山东省聊城市二中2022-2023学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版有解析）

高二上学期第一次考试数学试题考试时间：120分钟；考试分数：150分；一、单选题（每小题5分，共40分）1.经过两点，的直线的倾斜角为，则（）A.B.C.0D.22.已知向量，，，若，则的值为（）A.B.2C.D.63.在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为N，已知点，则（）A.B.C.D.4.如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（）A.B.CD.5.直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）A.2x＋3y－12＝0B.2x＋3y＋12＝0C.3x－2y－6＝0D.2x＋3y＋6＝06.已知直线l过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（） A.B.C或D.或7.如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则（）A.B.C.1D.8.正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.二、多选题（每题5分，每题多选得0分，少选得2分，共20分）9.已知空间中三点，，，则正确有（）A.与是共线向量B.的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是10.以下命题正确的是（）A.若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点A，，则的充要条件是B.已知A，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，A，，四点共面 C.已知，，若与垂直，则D.已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为11.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（）A.的一个方向向量为B.直线与两坐标轴围成三角形的面积为C.与直线垂直D.与直线平行12.在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（）A.当平面时，可能垂直B.若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C.当时，的最小值为D.当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知，，，若共面，则实数______．14.经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______.15.已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 16.在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为___________.四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.（1）已知，，且，求，的值；（2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值.18.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．（1）求的长；（2）直线与所成角的余弦值．19.已知△ABC顶点A（-1，5），B（-1，-1），C（3，7）.（1）求边BC上高AD所在直线的方程；（2）求边BC上的中线AM所在直线的方程；（3）求△ABC的面积.20.如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，． （1）求证：平面EAC；（2）求直线DM到平面EAC的距离．21.已知直线l：，（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程．22.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．高二上学期第一次考试数学试题考试时间：120分钟；考试分数：150分；一、单选题（每小题5分，共40分）1.经过两点，的直线的倾斜角为，则（）A.B.C.0D.2【答案】B 【解析】【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，又因为，，所以，解得.故选：B.2.已知向量，，，若，则的值为（）A.B.2C.D.6【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为，，，所以，又，所以，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查由空间向量垂直求参数，考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题.3.在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为N，已知点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出点坐标，再利用两点间距离公式得解. 【详解】因为点关于x轴的对称点的坐标为N，所有点故选：A【点睛】本题考查空间中点的对称关系及两点间的距离，属于基础题.4.如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先用，，，表示向量，再利用为的中点，得代入整理得答案.【详解】因为为的重心，所以.为的中点，所以.故选：C.5.直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）A.2x＋3y－12＝0B.2x＋3y＋12＝0C.3x－2y－6＝0D.2x＋3y＋6＝0【答案】B 【解析】【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．6.已知直线l过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】对直线是否经过原点分类，结合条件，求出的方程．【详解】解：若直线经过原点，满足条件，可得直线的方程为，即；若直线不经过原点，可设直线的方程为，把点代入可得，解得，直线的方程为，即，综上可得直线的方程为或；故选：D．7.如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则（） AB.C.1D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.设，.因为，所以，解得，即.故选：B8.正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出，利用向量的数量积及体积最大值求得，从而得到与平面所成角的正弦值.【详解】如图，以A坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，则，由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，其中，所以当时，取得最大值，因为，所以的最大值为，所以，，平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值为 故选：A二、多选题（每题5分，每题多选得0分，少选得2分，共20分）9.已知空间中三点，，，则正确的有（）A.与是共线向量B.的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是【答案】CD【解析】【分析】A选项直接写出与，按照共线向量即可判断；B选项由单位向量的求法进行判断；C选项通过夹角公式计算即可；D选项直接计算法向量即可.【详解】，，，显然与不共线，A错误；的单位向量，即，B错误；，，C正确；设平面的法向量，则，令，得， D正确.故选：CD.10.以下命题正确的是（）A.若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点A，，则的充要条件是B.已知A，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，A，，四点共面C.已知，，若与垂直，则D.已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为【答案】BD【解析】【分析】根据线面位置关系的向量求法，可判断A的正误；根据四点共面的原则，可判断B的正误；根据向量垂直的坐标运算，可判断C的正误；根据向量数量积公式，计算求值，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：若，则，可得直线或，故A错误；对于B：因为A，，三点不共线，，且，所以，A，，四点共面，故B正确；对于C：由题意，，因为与垂直，所以，解得，故C错误；对于D：由题意，过B作， 所以，即，所以，所以，即边上的高的长为，故D正确.故选：BD11.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（）A.的一个方向向量为B.直线与两坐标轴围成三角形的面积为C.与直线垂直D.