湖南省长沙市一中名校联考联合体2022-2023学年高三数学11月联考试卷（Word版有答案）

名校联考联合体2022年秋季高三11月联考数学时量：120分钟满分：150分得分______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知（为虚数单位），则的虚部为（）A.B.C.D.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.已知，，，则（）A.B.C.D.4.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，若球与圆柱的体积之比为，则抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.5.已知，则（）A.B.C.D.26.已知，设，则（）A.B.0C.1D.2 7.已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为，又双曲线与直线交于，两点，点为右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，曲线的左、右焦点分别为，.若，则下列说法正确的是（）A.B.双曲线的渐近线方程为C.若，则的面积为1D.双曲线的离心率为8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（）A.999B.749C.499D.249二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（）A.在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人B.图中的值为0.020C.估计全校学生成绩的中位数约为86.7 D.估计全校学生成绩的80%分位数为9510.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称B.在上的值域为C.若，则，D.将的图象向右平移个单位长度得的图象11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数在上不具有单调性B.不是周期函数C.函数为偶函数D.当时，函数的最小值是012.如图，在直角梯形中，，，，将沿翻折，得到大小为的二面角，，分别是，的中点.则（）A.B.异面直线与所成角的正弦值为C.二面角的大小为D.三棱锥的表面积为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.如图，四边形是边长为8的正方形，若，且为的中点，则______.14.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则______.15.设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，直线与相交于点.若，且的面积为，则直线的斜率______，抛物线的方程为______.16.已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是______.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知内角，，的对边分别为，，，若（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.18.（12分）已知等差数列的前项和为，公差不等于零，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求证（且）19.（12分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使 得，分别过点，作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.20.（12分）2022年卡塔尔世界杯将于当地时间11月20日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：甲球队总计胜负未参加比赛3070参加比赛10总计70（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？（2）根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置，且出场率分别为：0.2，0.5，0.3；在甲出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则：①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率；③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828.21.（12分）已知函数，（1）求和的极值； （2）证明：22.（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，.，是该椭圆的下顶点和右顶点，且，若该椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）经过点的直线：交椭圆于，两点（点在点下方），过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，求证：为定值.名校联考联合体2022年秋季高三11月联考数学参考答案题号123456789101112答案DACBBDCAACDBDCDACD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.D【解析】因为，所以，虛部为.故选D.2.A【解析】因为，，所以.故选A.3.C|【解析】因为，又，所以.故选C.4.B【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高.则球的体积，圆柱的体积，∴.所以，则其准线方程为，故选B. 5.B【解析】依题意，，，，故选B.6.D【解析】因为，所以由组合数的性质得，所以，令，得，即.令，得，所以，故选D.7.C【解析】因为双曲线：的焦点到渐近线的距离为1，则，所以双曲线方程为：，由可得，设，，则，即，∴，设则，，所以，即，又，，，所以，∴，即，故A错误；所以双曲线：，，双曲线的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D错误；若，则，所以，的面积为1，故C正确.故选C. 8.A【解析】由，得，又，所以数列是以4为首项，5为公比的等比数列，则；①由得，，又，所以数列是常数列，则，②由①②联立可得.因为，所以即，所以故所以，则.故选A.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9.ACD【解析】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；由，得，故B错误；设中位数为，则，得，故C正确；低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为，则，解得，故D正确.故选ACD.10.BD【解析】由题得，令，则，，故A错误；当时，，.故B正确； 因为的周期，所以若，则，，故C错误；将的图象向右平移个单位长度得的图象，故D正确.故选BD.11.CD【解析】对于A，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，A错误；对于B，定义域是，，因此是函数的一个周期，B错误；对于C，由得，函数定义域是，关于原点对称，，，∴，所以函数为偶函数，C正确；对于D，当时，故在上为减函数，在上为增函数，∴当时，取得最小值0，D正确.12.ACD【解析】由题意知，，，，取的中点，连接，，因为，，分别为，的中点，所以，，又，所以，如图，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，所以所以，故A正确；由，设异面直线与所成的角为，则，，故B错误；设平面的一个法向量为，又，由得令，得，，则，又易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为， 则又易知二面角为锐角，故，，故C正确；由，，，则为等腰三角形，所以又，，在中，由余弦定理得，，，所以又，，所以三棱锥的表面积为，故D正确，故选ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.20【解析】以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 则，，所以.14.0|（解析]由切点，，则在点处的切线方程为，即；由切点，，则在点处的切线方程为，即由题知：两条直线是同一条直线，则：化简得：.∴15.（任意填对一空得3分）【解析】如图所示，，，所以∵轴，，，∴所以四边形为平行四边形， ∴，，∴解得，代入可取，∴解得，∴，∴16.【解析】已知，则，故函数在定义域内为非奇非偶函数，令，则，则在定义域内为奇函数，设的最大值为，则最小值为，则的最大值为，最小值为，则，∴，.∴当时，， ∴关于中心对称.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）因为，所以所以，（2）因为的面积为，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的周长为.18.【解析】（1）易得所以，所以.（2）由题意，.故又对且时，∴得证.19.【解析】（1）由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，∴底面圆，则， 且，而，∴平面.又平面，∴平面平面（2）设，如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，又，可得，∴，，，所以，，若是平面的一个法向量，则令，则由于直线与平面所成角的正弦值为，∴，解得或 由题知，为与平面的交点，故点到平面的距离为点到平面的距离的倍，又平面平面，所以点到平面的距离就是点到直线的距离，在中，，，故点到直线的距离为则点到平面的距离为∴点到平面的距离为或20.【解析】（1）依题意，，，，，零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关，则观测值根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001.（2）①设表示“甲球员担当前锋”；表示“甲球员担当中场”；表示“甲球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”，有，，，，则所以该球队某场比赛输球的概率是0.35.②由①知，球队输的条件下，甲球员担当中场的概率③由①知，球队输的条件下，甲球员担当前锋的概率 球队输的条件下，甲球员担当后卫的概率由②知，所以，应该多让甲球员担任前锋.21.【解析】（1）因为，所以，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，取得极大值，无极小值；当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，当时，有极大值，无极小值.（2）令则令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以存在，使得，即所以时，，，单调递减，时，，，单调递增，令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，所以，所以.22.【解析】（1）由题可得，，所以，因为椭圆的离心率为，所以，结合椭圆中可知，，.所以椭圆的标准方程为.（2）依题意作右图：设，，直线的方程为，将点代入得：，∴直线：.由于椭圆：，∴，，联立方程得， 由，得，，直线的方程为：，直线的方程为：，运用①易证得：②下面证明②：，运用①中的韦达定理：，即②成立，∴，即点和的纵坐标之和等于点纵坐标的2倍，∴点是线段的中点，即 综上，，故为定值.