湖南省郴州市2022-2023学年高三数学上学期第一次教学质量监测试卷（Word版有答案）

郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。4.考试时间为120分钟，满分为150分。5.本试题卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.（，）B.（，1）C.（，1）D.（，6）2.已知复数z满足（i为虚数单位），是z的共轮复数，则（）A.5B.C.D.3.△ABC中，D为BC中点，设向量，，，则（）A.B.C.D.4.某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0685.设正项等比数列的前n项和为，若，，则（）A.4B.3C.2D.16.设函数（），已知在区间上有且仅有3个零点，下列结论正确的是（）A.直线是函数的图象的一条对称轴 B.的取值范围是C.的图象向右平移个单位后所得图象的函数是奇函数D.在区间上有且仅有2个极值点7.F1、F2是双曲线C：（）的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=12：5：13，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.8.某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为（），则当该水渠的修建成本最低时的值为（）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.如图1，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（）A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线PA与DC所成的角的余弦值为C.直线PB与平面PAD所成的角为45°D.BD⊥平面PAC10.已知无穷等差数列的首项为1，它的前n项和为，且，，则（）A.数列是单调递减数列 B.C.数列的公差的取值范围是D.当时，11.已知抛物线的焦点为F，M（4，）在抛物线上，延长MF交抛物线于点N，抛物线准线与y轴交于点Q，则下列叙述正确的是（）A.B.点N的坐标为（，）C.D.在x轴上存在点R，使得∠MRF为钝角12.已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（）A.B.C.D.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，则________.14.已知（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.15.如图2，已知△ABC的外接圆为圆O，AB为直径，PA垂直圆O所在的平面，且PA=AB=1，过点A作平面，分别交PB、PC于点M、N，则三棱锥P−AMN的外接球的体积为________.16.已知函数，，对任意，存在，使 ，则的最小值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知数列中，，其前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前n项和为，求证：.18.（本小题满分12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.（1）求a；（2）若AD⊥BC于D，且AD=，求角A的最大值.19.（本小题满分12分）在图3（1）五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠CDE=150°，将△ADE沿AD折起到△SAD的位置，得到如下图3（2）所示的四棱锥S−ABCD，F为线段SC的中点，且BF⊥平面SCD.（1）求证：CD⊥平面SAD；（2）若CD=2SD，求直线BF与平面SBD所成角的正弦值.20.2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕。本次冬奥会极大地鼓舞了中国人民参与冰雪运动的热情，某校短道速滑社团的队员们纷纷加练，训练场内热火朝天，为了给刻苦训练的运动员们以激励，社团决定开展“训练赢吉祥物”活动，游戏规则如下：有一张共10格的长方形格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，队员每次完成训练后抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格）（k为正整数），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束.“跳子”落在第9格，则每位队员可以得到一只“雪容融”玩偶，“跳子”落在第10格，则每位队员可以得到一只“冰墩墩”玩偶.记“跳子”前进到第n 格（）的概率为.（1）求；（2）（i）证明数列（）是等比数列；（ii）求该社团参加一次这样的游戏获得“冰墩墩”玩偶的概率.21.（本小题满分12分）已知椭圆E：（）的离心率为，过坐标原点O的直线交椭圆E于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC.当C为椭圆的右焦点时，△PAC的面积为.（1）求椭圆E的方程；（2）若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：∠APB是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）求在上的最小值.（2）设，若有两个零点，，证明：. 郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷数学参考答案及评分细则一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5CAADA6-8BDC二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.ABC10.ACD11.BC12.ABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）（Ⅰ）由题意得，（），两式相减得（），又，，，，（），是首项为1，公比为3的等比数列，.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则所以， 又，.18.（本小题满分12分）（Ⅰ）已知等式化为（Ⅱ）由已知得的面积，得到，又由余弦定理得，即角的最大值为.19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设中点为，连接，则，又，，且，为平行四边形， 平面，平面，，；又为中点.，又，为等边三角形，，又，，即又，，平面，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，平面平面；设为中点，则，平面以原点建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，；，设为平面得法向量，直线与平面所成的角为，则，令得，且，.20.解：（Ⅰ）“跳子”开始在第1格为必然事件，.第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为，即.第一次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面，其概率为，即.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知：，“跳子”前进到第（）格的情况是下面两种，而且只有两种：①“跳子”先到第格，又掷出正面，其概率为，②“跳子”先到第格，又掷出反面，其概率为，，，，（），当时，数列是等比数列，首项为，公比为. （），（ⅱ）由（ⅰ）得（），则获得“冰墩墩”玩偶的概率为.21.（本小题满分12分）（Ⅰ）由离心率当为椭圆的右焦点时，由轴易得（其中为椭圆半焦距）此时依题意得，椭圆的方程为（Ⅱ）设直线得方程为（），，，则，得直线的斜率，直线的方程为 由由韦达定理得，由此得到又，即22.（Ⅰ）令（），，在上单调递增，，即，在上单调递增，故（Ⅱ）（），令，令.在上单调递减，在上单调递增.有两个零点，，则，要证，只要证. 而，，在上单调递减，所以只证，而，即证.即证：由（Ⅰ）知.设（），.在上单调递增，，综上，（*）式成立，即.