与直线平行【答案】AC【解析】【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，它与直线重合，D错误；，因此是直线的一个方向向量，A正确；在直线方程中令得，令得， 直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；由于，C正确故选：AC12.在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（）A.当平面时，可能垂直B.若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C.当时，的最小值为D.当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]【答案】ABD【解析】【分析】依题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、D，连接，则即为与平面所成角，根据锐角三角函数得到的轨迹，即可判断B，将平面与平面沿展成平面图形，化曲为直，利用余弦定理计算即可判断C；【详解】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，则，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则， 即，则当时，，即P为中点时，有平面，且，故A正确；B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确；C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理可知所以，故C错误； D选项：正方体经过点､P､C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，，所以点P到直线的距离为，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确.故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知，，，若共面，则实数______．【答案】【解析】【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值．【详解】因为共面，所以，则，解得，故答案为：14.经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出图形，数形结合求解即可.【详解】解：因为，，，所以，因为直线与线段总有公共点， 所以，如图，根据图形可知，或，即或，所以，直线的斜率的取值范围是.故答案为：15.已知实数a，b满足，则的最小值为___________.【答案】5【解析】【分析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和，然后求出点N关于直线对称的点为，再根据三点共线时，最小，即最小，即可求出结果.【详解】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和.如图，设点N关于直线对称的点为， 则，解得，当三点共线时，最小，即最小所以的最小值为.故答案为：5.16.在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为___________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算作答.【详解】因为正方形，则，而平面平面，平面平面， 于是得平面，又为矩形，即，以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，因点在上，且，则，又在线段上移动，则有，于是得点，，，因此，当时，取最小值，此时，点，则，，而，则有，，因此，点M到直线BF的距离，所以活动弹子到直线的距离为.故答案为：四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17.（1）已知，，且，求，的值；（2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答；（2）先算出，，然后利用数量积的坐标运算得到，再利用夹角公式即可得到答案【详解】（1）因为，，所以，，因为，所以，解得，所以；（2）因为，，所以，，所以，因为与的夹角为，所以，因为解得18.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且． （1）求的长；（2）直线与所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用表示出，然后平方转化为数量积的运算；（2）用空间向量法求异面直线所成的角．【小问1详解】由题意，，，，．【小问2详解】，，，所以，所以直线与所成角的余弦值为．19.已知△ABC的顶点A（-1，5），B（-1，-1），C（3，7）. （1）求边BC上的高AD所在直线的方程；（2）求边BC上的中线AM所在直线的方程；（3）求△ABC面积.【答案】（1）x+2y-9=0（2）（3）【解析】【分析】（1）求得，根据垂直关系可得，再根据点斜式求解高AD所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点到直线的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】因为，所以，从而边BC上的高AD所在直线的方程为，即x+2y-9=0小问2详解】因为M是BC的中点，所以M（1，3），从而边BC上的中线所在直线的方程为，即【小问3详解】由题意知，边所在直线方程为，即，所以点到直线的距离，从而的面积.20.如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，． （1）求证：平面EAC；（2）求直线DM到平面EAC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）说明PO，AC，BD两两垂直，由此可建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面EAC的一个法向量，计算的值，结合线面平行的判定即可证明结论；（2）由于平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离，由此利用空间距离的向量形式的公式计算，可得答案.【小问1详解】证明：在正四棱锥中，连接BD，则O为BD的中点，且，由于平面ABCD，AC，平面ABCD，所以，，所以PO，AC，BD两两垂直．以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，故E为PB的靠近B的三等分点， 则，，，，，所以，，，设平面EAC的法向量为，则,取，则，，则为平面EAC的一个法向量，因为，所以，又因为平面EAC，所以平面EAC．【小问2详解】由（1）知平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离．由（1）知，平面EAC的一个法向量为，所以点D到平面EAC的距离,故直线DM到平面EAC的距离为．21.已知直线l：，（1）直线过定点P，求点P坐标； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将变形为，列方程可得直线所过的定点；（2）求出点，点的坐标，代入三角形的面积，解方程可得.【详解】解：（1）由，可得，∴直线：必过直线，的交点，∴；（2）∵直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，∴，令，得；令，得，三角形的面积为，解得，∴直线方程为：.【点睛】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题.22.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）． （1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；【解析】【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE⊥平面POB，然后结合已知可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.【小问1详解】连接BE，在等腰梯形ABCD中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，∴OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，OB⊂平面POB，OP⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE．【小问2详解】由（1）可知四边形ABED为菱形，∴AD＝DE＝2，在等腰梯形ABCD中AE＝BC＝2，∴△PAE正三角形，∴，同理，∵，∴OP2+OB2＝PB2， ∴OP⊥OB，由（1）可知OP⊥AE，OB⊥AE，以O为原点，分别为x轴，y轴，为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则，A（﹣1，0，0），，，E（1，0，0），∴，，设，，设平面AEQ的一个法向量为（x，y，z），则，即取x＝0，y＝1，得，∴(0，1，)，设直线PC与平面AEQ所成角为，则，即，化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得，∴存在点Q为PB的中点，即时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为．