，，从而.又，即，则，所以，故选：D.7.若x，y满足约束条件，则的最大值为（）．A.6B.10C.14D.18【答案】B【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最大值，此时. 故选：B.8.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.【详解】［方法一］：特殊函数法由题意，不妨设，因为，所以，化简得．故选：D.［方法二］：【最优解】特殊值法假设可取，则有，又因为，所以与矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故选：D.［方法三］：直接法根据题意，为奇函数，若，则，因为在单调递减，且，所以，即有：，解可得：. 故选：D.【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．9.函数的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，根据函数过及值域范围，即可确定答案.【详解】由时，排除B、C；又，当且仅当时等号成立，故，排除D.故选：A10.已知实数，且，则的最小值是（）A.6B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造，利用均值不等式即得解【详解】， 当且仅当，即，时等号成立故选：B【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题11.已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合得到，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果.【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；作出在上的图象，如图： 关于x的方程有5个不同的实根，令，则有两个不同的实根，所以，令，则，解得，故选：A.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12.英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列 的前项和为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得，然后等比数列的前项和公式求得，进而求得正确答案.【详解】依题意，，，，依题意，即，则，（由于，所以），则，两边取对数得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以，所以.故选：A二､填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分） 13.已知函数，若f[f(-1)]=4，且a>-1，则a=______.【答案】1【解析】【分析】利用分段函数的性质求解.【详解】解：因为函数，所以又因为a>-1，所以，所以，则，解得，故答案为：1.14.若，使成立是假命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】转化为“，使得成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】若，使成立是假命题，则“，使得成立”是真命题，即，恒成立， 因为时等号成立，所以，所以，故答案为：.15.数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.【答案】2n－1(n∈N*)【解析】【分析】利用累加法可得数列通项公式.【详解】an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1(n∈N*).又时，符合an＝2n－1故答案为：2n－1(n∈N*).16.已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．【答案】【解析】【分析】令，对函数求导，根据条件可得单调递增，且单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．【详解】的解集为的解集，令， 则，因为，所以当时有，所以，即当时，单调递增，又因为，所以，所以的解集为的解集，由单调性可知，又因为为偶函数，所以解集为【点睛】本题解题的关键是构造新函数，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．三､解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17.如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为5米和8米，设休闲区的长为米．（1）求矩形所占面积（单位：平方米）关于的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？ 【答案】（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为40米，25米.【解析】【分析】（1）由休闲区的长为米，得出休闲区的宽以及矩形的长与宽，利用矩形面积公式求解即可；（2）利用基本不等式可得所占面积的最小值．【详解】（1）因为休闲区的长为米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为；从而矩形的长与宽分别为米，米，因此矩形所占面积；（2）；当且仅当，即时取等号，此时．因此要使公园所占面积最小1960平方米，休闲区的长和宽应分别为40米，25米．18.已知函数，在处切线的斜率为-2.（1）求的值及的极小值；（2）讨论方程的实数解的个数.【答案】（1），极小值；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）由函数在处切线的斜率为-2，可得，解方程得出的值；对函数求导，列表格判断出单调性，进而可得函数的极小值；（2）由（1）单调性以及极限趋势，分类讨论的范围，可得实数解的个数．【详解】解：（1）， 因为在处切线的斜率为-2，所以，则.，令，解得或，当x变化时，，变化情况如下：x-2100单调递增单调递减单调递增故的极小值为.（2）由（1）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.当时，；当时，.当或时，方程有1个实数解；当或时，方程有2个实数解当时，方程有3个实数解.19.已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等差等比数列的性质求解，即可做出判断；（2）利用裂项求和化简后即可证明. 【详解】（1）若选①，为与的等比中项，则，由为等差数列，，得，∴，把代入上式，可得，解得或（舍）.∴，；若选②，等比数列的公比，，，可得，即，即有，即;又，可得，即，解得，不符题意，故选①，此时；（2）∵，∴；∴.20.对于数列、，把和叫做数列与的前项泛和，记作为.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列与数列的前项的泛和为，且恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令可求得的值，当时，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）分为偶数和奇数两种情况讨论，求出的表达式，结合参变量分离法可求得实数的取值范围，综合即可得解.【小问1详解】解：当时，，当时，由①，可得②，①②得，，数列是以为首项，为公比的等比数列，.【小问2详解】解：对任意的时，，，当为偶数时，即当时，，故对任意的，都成立，即对任意的恒成立，易知，当时，，故；当为奇数时，即当时，，故对任意的，恒成立，即对任意的恒成立.易知，当时，，故.综上所述，实数的取值范围是.21.已知函数. （1）当时，求函数的极值；（2）若关于x的方程在无实数解，求实数a的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）代入，求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间及极值情况；（2）构造函数，二次求导，确定导函数的单调性，结合端点值，对进行分类讨论，确定实数a的取值范围.【小问1详解】当时，，定义域为R，，令，解得：，当时，，单增，当时，，单减所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.【小问2详解】即在无实数解，令，则，令，则，因为，所以，所以，，即在上单调递增，其中，当，即时，时，， 在上单调递增，又，故当时，没有零点；②当，即时，令，在上恒成立，所以在上单调递增，所以，故，，所以，又，故存在，使得，当时，，单调递减，又，故当时，，所以在内没有零点，当时，，单调递增，因为，所以，且令，，，，令，，，所以在上单调递增，又，故时，，在上单调递增，所以，故， 又，由零点存在性定理可知，存在，，故在内，函数有且仅有一个零点，综上：时满足题意即的取值范围是【点睛】导函数求解参数取值范围问题，通常需要构造函数，求出构造函数的导函数，确定其单调性，极值和最值情况，本题中要注意到特殊点的函数值，确定参数的取值范围，即必要性探究，再进行充分性证明.（二）选考题（共10分.请考生在第22､23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(α为参数)，直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.【答案】（1）：ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0，：；（2）.【解析】【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求.【详解】（1）曲线C1的参数方程为(α为参数)，直角坐标方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0直线C2的方程为y=，极坐标方程为；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣(2+2)ρ+7=0， 设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴=.[选修4—5：不等式选讲]23.设函数.（1）求的最小值m；（2）设正数x，y，z满足，证明：.【答案】（1）6（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得函数的最小值；（2）已知条件适当转化后，然后利用柯西不等式证明.【小问1详解】,当且仅当，即时取“等号”，所以的最小值为6；【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，，故原不等式成立.